En álgebra, un polinomio alterno es un polinomio tal que si uno cambia dos de las variables, el polinomio cambia de signo:
De manera equivalente, si se permuta las variables, el polinomio cambia de valor por el signo de la permutación :
De manera más general, un polinomio se dice que se alterna en si cambia de signo si uno cambia dos de los , dejándo el reparado. [1]
Relación con polinomios simétricos
Productos de polinomios simétricos y alternos (en las mismas variables) se comportan así:
- el producto de dos polinomios simétricos es simétrico,
- el producto de un polinomio simétrico y un polinomio alterno es alterno, y
- el producto de dos polinomios alternos es simétrico.
Esta es exactamente la tabla de suma para la paridad , con "simétrico" correspondiente a "par" y "alterno" correspondiente a "impar". Así, la suma directa de los espacios de polinomios simétricos y alternos forma una superalgebra (a- álgebra graduada ), donde los polinomios simétricos son la parte par y los polinomios alternos son la parte impar. Esta clasificación no está relacionada con la clasificación de polinomios por grado .
En particular, los polinomios alternos forman un módulo sobre el álgebra de polinomios simétricos (la parte impar de una superalgebra es un módulo sobre la parte par); de hecho es un módulo libre de rango 1, con el polinomio de Vandermonde en n variables como generador.
Si la característica del anillo de coeficientes es 2, no hay diferencia entre los dos conceptos: los polinomios alternos son precisamente los polinomios simétricos.
Polinomio de Vandermonde
El polinomio alterno básico es el polinomio de Vandermonde :
Esto es claramente alterno, ya que cambiar dos variables cambia el signo de un término y no cambia los otros. [2]
Los polinomios alternos son exactamente el polinomio de Vandermonde multiplicado por un polinomio simétrico: dónde es simétrico. Esto es porque:
- es un factor de cada polinomio alterno: es un factor de cada polinomio alterno, como si , el polinomio es cero (dado que cambiarlos no cambia el polinomio, obtenemos
- entonces es un factor), y por lo tanto es un factor.
- un polinomio alterno multiplicado por un polinomio simétrico es un polinomio alterno; así todos los múltiplos de son polinomios alternos
Por el contrario, la razón de dos polinomios alternos es una función simétrica, posiblemente racional (no necesariamente un polinomio), aunque la razón de un polinomio alterno sobre el polinomio de Vandermonde es un polinomio. Los polinomios de Schur se definen de esta manera, como un polinomio alterno dividido por el polinomio de Vandermonde.
Estructura de anillo
Por lo tanto, al denotar el anillo de polinomios simétricos por Λ n , el anillo de polinomios simétricos y alternos es, o más precisamente , dónde es un polinomio simétrico, el discriminante .
Es decir, el anillo de polinomios simétricos y alternos es una extensión cuadrática del anillo de polinomios simétricos, donde se ha unido una raíz cuadrada del discriminante.
Alternativamente, es:
Si 2 no es invertible, la situación es algo diferente y se debe usar un polinomio diferente , y obtiene una relación diferente; ver Romagny.
Teoría de la representación
Desde la perspectiva de la teoría de la representación , los polinomios simétricos y alternos son subrepresentaciones de la acción del grupo simétrico en n letras del anillo polinomial en n variables. (Formalmente, el grupo simétrico actúa sobre n letras y, por lo tanto, actúa sobre objetos derivados, particularmente objetos libres sobre n letras, como el anillo de polinomios).
El grupo simétrico tiene dos representaciones unidimensionales: la representación trivial y la representación del signo. Los polinomios simétricos son la representación trivial y los polinomios alternos son la representación del signo. Formalmente, el intervalo escalar de cualquier polinomio simétrico (resp., Alterno) es una representación trivial (resp., Signo) del grupo simétrico, y multiplicar los polinomios tensan las representaciones.
En la característica 2, estas no son representaciones distintas y el análisis es más complicado.
Si , también hay otras subrepresentaciones de la acción del grupo simétrico en el anillo de polinomios, como se discute en la teoría de la representación del grupo simétrico .
Inestable
Los polinomios alternos son un fenómeno inestable (en el lenguaje de la teoría de la homotopía estable ): el anillo de polinomios simétricos en n variables se puede obtener del anillo de polinomios simétricos en muchas variables arbitrariamente evaluando todas las variables anterioresa cero: los polinomios simétricos son, por lo tanto, estables o definidos de manera compatible. Sin embargo, este no es el caso de polinomios alternos, en particular el polinomio de Vandermonde .
Ver también
Notas
Referencias
- A. Giambruno, Mikhail Zaicev, Identidades polinómicas y métodos asintóticos, Librería AMS, 2005 ISBN 978-0-8218-3829-7 , págs. 352
- El teorema fundamental de las funciones alternas , por Matthieu Romagny, 15 de septiembre de 2005