Colector diferenciable
En matemáticas, una variedad diferenciable (también variedad diferencial ) es un tipo de variedad que es localmente lo suficientemente similar a un espacio vectorial como para permitirle hacer cálculo . Cualquier variedad puede describirse mediante una colección de gráficos, también conocida como atlas . Luego, se pueden aplicar ideas del cálculo mientras se trabaja dentro de los gráficos individuales, ya que cada gráfico se encuentra dentro de un espacio vectorial al que se aplican las reglas habituales del cálculo. Si los gráficos son adecuadamente compatibles (es decir, la transición de un gráfico a otro es diferenciable ), los cálculos realizados en un gráfico son válidos en cualquier otro gráfico diferenciable.
En términos formales, una variedad diferenciable es una variedad topológica con una estructura diferencial definida globalmente . A cualquier variedad topológica se le puede dar una estructura diferencial localmente usando los homeomorfismos en su atlas y la estructura diferencial estándar en un espacio vectorial. Para inducir una estructura diferencial global sobre los sistemas de coordenadas locales inducidos por los homeomorfismos, sus composicionesen las intersecciones de gráficos en el atlas deben haber funciones diferenciables en el espacio vectorial correspondiente. En otras palabras, donde los dominios de los gráficos se superponen, las coordenadas definidas por cada gráfico deben ser diferenciables con respecto a las coordenadas definidas por cada gráfico en el atlas. Los mapas que relacionan las coordenadas definidas por los distintos gráficos entre sí se denominan mapas de transición.
La capacidad de definir tal estructura diferencial local en un espacio abstracto permite extender la definición de diferenciabilidad a espacios sin sistemas de coordenadas globales. Una estructura localmente diferencial permite definir el espacio tangente diferenciable globalmente , las funciones diferenciables y los campos de vector y tensor diferenciables .
Las variedades diferenciables son muy importantes en física . Tipos especiales de variedades diferenciables forman la base de teorías físicas como la mecánica clásica , la relatividad general y la teoría de Yang-Mills . Es posible desarrollar un cálculo para variedades diferenciables. Esto conduce a una maquinaria matemática como el cálculo exterior. El estudio del cálculo en variedades diferenciables se conoce como geometría diferencial.
A la "diferenciabilidad" de una variedad se le han dado varios significados, entre ellos: continuamente diferenciable , k veces diferenciable, suave (que a su vez tiene muchos significados) y analítico .
El surgimiento de la geometría diferencial como una disciplina distinta generalmente se le atribuye a Carl Friedrich Gauss y Bernhard Riemann . Riemann describió por primera vez las variedades en su famosa conferencia de habilitación ante la facultad de Gotinga . [1] Motivó la idea de una variedad mediante un proceso intuitivo de variar un objeto dado en una nueva dirección, y describió de manera profética el papel de los sistemas de coordenadas y gráficos en desarrollos formales posteriores:
