Geometría diferencial
La geometría diferencial es una disciplina matemática que estudia la geometría de formas suaves y espacios suaves, también conocidos como variedades suaves . Utiliza las técnicas de cálculo diferencial , cálculo integral , álgebra lineal y álgebra multilineal . El campo tiene sus orígenes en el estudio de la geometría esférica desde la antigüedad . También se relaciona con la astronomía , la geodesia de la Tierra y más tarde con el estudio de la geometría hiperbólica de Lobachevsky.. Los ejemplos más simples de espacios suaves son las curvas planas y espaciales y las superficies en el espacio euclidiano tridimensional , y el estudio de estas formas formó la base para el desarrollo de la geometría diferencial moderna durante los siglos XVIII y XIX.
Desde finales del siglo XIX, la geometría diferencial se ha convertido en un campo relacionado más generalmente con estructuras geométricas en variedades diferenciables . Una estructura geométrica es aquella que define alguna noción de tamaño, distancia, forma, volumen u otra estructura rígida. Por ejemplo, en la geometría de Riemann se especifican las distancias y los ángulos, en la geometría simpléctica se pueden calcular los volúmenes, en la geometría conforme solo se especifican los ángulos y en la teoría de calibre se dan ciertos campos en el espacio. La geometría diferencial está estrechamente relacionada con la topología diferencial y, a veces, se considera que la incluye., que se ocupa de las propiedades de las variedades diferenciables que no se basan en ninguna estructura geométrica adicional (consulte ese artículo para obtener más información sobre la distinción entre los dos temas). La geometría diferencial también está relacionada con los aspectos geométricos de la teoría de ecuaciones diferenciales , también conocida como análisis geométrico .
La geometría diferencial encuentra aplicaciones en las matemáticas y las ciencias naturales . De manera más prominente, el lenguaje de la geometría diferencial fue utilizado por Albert Einstein en su teoría de la relatividad general y, posteriormente, por los físicos en el desarrollo de la teoría cuántica de campos y el modelo estándar de la física de partículas . Fuera de la física, la geometría diferencial encuentra aplicaciones en química , economía , ingeniería , teoría de control , gráficos por computadora y visión por computadora , y recientemente en aprendizaje automático ..
La historia y el desarrollo de la geometría diferencial como tema comienza al menos desde la antigüedad clásica . Está íntimamente ligado al desarrollo de la geometría en general, de la noción de espacio y forma, y de la topología , especialmente el estudio de las variedades . En esta sección nos enfocamos principalmente en la historia de la aplicación de métodos infinitesimales a la geometría, y luego a las ideas de espacios tangentes , y eventualmente al desarrollo del formalismo moderno del tema en términos de tensores y campos tensoriales .
