En matemáticas , la teoría mínima-máxima de Almgren-Pitts (llamada así en honor a Frederick J. Almgren, Jr. y su alumno Jon T. Pitts ) es un análogo de la teoría Morse para las hipersuperficies .
La teoría comenzó con los esfuerzos para generalizar el método de George David Birkhoff para la construcción de geodésicas cerradas simples en la esfera, para permitir la construcción de superficies mínimas incrustadas en tres variedades arbitrarias . [1]
Ha jugado un papel en las soluciones a una serie de conjeturas en geometría y topología encontradas por los propios Almgren y Pitts y también por otros matemáticos, como Mikhail Gromov , Richard Schoen , Shing-Tung Yau , Fernando Codá Marques , André Neves , Ian Agol. , entre otros. [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]
Descripción y conceptos básicos
La teoría permite la construcción de hipersuperficies mínimas incrustadas mediante métodos variacionales. [11]
En su tesis doctoral, Almgren demostró que el grupo de homotopía m-ésimo del espacio de ciclos planos k-dimensionales en una variedad Riemanniana cerrada es isomorfo al grupo de homología (m + k) -ésima dimensión de M. Este resultado es una generalización de el teorema de Dold-Thom , que puede considerarse como el caso k = 0 del teorema de Almgren. La existencia de clases de homotopía no triviales en el espacio de ciclos sugiere la posibilidad de construir subvariedades mínimas como puntos de silla de la función de volumen, como en la teoría de Morse . En su trabajo posterior, Almgren utilizó estas ideas para demostrar que para cada k = 1, ..., n-1, una variedad de Riemannian n-dimensional cerrada contiene una variable k-dimensional integral estacionaria , una generalización de una subvariedad mínima que puede tener singularidades. Allard mostró que tales subvariedades mínimas generalizadas son regulares en un subconjunto abierto y denso.
En la década de 1980, el estudiante de Almgren, Jon Pitts, fue capaz de mejorar en gran medida la teoría de la regularidad de las subvariedades mínimas obtenidas por Almgren en el caso de la codimensión 1. Demostró que cuando la dimensión n de la variedad está entre 3 y 6, la hipersuperficie mínima obtenida utilizando el método min -El método max es suave. Una nueva idea clave en la demostración fue la noción de 1 / j, casi minimizando las varifolds. Richard Schoen y Leon Simon ampliaron este resultado a dimensiones superiores. Más específicamente, demostraron que cada variedad de Riemannian n-dimensional contiene una hipersuperficie mínima cerrada construida mediante el método min-max que se aleja suavemente de un conjunto cerrado de dimensión n-8.
Al considerar familias de parámetros superiores de ciclos de codimensión 1, se pueden encontrar hipersuperficies mínimas distintas. Esta construcción fue utilizada por Fernando Marques y Andre Neves en su demostración de la conjetura de Willmore . [12] [13]
Ver también
- Teorema del isomorfismo de Almgren
- Varifold
- Teoría de la medida geométrica
- Análisis geométrico
- Superficie mínima
- Conjetura de Freedman-He-Wang
- Willmore conjetura
- Conjetura de Yau
Referencias
- ^ Tobias Colding y Camillo De Lellis : " La construcción min-max de superficies mínimas ", Encuestas en geometría diferencial
- ^ Giaquinta, Mariano; Mucci, Domenico (2006). "La energía BV de los mapas en una variedad: resultados de relajación y densidad" . Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze, Sér. 5, 5. págs. 483–548. Archivado desde el original el 10 de junio de 2015 . Consultado el 2 de mayo de 2015 .
- ^ Helge Holden, Ragni Piene - El premio Abel 2008-2012, p. 203.
- ^ Robert Osserman - Un estudio de superficies mínimas, p. 160.
- ^ "Contenido en línea - Artículo 1 del MDL de 2013" . Intlpress.com . Consultado el 31 de mayo de 2015 .
- ^ Fernando C. Marques; André Neves. "Aplicaciones de la teoría de Almgren-Pitts Min-max" (PDF) . F.imperial.ac.uk . Consultado el 31 de mayo de 2015 .
- ^ Daniel Ketover. "Degeneración de secuencias Min-Max en tres colectores". arXiv : 1312.2666 .
- ^ Xin Zhou. "Hiperesuperficie mínima-máxima en variedad de curvatura de Ricci positiva" (PDF) . Arvix.org . Consultado el 31 de mayo de 2015 .
- ^ Stephane Sabourau. "Volumen de hipersuperficies mínimas en variedades con curvatura de Ricci no negativa" (PDF) . Arvix.org . Consultado el 31 de mayo de 2015 .
- ^ Davi Maximo; Ivaldo Nunes; Graham Smith. "Anillos mínimos de límite libre en tres variedades convexas". arXiv : 1312.5392 .
- ^ Zhou Xin (2015). "Hiperesuperficie mínima mínima-máxima en ( METRO norte + 1 , gramo ) {\ Displaystyle (M ^ {n + 1}, g)} con R I C ≥ 0 {\ Displaystyle Ric \ geq 0} y 2 ≤ norte ≤ 6 {\ Displaystyle 2 \ leq n \ leq 6} " . J. Differential Geom . 100 (1): 129-160. Doi : 10.4310 / jdg / 1427202766 .
- ^ https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2FBF02922665.pdf
- ^ Marques, Fernando y Neves, André. (2020). Aplicaciones de los métodos Min-Max a la geometría. 10.1007 / 978-3-030-53725-8_2.
Otras lecturas
- Frederick J. Almgren (1964). La Teoría de Varifolds: Un Cálculo Variacional en el Grande para el Integrando de Área K-dimensional . Instituto de Estudios Avanzados .
- Jon T. Pitts (1981). Existencia y regularidad de superficies mínimas en colectores de Riemann . Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 978-0-691-08290-5.
- Memarian, Yashar (2013). "Una nota sobre la geometría de los colectores Riemannian curvados positivamente". arXiv : 1312.0792 [ math.MG ].
- Le Centre de recherches mathématiques, CRM Le Bulletin, Automne / Fall 2015 - Volume 21, No 2, pp. 10-11 Iosif Polterovich (Montreal) y Alina Stancu (Concordia), "Las conferencias Nirenberg de 2015 sobre análisis geométrico: Mín-Máx. Teoría y geometría, de André Neves "