En matemáticas , particularmente en álgebra lineal , una matriz de simetría sesgada (o antisimétrica o antimétrica [1] ) es una matriz cuadrada cuya transposición es igual a su negativo. Es decir, satisface la condición [2] : p. 38
En términos de las entradas de la matriz, si denota la entrada en el -th fila y -th columna, entonces la condición de simetría sesgada es equivalente a
Ejemplo
La matriz
es simétrico sesgado porque
Propiedades
En todo momento, asumimos que todas las entradas de la matriz pertenecen a un campo cuya característica no es igual a 2. Es decir, asumimos que 1 + 1 ≠ 0 , donde 1 denota la identidad multiplicativa y 0 la identidad aditiva del campo dado. Si la característica del campo es 2, entonces una matriz simétrica sesgada es lo mismo que una matriz simétrica .
- La suma de dos matrices simétricas sesgadas es simétrica sesgada.
- Un múltiplo escalar de una matriz simétrica sesgada es simétrica sesgada.
- Los elementos en la diagonal de una matriz simétrica sesgada son cero y, por lo tanto, su traza es igual a cero.
- Si es una matriz simétrica sesgada real y es un valor propio real , entonces, es decir, los valores propios distintos de cero de una matriz simétrica sesgada no son reales.
- Si es una matriz simétrica sesgada real, entonces es invertible , donde es la matriz de identidad.
- Si es una matriz simétrica sesgada, entonces es una matriz semidefinida negativa simétrica .
Estructura del espacio vectorial
Como resultado de las dos primeras propiedades anteriores, el conjunto de todas las matrices simétricas sesgadas de un tamaño fijo forma un espacio vectorial . El espacio delas matrices simétricas sesgadas tienen dimensión
Dejar denotar el espacio de matrices. Una matriz asimétrica está determinada porescalares (el número de entradas por encima de la diagonal principal ); una matriz simétrica está determinada porescalares (el número de entradas en o por encima de la diagonal principal). Dejar denotar el espacio de matrices simétricas sesgadas y denotar el espacio de matrices simétricas. Si luego
Darse cuenta de y Esto es cierto para todas las matrices cuadradas. con entradas de cualquier campo cuya característica sea diferente de 2. Entonces, dado que y
dónde denota la suma directa .
Denotamos por el producto interior estándar en El Real matriz es simétrico sesgado si y solo si
Esto también es equivalente a para todos (una implicación es obvia, la otra es una simple consecuencia de para todos y ).
Dado que esta definición es independiente de la elección de la base , la simetría sesgada es una propiedad que depende solo del operador lineal y una elección de producto interior .
Las matrices simétricas sesgadas se pueden utilizar para representar productos cruzados como multiplicaciones de matrices.
Determinante
Dejar ser un matriz sesgada-simétrica. El determinante de satisface
En particular, si es extraño, y dado que el campo subyacente no es de la característica 2, el determinante desaparece. Por lo tanto, todas las matrices simétricas sesgadas de dimensión impar son singulares ya que sus determinantes son siempre cero. Este resultado se denomina teorema de Jacobi , en honor a Carl Gustav Jacobi (Eves, 1980).
El caso de dimensiones uniformes es más interesante. Resulta que el determinante de por incluso se puede escribir como el cuadrado de un polinomio en las entradas de, que fue probado por primera vez por Cayley: [3]
Este polinomio se llama Pfaffian de y se denota . Por lo tanto, el determinante de una matriz simétrica sesgada real es siempre no negativo. Sin embargo, este último hecho puede demostrarse de manera elemental como sigue: los valores propios de una matriz simétrica sesgada real son puramente imaginarios (ver más abajo) ya cada valor propio corresponde el valor propio conjugado con la misma multiplicidad; por tanto, como el determinante es el producto de los autovalores, cada uno repetido según su multiplicidad, se deduce de inmediato que el determinante, si no es 0, es un número real positivo.
El número de términos distintos en la expansión del determinante de una matriz de orden asimétrica asimétrica Cayley, Sylvester y Pfaff ya lo han considerado. Debido a las cancelaciones, este número es bastante pequeño en comparación con el número de términos de una matriz genérica de pedidos., cual es . La secuencia(secuencia A002370 en la OEIS ) es
- 1, 0, 1, 0, 6, 0, 120, 0, 5250, 0, 395010, 0,…
y está codificado en la función de generación exponencial
Este último cede a las asintóticas (por incluso)
El número de términos positivos y negativos es aproximadamente la mitad del total, aunque su diferencia toma valores positivos y negativos cada vez mayores como aumenta (secuencia A167029 en la OEIS ).
Producto cruzado
Se pueden utilizar matrices asimétricas de tres por tres para representar productos cruzados como multiplicaciones de matrices. Considere los vectores y Luego, definiendo la matriz
el producto cruzado se puede escribir como
Esto se puede verificar inmediatamente calculando ambos lados de la ecuación anterior y comparando cada elemento correspondiente de los resultados.
Uno realmente tiene
es decir, el conmutador de matrices de tres por tres simétricas sesgadas se puede identificar con el producto cruzado de tres vectores. Dado que las matrices de tres por tres simétricas sesgadas son el álgebra de Lie del grupo de rotación esto aclara la relación entre tres espacios , el producto cruzado y las rotaciones tridimensionales. Más sobre rotaciones infinitesimales se pueden encontrar a continuación.
Teoría espectral
Dado que una matriz es similar a su propia transpuesta, deben tener los mismos valores propios. De ello se deduce que los valores propios de una matriz simétrica sesgada siempre vienen en pares ± λ (excepto en el caso de dimensión impar donde hay un valor propio 0 adicional no apareado). Según el teorema espectral , para una matriz simétrica sesgada real, los valores propios distintos de cero son todos imaginarios puros y, por lo tanto, tienen la forma donde cada uno de los Son reales.
Las matrices simétricas sesgadas reales son matrices normales (se conmutan con sus adjuntos ) y, por lo tanto, están sujetas al teorema espectral , que establece que cualquier matriz simétrica sesgada real puede ser diagonalizada por una matriz unitaria . Dado que los valores propios de una matriz simétrica sesgada real son imaginarios, no es posible diagonalizar uno por una matriz real. Sin embargo, es posible llevar cada matriz de simetría sesgada a una forma diagonal de bloque mediante una transformación ortogonal especial . [4] [5] Específicamente, cada La matriz simétrica sesgada real se puede escribir en la forma dónde es ortogonal y
para real positivo-definido . Los valores propios distintos de cero de esta matriz son ± λ k i . En el caso de las dimensiones impares, Σ siempre tiene al menos una fila y una columna de ceros.
De manera más general, cada matriz compleja de simétrica sesgada se puede escribir en la forma dónde es unitario y tiene la forma de bloque diagonal dada arriba con sigue siendo real positivo-definido. Este es un ejemplo de la descomposición de Youla de una matriz cuadrada compleja. [6]
Formas sesgadas simétricas y alternas
Una forma simétrica sesgada en un espacio vectorial sobre un campo de característica arbitraria se define como una forma bilineal
tal que para todos en
Esto define una forma con propiedades deseables para espacios vectoriales sobre campos de característica no igual a 2, pero en un espacio vectorial sobre un campo de característica 2, la definición es equivalente a la de una forma simétrica, ya que cada elemento es su propio inverso aditivo. .
Donde el espacio vectorial está sobre un campo de característica arbitraria que incluye la característica 2, podemos definir una forma alterna como una forma bilineal tal que para todos los vectores en
Esto es equivalente a una forma simétrica sesgada cuando el campo no es de la característica 2, como se ve en
De dónde
Una forma bilineal estará representado por una matriz tal que , una vez una base de es elegido, y a la inversa un matriz en da lugar a un envío de formulario a Para cada una de las formas simétricas, sesgadas simétricas y alternas, las matrices representativas son simétricas, sesgadas simétricas y alternas respectivamente.
Rotaciones infinitesimales
Las matrices de simetría oblicua sobre el campo de números reales forman el espacio tangente al grupo ortogonal real en la matriz de identidad; formalmente, el álgebra de Lie ortogonal especial . En este sentido, entonces, las matrices simétricas sesgadas se pueden considerar como rotaciones infinitesimales .
Otra forma de decir esto es que el espacio de matrices simétricas sesgadas forma el álgebra de Lie del grupo Lie El corchete de Lie en este espacio viene dado por el conmutador :
Es fácil comprobar que el conmutador de dos matrices simétricas sesgadas vuelve a ser simétricas sesgadas:
La matriz exponencial de una matriz simétrica sesgadaes entonces una matriz ortogonal :
La imagen del mapa exponencial de un álgebra de Lie siempre se encuentra en el componente conectado del grupo de Lie que contiene el elemento de identidad. En el caso del grupo Lieeste componente conectado es el grupo ortogonal especial que consta de todas las matrices ortogonales con determinante 1. Entonces tendrá determinante +1. Además, dado que el mapa exponencial de un grupo de Lie compacto conectado siempre es sobreyectivo, resulta que cada matriz ortogonal con determinante unitario puede escribirse como el exponencial de alguna matriz simétrica sesgada. En el caso particular importante de dimensiónla representación exponencial de una matriz ortogonal se reduce a la conocida forma polar de un número complejo de módulo unitario. De hecho, si una matriz ortogonal especial tiene la forma
con . Por lo tanto, poniendo y se puede escribir
que corresponde exactamente a la forma polar de un número complejo de módulo unitario.
La representación exponencial de una matriz ortogonal de orden también se puede obtener a partir del hecho de que en dimensión cualquier matriz ortogonal especial Se puede escribir como dónde es ortogonal y S es una matriz diagonal de bloques con bloques de orden 2, más uno de orden 1 si es impar; dado que cada bloque de orden 2 es también una matriz ortogonal, admite una forma exponencial. En consecuencia, la matriz S escribe como exponencial de una matriz de bloques simétrica sesgada de la forma anterior, así que eso exponencial de la matriz simétrica sesgada Por el contrario, la sobrejetividad del mapa exponencial, junto con la diagonalización de bloques antes mencionada para matrices simétricas sesgadas, implica la diagonalización de bloques para matrices ortogonales.
Sin coordenadas
Más intrínsecamente (es decir, sin usar coordenadas), transformaciones lineales simétricas sesgadas en un espacio vectorial con un producto interior pueden definirse como los bivectores en el espacio, que son sumas de bivectores simples ( 2 palas ) La correspondencia viene dada por el mapa dónde es el covector dual al vector ; en coordenadas ortonormales, estas son exactamente las matrices elementales de simetría sesgada. Esta caracterización se utiliza para interpretar el rizo de un campo vectorial (naturalmente, un 2-vector) como una rotación infinitesimal o "rizo", de ahí el nombre.
Matriz con simetrización sesgada
Un matriz se dice que es simétricamente sesgado si existe una matriz diagonal invertible tal que es simétrica sesgada. De verdad matrices, a veces la condición para para tener entradas positivas se agrega. [7]
Ver también
- Cayley transform
- Matriz simétrica
- Matriz oblicua-hermitiana
- Matriz simpléctica
- Simetría en matemáticas
Referencias
- ^ Richard A. Reembolso; KG Jöreskog ; Leslie F. Marcus (1996). Análisis factorial aplicado en las ciencias naturales . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 68. ISBN 0-521-57556-7.
- ^ Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (septiembre de 2005). Esquema de la teoría y problemas de álgebra lineal de Schaum . McGraw-Hill. ISBN 9780070605022.
- ^ Cayley, Arthur (1847). "Sur les determinants gauches" [Sobre los determinantes de sesgo]. Diario de Crelle . 38 : 93–96. Reimpreso en Cayley, A. (2009). "Sur les Déterminants Gauches". Los artículos matemáticos recopilados . 1 . págs. 410–413. doi : 10.1017 / CBO9780511703676.070 . ISBN 978-0-511-70367-6.
- ^ Voronov, Theodore. Pfaffian , en: Enciclopedia concisa de supersimetría y estructuras no conmutativas en matemáticas y física, Eds. S. Duplij, W. Siegel, J. Bagger (Berlín, Nueva York: Springer 2005), pág. 298.
- ^ Zumino, Bruno (1962). "Formas normales de matrices complejas". Revista de Física Matemática . 3 (5): 1055–1057. Código Bibliográfico : 1962JMP ..... 3.1055Z . doi : 10.1063 / 1.1724294 .
- ^ Youla, DC (1961). "Una forma normal de una matriz en el grupo de congruencia unitaria". Lata. J. Math . 13 : 694–704. doi : 10.4153 / CJM-1961-059-8 .
- ^ Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrei (2001). "Álgebras de clúster I: Fundamentos". arXiv : matemáticas / 0104151v1 .
Otras lecturas
- Eves, Howard (1980). Teoría de la matriz elemental . Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-63946-8.
- Suprunenko, DA (2001) [1994], "Matriz simétrica sesgada" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
- Aitken, AC (1944). "Sobre el número de términos distintos en la expansión de determinantes simétricos y sesgados" . Matemáticas de Edimburgo. Notas . 34 : 1–5. doi : 10.1017 / S0950184300000070 .
enlaces externos
- "Matriz antisimétrica" . Wolfram Mathworld .
- Benner, Peter; Kressner, Daniel. "HAPACK - Software para problemas de valores propios hamiltonianos (sesgados)" .
- Ward, RC; Gray, LJ (1978). "Algoritmo 530: un algoritmo para calcular el sistema propio de matrices simétricas sesgadas y una clase de matrices simétricas [F2]". Transacciones ACM en software matemático . 4 (3): 286. doi : 10.1145 / 355791.355799 . S2CID 8575785 . Fortran Fortran90