En matemáticas , la holomorfia de dimensión infinita es una rama del análisis funcional . Se ocupa de las generalizaciones del concepto de función holomorfa a funciones definidas y que toman valores en espacios de Banach complejos (o espacios de Fréchet en general), típicamente de dimensión infinita. Es un aspecto del análisis funcional no lineal .
Un primer paso para extender la teoría de las funciones holomorfas más allá de una dimensión compleja es considerar las llamadas funciones holomorfas con valores vectoriales , que todavía están definidas en el plano complejo C , pero toman valores en un espacio de Banach. Tales funciones son importantes, por ejemplo, en la construcción del cálculo funcional holomorfo para operadores lineales acotados .
Definición. Una función f : U → X , donde U ⊂ C es un subconjunto abierto y X es un espacio de Banach complejo se denomina holomorfa si es diferenciable compleja; es decir, para cada punto z ∈ U existe el siguiente límite :
Se puede definir la integral de línea de una función holomorfa de valores vectoriales f : U → X a lo largo de una curva rectificable γ : [ a , b ] → U de la misma manera que para las funciones holomorfas de valores complejos, como el límite de las sumas de los forma
donde a = t 0 < t 1 < ... < t n = b es una subdivisión del intervalo [ a , b ], a medida que las longitudes de los intervalos de subdivisión se aproximan a cero.
Es una comprobación rápida de que el teorema integral de Cauchy también se cumple para funciones holomorfas con valores vectoriales. De hecho, si f : U → X es una función de este tipo y T : X → C un funcional lineal acotado, se puede demostrar que