Anatoly Alexeyevich Karatsuba (su primer nombre a menudo se escribe Anatolii ) ( ruso : Анато́лий Алексе́евич Карацу́ба ; Grozny , Unión Soviética , 31 de enero de 1937 - Moscú , Rusia , 28 de septiembre de 2008 [1] ) fue un matemático ruso que trabajaba en el campo de la analítica. teoría de números , números p -ádicos y series de Dirichlet .
Anatoly Alexeyevich Karatsuba | |
---|---|
Nació | |
Fallecido | 28 de septiembre de 2008 | (71 años)
Nacionalidad | ruso |
alma mater | Universidad estatal de Moscú |
Carrera científica | |
Campos | Matemático |
Durante la mayor parte de su vida estudiantil y profesional estuvo asociado con la Facultad de Mecánica y Matemáticas de la Universidad Estatal de Moscú , defendiendo un D.Sc. allí titulado "El método de las sumas trigonométricas y teoremas de valores intermedios" en 1966. [2] Más tarde ocupó un puesto en el Instituto Steklov de Matemáticas de la Academia de Ciencias . [2]
Su libro de texto Foundations of Analytic Number Theory llegó a dos ediciones, 1975 y 1983. [2]
El algoritmo de Karatsuba es el algoritmo de división y conquista más antiguo conocido para la multiplicación y sigue vivo como un caso especial de su generalización directa, el algoritmo de Toom-Cook . [3]
Los principales trabajos de investigación de Anatoly Karatsuba se publicaron en más de 160 artículos de investigación y monografías. [4]
Su hija, Yekaterina Karatsuba , también matemática, construyó el método FEE .
Premios y títulos
Los primeros trabajos sobre informática
Como estudiante de la Universidad Estatal Lomonosov de Moscú, Karatsuba asistió al seminario de Andrey Kolmogorov y encontró soluciones a dos problemas planteados por Kolmogorov. Esto fue esencial para el desarrollo de la teoría de los autómatas e inició una nueva rama de las matemáticas, la teoría de los algoritmos rápidos.
Autómatas
En el artículo de Edward F. Moore , [5] , un autómata (o una máquina) , se define como un dispositivo con estados, símbolos de entrada y símbolos de salida. Nueve teoremas sobre la estructura de y experimentos con se prueban. Más tarde talLas máquinas recibieron el nombre de máquinas Moore . Al final del artículo, en el capítulo «Nuevos problemas», Moore formula el problema de mejorar las estimaciones que obtuvo en los Teoremas 8 y 9:
- Teorema 8 (Moore). Dado un arbitrario máquina , de modo que cada dos estados se pueden distinguir entre sí, existe un experimento de longitud que identifica el estado de al final de este experimento.
En 1957, Karatsuba demostró dos teoremas que resolvieron por completo el problema de Moore sobre la mejora de la estimación de la duración del experimento en su Teorema 8 .
- Teorema A (Karatsuba). Si es un máquina tal que cada dos sus estados se pueden distinguir entre sí, entonces existe un experimento ramificado de longitud como máximo , mediante el cual se puede encontrar el estado al final del experimento.
- Teorema B (Karatsuba). Existe un máquina, cuyos estados se pueden distinguir entre sí, de modo que la longitud del experimento más corto para encontrar el estado de la máquina al final del experimento es igual a .
Estos dos teoremas fueron probados por Karatsuba en su cuarto año como base de su proyecto de cuarto año; el artículo correspondiente fue enviado a la revista "Uspekhi Mat. Nauk" el 17 de diciembre de 1958 y publicado en junio de 1960. [6] Hasta el día de hoy (2011) este resultado de Karatsuba que luego adquirió el título "el teorema de Moore-Karatsuba ", sigue siendo el único resultado no lineal preciso (el único orden no lineal preciso de la estimación) tanto en la teoría de autómatas como en los problemas similares de la teoría de la complejidad de los cálculos.
Funciona en teoría de números
Los principales trabajos de investigación de AAKaratsuba se publicaron en más de 160 artículos de investigación y monografías. [7] [8] [9] [10]
El método p -ádico
AAKaratsuba construyó un nuevo -método ádico en la teoría de las sumas trigonométricas. [11] Las estimaciones de los llamados-sumas de la forma
llevó [12] a los nuevos límites para ceros del Dirichlet-serie módulo una potencia de un número primo, a la fórmula asintótica para el número de congruencia de Waring de la forma
a una solución del problema de distribución de partes fraccionarias de un polinomio con coeficientes enteros módulo . AA Karatsuba fue el primero en darse cuenta [13] en el-ádica forma el «principio de incrustación» de Euler-Vinogradov y para calcular un -análogo ádico de Vinogradov -números al estimar el número de soluciones de una congruencia del tipo Waring.
Asumir que : y además : dónde es un número primo. Karatsuba demostró que en ese caso para cualquier número natural existe un tal que para cualquier cada número natural se puede representar en la forma (1) para , y para allí existe tal que la congruencia (1) no tiene soluciones.
Este nuevo enfoque, encontrado por Karatsuba, condujo a un nuevo -Demostración ádica del teorema del valor medio de Vinogradov , que juega el papel central en el método de las sumas trigonométricas de Vinogradov.
Otro componente del -método ádico de AA Karatsuba es la transición de sistemas incompletos de ecuaciones a sistemas completos a expensas de los sistemas locales -cambio ádico de incógnitas. [14]
Dejar ser un número natural arbitrario, . Determinar un número entero por las desigualdades . Considere el sistema de ecuaciones
Karatsuba demostró que la cantidad de soluciones de este sistema de ecuaciones para satisface la estimación
Para sistemas de ecuaciones incompletos, en los que las variables pasan por números con divisores primos pequeños, Karatsuba aplicó la traducción multiplicativa de variables. Esto condujo a una estimación esencialmente nueva de sumas trigonométricas y un nuevo teorema del valor medio para tales sistemas de ecuaciones.
El problema de Hua Luogeng sobre el exponente de convergencia de la integral singular en el problema de Terry
-El método ádico de AAKaratsuba incluye las técnicas de estimación de la medida del conjunto de puntos con valores pequeños de funciones en términos de los valores de sus parámetros (coeficientes, etc.) y, a la inversa, las técnicas de estimación de esos parámetros en términos de la medida de este conjunto en lo real y -métricas ádicas. Este lado del método de Karatsuba se manifestó especialmente claro en la estimación de integrales trigonométricas, lo que condujo a la solución del problema de Hua Luogeng . En 1979 Karatsuba, junto con sus estudiantes GI Arkhipov y VN Chubarikov obtuvieron una solución completa [15] del problema de Hua Luogeng de encontrar el exponente de convergencia de la integral:
dónde es un número fijo.
En este caso, el exponente de convergencia significa el valor , tal que converge para y diverge para , dónde es arbitrariamente pequeño. Se demostró que la integral converge para y diverge para .
Al mismo tiempo, se resolvió el problema similar para la integral: dónde son enteros, satisfaciendo las condiciones:
Karatsuba y sus estudiantes demostraron que la integral converge, si y diverge, si .
Las integrales y surgen en el estudio del llamado problema de Prouhet-Tarry-Escott . Karatsuba y sus alumnos obtuvieron una serie de nuevos resultados relacionados con el análogo multidimensional del problema Tarry. En particular, demostraron que si es un polinomio en variables () de la forma : con el término libre cero, , es el -vector dimensional, que consta de los coeficientes de , luego la integral: converge para , dónde es el más alto de los números . Este resultado, al no ser definitivo, generó una nueva área en la teoría de las integrales trigonométricas, relacionada con la mejora de los límites del exponente de convergencia. (IA Ikromov, MA Chahkiev y otros).
Múltiples sumas trigonométricas
En 1966-1980, Karatsuba desarrolló [16] [17] (con la participación de sus estudiantes GI Arkhipov y VN Chubarikov) la teoría de múltiples sumas trigonométricas de Hermann Weyl , es decir, las sumas de la forma
- , dónde ,
es un sistema de coeficientes reales . El punto central de esa teoría, como en la teoría de las sumas trigonométricas de Vinogradov, es el siguiente teorema del valor medio .
- Dejar ser números naturales, , . Además, deja ser el -cubo dimensional de la forma: , , en el espacio euclidiano: y :: . : Entonces para cualquier y el valor se puede estimar de la siguiente manera
- ,:
dónde , , , , y los números naturales son tales que: :: , .
El teorema del valor medio y el lema de la multiplicidad de intersección de paralelepípedos multidimensionales forman la base de la estimación de una suma trigonométrica múltiple, que fue obtenida por Karatsuba (el caso bidimensional fue derivado por GI Arkhipov [18] ). Denotando por el mínimo común múltiplo de los números con la condición , por la estimación se mantiene
- ,
dónde es el número de divisores del entero , y es el número de divisores primos distintos del número .
La estimación de la función de Hardy en el problema de Waring
Aplicando su -forma ádica del método de Hardy-Littlewood-Ramanujan-Vinogradov para estimar sumas trigonométricas, en el que la suma se toma sobre números con divisores primos pequeños, Karatsuba obtuvo [19] una nueva estimación de la conocida función de Hardyen el problema de Waring (por):
Análogo multidimensional del problema de Waring
En su investigación posterior del problema de Waring, Karatsuba obtuvo [20] la siguiente generalización bidimensional de ese problema:
Considere el sistema de ecuaciones
- , ,
dónde se les dan números enteros positivos con el mismo orden o crecimiento, , y son incógnitas, que también son números enteros positivos. Este sistema tiene soluciones, si , y si , entonces existen tales , que el sistema no tiene soluciones.
El problema de Artin de la representación local del cero mediante una forma
Emil Artin había planteado el problema en el-representación ádica del cero mediante una forma de grado arbitrario d . Artin inicialmente conjeturó un resultado, que ahora se describiría como el campo p-ádico siendo un campo C 2 ; en otras palabras, se produciría una representación no trivial de cero si el número de variables fuera al menos d 2 . Este no fue el caso con un ejemplo de Guy Terjanian . Karatsuba mostró que, para tener una representación no trivial de cero por una forma, el número de variables debería crecer más rápido que polinomialmente en el grado d ; este número de hecho debería tener un crecimiento casi exponencial, dependiendo del grado. Karatsuba y su alumno Arkhipov demostraron, [21] que para cualquier número natural existe , tal que para cualquier hay una forma con coeficientes integrales de grado menor que , el número de variables de las cuales es , ,
que tiene sólo una representación trivial de cero en los números 2-ádicos. También obtuvieron un resultado similar para cualquier módulo primo impar.
Estimaciones de sumas cortas de Kloosterman
Karatsuba desarrolló [22] [23] [24] (1993-1999) un nuevo método para estimar sumas cortas de Kloosterman , es decir, sumas trigonométricas de la forma
dónde corre a través de un conjunto de números, coprime a , la cantidad de elementos en el cual es esencialmente menor que , y el símbolo denota la clase de congruencia, inversa a modulo : .
Hasta principios de la década de 1990 se conocían estimaciones de este tipo, principalmente, para sumas en las que el número de sumandos era superior a ( HD Kloosterman , MI Vinogradov , H. Salié, L. Carlitz , S. Uchiyama, A. Weil ). La única excepción fueron los módulos especiales de la forma, dónde es un primo fijo y el exponente aumenta hasta el infinito (este caso fue estudiado por AG Postnikov mediante el método de Vinogradov). El método de Karatsuba permite estimar sumas de Kloosterman donde el número de sumandos no excede
y en algunos casos incluso
dónde es un número fijo arbitrariamente pequeño. El artículo final de Karatsuba sobre este tema [25] se publicó póstumamente.
Varios aspectos del método de Karatsuba han encontrado aplicaciones en los siguientes problemas de la teoría analítica de números:
- encontrar asintóticas de las sumas de partes fraccionarias de la forma: : dónde corre, uno tras otro, a través de los enteros que satisfacen la condición , y pasa por los números primos que no dividen el módulo (Karatsuba);
- encontrar un límite inferior para el número de soluciones de desigualdades de la forma: : en los enteros , , coprime a , (Karatsuba);
- la precisión de aproximación de un número real arbitrario en el segmento por partes fraccionarias de la forma:
: dónde , , (Karatsuba);
- una constante más precisa en el teorema de Brun-Titchmarsh :
: dónde es el número de primos , que no exceda y perteneciente a la progresión aritmética ( J. Friedlander , H. Iwaniec );
- un límite inferior para el mayor divisor primo del producto de números de la forma:
, ( DR Heath-Brown );
- demostrando que hay infinitos números primos de la forma:
( J. Friedlander , H. Iwaniec );
- propiedades combinatorias del conjunto de números:
(AA Glibichuk).
La función zeta de Riemann
Los ceros de Selberg
En 1984 Karatsuba demostró, [26] [27] que durante un período fijo satisfaciendo la condición , un suficientemente grande y , , el intervalo contiene al menos ceros reales de la función zeta de Riemann .
El caso especial fue probado por Atle Selberg a principios de 1942. [28] Las estimaciones de Atle Selberg y Karatsuba no pueden mejorarse con respecto al orden de crecimiento como.
Distribución de ceros de la función zeta de Riemann en los intervalos cortos de la línea crítica
Karatsuba también obtuvo [29] una serie de resultados sobre la distribución de ceros deen intervalos «cortos» de la línea crítica. Demostró que un análogo de la conjetura de Selberg vale para «casi todos» los intervalos, , dónde es un número positivo fijo arbitrariamente pequeño. Karatsuba desarrolló (1992) un nuevo enfoque para investigar los ceros de la función zeta de Riemann en intervalos «supercortos» de la línea crítica, es decir, en los intervalos, la longitud de los cuales crece más lento que cualquier otro, incluso un grado arbitrariamente pequeño . En particular, demostró que para cualquier número dado, satisfaciendo las condiciones casi todos los intervalos por contener al menos ceros de la función . Esta estimación se acerca bastante a la que se desprende de la hipótesis de Riemann .
Ceros de combinaciones lineales de Dirichlet serie L
Karatsuba desarrolló un nuevo método [30] [31] para investigar ceros de funciones que se pueden representar como combinaciones lineales de Dirichlet L {\ Displaystyle L} -serie . El ejemplo más simple de una función de ese tipo es la función de Davenport-Heilbronn, definida por la igualdad
dónde es un módulo de carácter no principal (, , , , , para cualquier ),
Para La hipótesis de Riemann no es cierta, sin embargo, la línea crítica contiene, sin embargo, normalmente muchos ceros.
Karatsuba demostró (1989) que el intervalo , , contiene al menos
ceros de la función . Karatsuba obtuvo resultados similares también para combinaciones lineales que contienen un número arbitrario (finito) de sumandos; el exponente de grado se reemplaza aquí por un número menor , eso depende solo de la forma de la combinación lineal.
El límite de ceros de la función zeta y el problema multidimensional de los divisores de Dirichlet
A Karatsuba pertenece un nuevo resultado revolucionario [32] en el problema multidimensional de los divisores de Dirichlet, que está relacionado con encontrar el número de soluciones de la desigualdad en los números naturales como . Para hay una fórmula asintótica de la forma
- ,
dónde es un polinomio de grado , cuyos coeficientes dependen de y se puede encontrar explícitamente y es el término restante, todas las estimaciones conocidas de las cuales (hasta 1960) eran de la forma
- ,
dónde , son algunas constantes positivas absolutas.
Karatsuba obtuvo una estimación más precisa de , en el que el valor era de orden y estaba disminuyendo mucho más lento que en las estimaciones anteriores. La estimación de Karatsuba es uniforme en y ; en particular, el valor puede crecer como crece (como alguna potencia del logaritmo de ). (Un resultado similar, pero más débil, fue obtenido en 1960 por un matemático alemán Richert, cuyo artículo permaneció desconocido para los matemáticos soviéticos al menos hasta mediados de los años setenta).
Prueba de la estimación de se basa en una serie de afirmaciones, esencialmente equivalente al teorema de la frontera de ceros de la función zeta de Riemann, obtenido por el método de Vinogradov, es decir, el teorema que afirma que no tiene ceros en la región
- .
Karatsuba encontró [33] (2000) la relación hacia atrás de las estimaciones de los valores con el comportamiento de cerca de la línea . En particular, demostró que si es una función arbitraria no creciente que satisface la condición , tal que para todos el estimado
aguanta, entonces no tiene ceros en la región
( son algunas constantes absolutas).
Estimaciones por debajo del máximo del módulo de la función zeta en pequeñas regiones del dominio crítico y en pequeños intervalos de la línea crítica
Karatsuba introdujo y estudió [34] las funciones y , definido por las igualdades
Aquí es un número positivo suficientemente grande, , , , . Estimando los valores y de abajo muestra, qué tan grandes (en módulo) valores puede tomar intervalos cortos de la línea crítica o en pequeñas vecindades de puntos que se encuentran en la franja crítica . El casofue estudiado anteriormente por Ramachandra; el caso, dónde es una constante suficientemente grande, es trivial.
Karatsuba demostró, en particular, que si los valores y exceder ciertas constantes suficientemente pequeñas, entonces las estimaciones
sostener, donde son ciertas constantes absolutas.
Comportamiento del argumento de la función zeta en la línea crítica
Karatsuba obtuvo una serie de nuevos resultados [35] [36] relacionados con el comportamiento de la función, que se llama el argumento de la función zeta de Riemann en la línea crítica (aquí es el incremento de una rama continua arbitraria de a lo largo de la línea discontinua que une los puntos y ). Entre esos resultados se encuentran los teoremas del valor medio para la función y su primera integral en intervalos de la recta real, y también el teorema que afirma que cada intervalo por contiene al menos
puntos donde la función signo de cambios. Atle Selberg obtuvo resultados anteriores similares para el caso.
Los personajes de Dirichlet
Estimaciones de sumas cortas de caracteres en campos finitos
A finales de los años sesenta, Karatsuba, estimando pequeñas sumas de caracteres de Dirichlet , desarrolló [37] un nuevo método que permitía obtener estimaciones no triviales de pequeñas sumas de caracteres en campos finitos . Dejar ser un número entero fijo, un polinomio, irreductible sobre el campo de números racionales, una raíz de la ecuación , la extensión correspondiente del campo , una base de , , , . Además, deja ser un primo suficientemente grande, de modo que es modulo irreducible , el campo de Galois con una base, un carácter de Dirichlet no principal del campo. Finalmente, deja ser algunos enteros no negativos, el conjunto de elementos del campo de Galois ,
- ,
tal que para cualquier , , se cumplen las siguientes desigualdades:
- .
Karatsuba demostró que para cualquier fijo , y arbitrario satisfaciendo la condición
se cumple la siguiente estimación:
dónde , y la constante depende solo de y la base .
Estimaciones de sumas lineales de caracteres sobre números primos desplazados
Karatsuba desarrolló una serie de herramientas nuevas que, combinadas con el método de Vinogradov para estimar sumas con números primos, le permitieron obtener en 1970 [38] una estimación de la suma de valores de un carácter no principal módulo a primo en una secuencia de números primos desplazados, es decir, una estimación de la forma
dónde es un número entero que satisface la condición , un número fijo arbitrariamente pequeño, , y la constante depende de solo.
Esta afirmación es considerablemente más fuerte que la estimación de Vinogradov, que no es trivial para .
En 1971, hablando en la conferencia internacional sobre teoría de números con motivo del 80 cumpleaños de Ivan Matveyevich Vinogradov , el académico Yuri Linnik señaló lo siguiente:
«De gran importancia son las investigaciones realizadas por Vinogradov en el área de asintóticas de carácter de Dirichlet sobre primos desplazados, que dan una potencia disminuida en comparación con en comparación con , , dondees el módulo del carácter. Esta estimación es de crucial importancia, ya que es tan profunda que da más que la hipótesis de Riemann extendida , y, al parecer, en esas direcciones hay un hecho más profundo que esa conjetura (si la conjetura es cierta). Recientemente, esta estimación fue mejorada por AAKaratsuba ».
Karatsuba extendió este resultado al caso en que recorre los números primos en una progresión aritmética, cuyo incremento crece con el módulo .
Estimaciones de sumas de caracteres en polinomios con un argumento primo
Karatsuba encontró [37] [39] una serie de estimaciones de sumas de caracteres de Dirichlet en polinomios de grado dos para el caso en que el argumento del polinomio pasa por una secuencia corta de números primos posteriores. Dejemos, por ejemplo, ser un primo suficientemente alto, , dónde y son enteros, satisfaciendo la condición , y deja denotar el símbolo de Legendre , luego para cualquier fijo con la condición y por la suma ,
se cumple la siguiente estimación:
(aquí pasa por los números primos posteriores, es el número de primos que no excede , y es una constante, dependiendo de solo).
Karatsuba obtuvo una estimación similar también para el caso en que recorre una secuencia de números primos en una progresión aritmética, cuyo incremento puede crecer junto con el módulo .
Karatsuba conjeturó que la estimación no trivial de la suma por , que son "pequeñas" en comparación con , sigue siendo cierto en el caso en que se reemplaza por un polinomio arbitrario de grado , que no es un módulo cuadrado . Esta conjetura sigue abierta.
Límites inferiores para sumas de caracteres en polinomios
Karatsuba construyó [40] una secuencia infinita de números primos y una secuencia de polinomios de grado con coeficientes enteros, tales que no es un módulo cuadrado completo ,
y tal que
En otras palabras, para cualquier el valor resulta ser un módulo de residuos cuadráticos . Este resultado muestra que la estimación de André Weil
no se puede mejorar esencialmente y el lado derecho de esta última desigualdad no se puede reemplazar por, digamos, el valor , dónde es una constante absoluta.
Sumas de caracteres en secuencias aditivas
Karatsuba encontró un nuevo método, [41] que permite obtener estimaciones bastante precisas de sumas de valores de caracteres de Dirichlet no principales en secuencias aditivas, es decir, en secuencias que constan de números de la forma, donde las variables y corre a través de algunos conjuntos y independientemente unos de otros. El ejemplo más característico de ese tipo es la siguiente afirmación que se aplica para resolver una amplia clase de problemas, relacionados con la suma de valores de caracteres de Dirichlet. Dejar ser un número fijo arbitrariamente pequeño, , una prima suficientemente grande, un módulo de personaje no principal . Además, deja y ser subconjuntos arbitrarios del sistema completo de clases de congruencia módulo , satisfaciendo solo las condiciones , . Entonces se cumple la siguiente estimación:
El método de Karatsuba permite obtener estimaciones no triviales de ese tipo en ciertos otros casos cuando las condiciones para los conjuntos y , formulados anteriormente, se reemplazan por otros diferentes, por ejemplo: ,
En el caso cuando y son los conjuntos de primos en intervalos , respectivamente, donde , , una estimación de la forma
sostiene, donde es el número de primos, sin exceder , , y es una constante absoluta.
Distribución de clases de congruencia de poder y raíces primitivas en secuencias dispersas
Karatsuba obtuvo [42] (2000) estimaciones no triviales de sumas de valores de caracteres de Dirichlet "con pesos", es decir, sumas de componentes de la forma, dónde es una función del argumento natural. Estimaciones de ese tipo se aplican para resolver una amplia clase de problemas de teoría de números, relacionados con la distribución de clases de congruencia de potencia, también raíces primitivas en ciertas secuencias.
Dejar ser un número entero, una prima suficientemente grande, , , , dónde y, finalmente,
(para una expresión asintótica para , ver arriba, en la sección sobre el problema multidimensional de los divisores de Dirichlet). Por las sumas y de los valores , extendido sobre los valores , para lo cual los números son residuos cuadráticos (respectivamente, no residuos) módulo , Karatsuba obtuvo fórmulas asintóticas de la forma
- .
Del mismo modo, para la suma de valores , se apoderó de todo , para cual es un módulo raíz primitivo , se obtiene una expresión asintótica de la forma
- ,
dónde son todos divisores primos del número .
Karatsuba aplicó su método también a los problemas de distribución de residuos de potencia (no residuos) en las secuencias de primos desplazados. , de los enteros del tipo y algunos otros.
Obras de sus últimos años
En sus últimos años, además de su investigación en teoría de números (ver fenómeno de Karatsuba , [43] Karatsuba estudió ciertos problemas de física teórica , en particular en el área de la teoría cuántica de campos . Aplicando su teorema ATS y algunos otros enfoques teóricos de números, obtuvo nuevos resultados [44] en el modelo de Jaynes-Cummings en óptica cuántica .
Vida personal
Toda su vida Karatsuba disfrutó de muchos deportes: en su juventud, atletismo, levantamiento de pesas y lucha, luego senderismo, escalada en roca, espeleología y montañismo. [ cita requerida ]
Cuatro veces escaló el monte Elbrus . Caminó en las montañas del Cáucaso , las montañas de Pamir y, especialmente en los últimos años de su vida, Tian Shan en Zailiysky Alatau y Teskey Ala-Too . Amaba la música clásica y la conocía muy bien, especialmente a Johann Sebastian Bach y Antonio Vivaldi .
Ver también
- Teorema de ATS
- Algoritmo de Karatsuba
- Máquina de moore
Referencias
- ^ http://iopscience.iop.org/1064-5632/72/6/E01/pdf/1064-5632_72_6_E01.pdf
- ^ a b c Encuesta matemática rusa de 1998 53 419 http://iopscience.iop.org/0036-0279/53/2/M21
- ^ D. Knuth, TAOCP vol. II, sec. 4.3.3
- ^ Lista de trabajos de investigación , Anatolii Karatsuba, Steklov Mathematical Institute (consultado en marzo de 2012).
- ^ Moore, EF (1956). "Experimentos de Gedanken en máquinas secuenciales". En CE Shannon; J McCarthy (eds.). Estudios de autómatas . Anales de estudios matemáticos. 34 . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. págs. 129-153.
- ^ Karatsuba, AA (1960). "Solución de un problema a partir de la teoría de los autómatas finitos". Usp. Estera. Nauk (15: 3): 157-159.
- ^ Karatsuba, AA (1975). Principios de la teoría analítica de números . Moscú: Nauka.
- ^ GI Archipov, AA Karatsuba, VN Chubarikov (1987). Teoría de múltiples sumas trigonométricas . Moscú: Nauka.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ AA Karatsuba, SM Voronin (1994). La función Zeta de Riemann . Moscú: Fiz.Mat.Lit. ISBN 3110131706.
- ^ Karatsuba, AA (1995). Análisis complejo en teoría de números . Londres, Tokio: CRC ISBN 0849328667.
- ^ Archipov GI, Chubarikov VN (1997). "Sobre los trabajos matemáticos del profesor AA Karatsuba" . Procedimientos Steklov Inst. Matemáticas. (218): 7-19.
- ^ Karatsuba, AA (1961). "Estimaciones de sumas trigonométricas de forma especial y sus aplicaciones". Dokl. Akad. Nauk SSSR (137: 3): 513–514.
- ^ Karatsuba, AA (1962). "El problema de Waring para la congruencia módulo el número que es igual al primo en potencia". Vestn. Mosk. Univ. (1: 4): 28–38.
- ^ Karatsuba, AA (1965). "Sobre la estimación del número de soluciones de determinadas ecuaciones". Dokl. Akad. Nauk SSSR (165: 1): 31–32.
- ^ GI Archipov, AA Karatsuba, VN Chubarikov (1979). "Integrales trigonométricas". Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Estera. (43: 5): 971–1003.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Karatsuba, AA (1966). "Los teoremas del valor medio y sumas trigonométricas completas". Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Estera. (30: 1): 183–206.
- ^ GI Archipov, AA Karatsuba, VN Chubarikov (1987). Teoría de múltiples sumas trigonométricas . Moscú: Nauka.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Arkhipov, GI (1975). "Un teorema del valor medio del módulo de una suma trigonométrica múltiple". Matemáticas. Notes (17: 1): 143-153.
- ^ Karatsuba, AA (1985). "Sobre la función G (n) en el problema de Waring". Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Matemáticas. (49: 5): 935–947.
- ^ GI Archipov, AA Karatsuba (1987). "Un análogo multidimensional del problema de Waring". Dokl. Akad. Nauk SSSR (295: 3): 521–523.
- ^ GI Archipov, AA Karatsuba (1981). "Sobre la representación local de cero por una forma". Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Estera. (45: 5): 948–961.
- ^ Karatsuba, AA (1995). "Análogos de las sumas de Kloostermans". Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Matemáticas. (59: 5): 93-102.
- ^ Karatsuba, AA (1997). "Análogos de sumas de Kloosterman incompletas y sus aplicaciones". Matemáticas de las Montañas Tatra. Publ. (11): 89-120.
- ^ Karatsuba, AA (1999). "Sumas dobles de Kloosterman". Estera. Zametki (66: 5): 682–687.
- ^ Karatsuba, AA (2010). "Nuevas estimaciones de sumas cortas de Kloosterman". Estera. Zametki (88: 3-4): 347-359.
- ^ Karatsuba, AA (1984). "Sobre los ceros de la función ζ (s) en intervalos cortos de la línea crítica". Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Estera. (48: 3): 569–584.
- ^ Karatsuba, AA (1985). "Sobre los ceros de la función zeta de Riemann en la línea crítica". Proc. Steklov Inst. Matemáticas. (167): 167-178.
- ^ Selberg, A. (1942). "Sobre los ceros de la función zeta de Riemann". SHR. Norske Vid. Akad. Oslo (10): 1–59.
- ^ Karatsuba, AA (1992). "Sobre el número de ceros de la función zeta de Riemann que se encuentran en casi todos los intervalos cortos de la línea crítica". Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Estera. (56: 2): 372–397.
- ^ Karatsuba, AA (1990). "En los ceros de la función Davenport-Heilbronn que se encuentran en la línea crítica". Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Estera. (54: 2): 303–315.
- ^ Karatsuba, AA (1993). "Sobre los ceros de las series aritméticas de Dirichlet sin producto de Euler". Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Estera. (57: 5): 3–14.
- ^ Karatsuba, AA (1972). "Estimación uniforme del resto en el problema de los divisores de Dirichlet". Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Estera. (36: 3): 475–483.
- ^ Karatsuba, AA (2000). "El problema del divisor de Dirichlet multidimensional y cero regiones libres para la función zeta de Riemann" . Functiones et Approximatio . 28 (XXVIII): 131–140. doi : 10.7169 / facm / 1538186690 .
- ^ Karatsuba, AA (2004). "Límites inferiores para el módulo máximo de la función zeta de Riemann en segmentos cortos de la línea crítica". Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat . 68 (68: 8): 99-104. Código Bibliográfico : 2004IzMat..68.1157K . doi : 10.1070 / IM2004v068n06ABEH000513 .
- ^ Karatsuba, AA (1996). "Teorema de la densidad y el comportamiento del argumento de la función zeta de Riemann". Estera. Zametki (60: 3): 448–449.
- ^ Karatsuba, AA (1996). "Sobre la función S (t)". Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Estera. (60: 5): 27–56.
- ^ a b Karatsuba, AA (1968). "Sumas de caracteres y raíces primitivas en campos finitos". Dokl. Akad. Nauk SSSR (180: 6): 1287-1289.
- ^ Karatsuba, AA (1970). "Sobre estimaciones de sumas de caracteres". Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Estera. (34: 1): 20–30.
- ^ Karatsuba, AA (1975). "Sumas de caracteres en secuencias de números primos desplazados, con aplicaciones". Estera. Zametki (17: 1): 155-159.
- ^ Karatsuba, AA (1973). "Estimaciones inferiores de sumas de caracteres polinomiales". Estera. Zametki (14: 1): 67–72.
- ^ Karatsuba, AA (1971). "Distribución de residuos y no residuos de energía en secuencias aditivas". Dokl. Akad. Nauk SSSR (196: 4): 759–760.
- ^ Karatsuba, AA (2000). "Sumas ponderadas de caracteres". Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat . 64 (64: 2): 29–42. Código Bibliográfico : 2000IzMat..64..249K . doi : 10.1070 / IM2000v064n02ABEH000283 .
- ^ Karatsuba, AA (2011). "Una propiedad del conjunto de números primos". Encuestas matemáticas rusas . 66 (2): 209–220. Código Bibliográfico : 2011RuMaS..66..209K . doi : 10.1070 / RM2011v066n02ABEH004739 .
- ^ AA Karatsuba, EA Karatsuba (2009). "Una fórmula de reanimación para el colapso y el renacimiento en el modelo de Jaynes-Cummings". J. Phys. A: Matemáticas. Theor . 42 (19): 195304, 16. Código Bibliográfico : 2009JPhA ... 42s5304K . doi : 10.1088 / 1751-8113 / 42/19/195304 .
- GI Archipov; VN Chubarikov (1997). "Sobre los trabajos matemáticos del profesor AA Karatsuba". Proc. Steklov Inst. Matemáticas . 218 .
enlaces externos
- Anatoly Karatsuba en el Proyecto de genealogía matemática
- "Karatsuba Anatolii Alexeevitch (página de inicio personal)" . Archivado desde el original el 6 de octubre de 2008 . Consultado el 17 de noviembre de 2008 .
- Lista de trabajos de investigación en el Instituto de Matemáticas Steklov