En matemáticas , particularmente en topología , se describe una variedad usando un atlas . Un atlas consta de gráficos individuales que, en términos generales, describen regiones individuales de la variedad. Si la variedad es la superficie de la Tierra, entonces un atlas tiene su significado más común. En general, la noción de atlas subyace en la definición formal de una variedad y estructuras relacionadas, como haces de vectores y otros haces de fibras .
Gráficos
La definición de un atlas depende de la noción de gráfico . Una tabla para un espacio topológico M (también llamada una tabla de coordenadas , coordinar parche , mapa de coordenadas , o marco local ) es un homeomorfismo desde un subconjunto abierto U de M a un subconjunto abierto de un espacio euclidiano . El gráfico se registra tradicionalmente como el par ordenado.
Definición formal de atlas
Un atlas para un espacio topológico es una familia indexada de gráficos en que cubre (es decir, ). Si el codominio de cada gráfico es el espacio euclidiano n- dimensional , entoncesse dice que es una variedad n- dimensional .
El plural de atlas es atlas , aunque algunos autores usan atlantes . [1] [2]
Un atlas en una -múltiple dimensional se llama un atlas adecuado si la imagen de cada gráfico es o , es una tapa abierta localmente finita de, y , dónde es la bola abierta de radio 1 centrada en el origen y es el medio espacio cerrado. Cada segundo colector contable admite un atlas adecuado. [3] Además, si es una cubierta abierta del segundo colector contable entonces hay un atlas adecuado en tal que es un refinamiento de . [3]
Mapas de transición
Un mapa de transición proporciona una forma de comparar dos gráficos de un atlas. Para hacer esta comparación, consideramos la composición de un gráfico con la inversa del otro. Esta composición no está bien definida a menos que restrinjamos ambos gráficos a la intersección de sus dominios de definición. (Por ejemplo, si tenemos un gráfico de Europa y un gráfico de Rusia, entonces podemos comparar estos dos gráficos en su superposición, es decir, la parte europea de Rusia).
Para ser más precisos, suponga que y Hay dos gráficos para un colector M de modo queno está vacío . El mapa de transición es el mapa definido por
Tenga en cuenta que desde y son ambos homeomorfismos, el mapa de transición también es un homeomorfismo.
Más estructura
A menudo se desea más estructura en una variedad que simplemente la estructura topológica. Por ejemplo, si uno quisiera una noción inequívoca de diferenciación de funciones en una variedad, entonces es necesario construir un atlas cuyas funciones de transición sean diferenciables . Tal variedad se llama diferenciable . Dada una variedad diferenciable, se puede definir sin ambigüedades la noción de vectores tangentes y luego derivadas direccionales .
Si cada función de transición es un mapa suave , entonces el atlas se llama atlas suave y la variedad en sí se llama suave . Alternativamente, se podría requerir que los mapas de transición tengan solo k derivadas continuas, en cuyo caso se dice que el atlas es.
Muy generalmente, si cada función de transición pertenece a un pseudogrupo de homeomorfismos del espacio euclidiano, entonces el atlas se llama un -atlas. Si los mapas de transición entre gráficos de un atlas conservan una trivialización local , entonces el atlas define la estructura de un haz de fibras.
Ver también
Referencias
- ^ Jost, Jürgen (11 de noviembre de 2013). Geometría Riemanniana y Análisis Geométrico . Springer Science & Business Media. ISBN 9783662223857. Consultado el 16 de abril de 2018 , a través de Google Books.
- ^ Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan (9 de marzo de 2013). Cálculo de variaciones II . Springer Science & Business Media. ISBN 9783662062012. Consultado el 16 de abril de 2018 , a través de Google Books.
- ^ a b Kosinski, Antoni (2007). Colectores diferenciales . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-46244-8. OCLC 853621933 .
- Lee, John M. (2006). Introducción a los colectores lisos . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6.
- Sepanski, Mark R. (2007). Grupos de mentiras compactos . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-30263-8.
- Husemoller, D (1994), haces de fibras , Springer, Capítulo 5 "Descripción de coordenadas locales de haces de fibras".
enlaces externos
- Atlas de Rowland, Todd