En matemáticas y física teórica , un tensor es antisimétrico en (o con respecto a ) un subconjunto de índice si alterna el signo (+/−) cuando se intercambian dos índices cualesquiera del subconjunto. [1] [2] El subconjunto de índices generalmente debe ser todo covariante o todo contravariante .
Por ejemplo,
Se mantiene cuando el tensor es antisimétrico con respecto a sus tres primeros índices.
Si un tensor cambia de signo con el intercambio de cada par de sus índices, entonces el tensor es completamente (o totalmente ) antisimétrico . A covariante totalmente antisimétrico campo tensor de orden k puede ser denominado como un diferencial k -forma , y un campo tensor contravariante completamente antisimétrico puede ser denominado como k -vector campo.
Un tensor A que es antisimétrico en los índices i y j tiene la propiedad de que la contracción con un tensor B que es simétrico en los índices i y j es idénticamente 0.
Para un tensor general U con componentes y un par de índices i y j , U tiene partes simétricas y antisimétricas definidas como:
(parte simétrica) | ||
(parte antisimétrica). |
Se pueden dar definiciones similares para otros pares de índices. Como sugiere el término "parte", un tensor es la suma de su parte simétrica y antisimétrica para un par de índices dado, como en
Una notación abreviada para antisimetrización se indica con un par de corchetes. Por ejemplo, en dimensiones arbitrarias, para un tensor covariante M de orden 2 ,
y para un tensor covariante T de orden 3 ,
En 2 y 3 dimensiones, estos se pueden escribir como
donde es el delta de Kronecker generalizado , y usamos la notación de Einstein para sumar índices similares.
De manera más general, independientemente del número de dimensiones, la antisimetrización sobre p índices puede expresarse como
En general, cada tensor de rango 2 se puede descomponer en un par simétrico y antisimétrico como:
En general, esta descomposición no es válida para tensores de rango 3 o más, que tienen simetrías más complejas.
Los tensores totalmente antisimétricos incluyen: