En matemáticas, el método FEE es el método de suma rápida de series de una forma especial. Fue construido en 1990 por Ekaterina A. Karatsuba [1] [2] y se llamó FEE ( evaluación rápida de la función E ) porque hace cálculos rápidos del Siegel. -funciones posibles, en particular de .
Siegel le dio a una clase de funciones, que son 'similares a la función exponencial' el nombre de 'funciones E' . [3] Entre estas funciones se encuentran funciones especiales como la función hipergeométrica , el cilindro , las funciones esféricas , etc.
Usando la FEE, es posible probar el siguiente teorema:
Teorema : Seaser una función trascendental elemental , que es la función exponencial , o una función trigonométrica , o una función algebraica elemental , o su superposición, o su inversa , o una superposición de las inversas. Luego
Aquí es la complejidad del cálculo (bit) de la función con precisión hasta dígitos es la complejidad de la multiplicación de dos -dígitos enteros.
Los algoritmos basados en el método FEE incluyen los algoritmos para el cálculo rápido de cualquier función trascendental elemental para cualquier valor del argumento, las constantes clásicas e ,la constante de Euler las constantes de Catalán y Apéry , [4] funciones trascendentales superiores como la función gamma de Euler y sus derivadas, las funciones hipergeométricas , [5] esféricas , cilíndricas (incluida la de Bessel ) [6] y algunas otras funciones para valores algebraicos de la argumento y parámetros, la función zeta de Riemann para valores enteros del argumento [7] [8] y la función zeta de Hurwitz para argumentos enteros y valores algebraicos del parámetro, [9] y también integrales especiales como la integral de probabilidad , la Integrales de Fresnel , la función exponencial integral , las integrales trigonométricas y algunas otras integrales [10] para valores algebraicos del argumento con la cota de complejidad cercana a la óptima, a saber
En la actualidad, [ ¿cuándo? ] sólo la FEE permite calcular rápidamente los valores de las funciones de la clase de funciones trascendentales superiores, [11] ciertas integrales especiales de la física matemática y constantes clásicas como las de Euler, Catalán [12] y Apéry. Una ventaja adicional del método FEE es la posibilidad de paralelizar los algoritmos basados en el FEE.
Cálculo FEE de constantes clásicas
Para una evaluación rápida de la constante se puede usar la fórmula de Euler y aplicar el FEE para sumar la serie de Taylor para
con los términos restantes que satisfacen los límites
y para
Calcular por la FEE es posible utilizar también otras aproximaciones [13] En todos los casos la complejidad es
Para calcular la gamma constante de Euler con una precisión de hasta dígitos, es necesario sumar por el FEE dos series. A saber, para
La complejidad es
Evaluar rápido la constante es posible aplicar la FEE a otras aproximaciones. [14]
Cálculo de FEE de determinadas series de potencias
Por la FEE se calculan rápidamente las dos series siguientes:
bajo el supuesto de que son enteros,
y son constantes, y es un número algebraico. La complejidad de la evaluación de la serie es
La FEE detalla el ejemplo de cálculo rápido de la constante clásica e
Para la evaluación de la constante llevar , términos de la serie de Taylor para
Aquí elegimos , requiriendo que para el resto la desigualdad se ha completado. Este es el caso, por ejemplo, cuando Por lo tanto, tomamos tal que el número natural está determinada por las desigualdades:
Calculamos la suma
en pasos del siguiente proceso.
Paso 1. Combinando los sumandos secuencialmente en pares sacamos de los paréntesis el factor común "obvio" y obtenemos
Calcularemos solo valores enteros de las expresiones entre paréntesis, es decir, los valores
Así, en el primer paso la suma es dentro
En el primer paso enteros de la forma
se calculan. Después de eso actuamos de manera similar: combinando en cada paso los sumandos de la sumasecuencialmente en pares, sacamos de los corchetes el factor común 'obvio' y calculamos solo los valores enteros de las expresiones entre paréntesis. Suponga que el primero se completan los pasos de este proceso.
Paso ().
nosotros solo calculamos enteros de la forma
Aquí
es el producto de enteros.
Etc.
Paso , el último. Calculamos un valor entero calculamos, usando el algoritmo rápido descrito arriba, el valor y haz una división del entero por el entero con precisión hasta dígitos. El resultado obtenido es la suma o la constante hasta dígitos. La complejidad de todos los cálculos es
Ver también
Referencias
- ^ EA Karatsuba, Evaluaciones rápidas de funciones trascendentales. Probl. Peredachi Informat., Vol. 27, No. 4, (1991)
- ^ DW Lozier y FWJ Olver, Evaluación numérica de funciones especiales. Matemáticas de la computación 1943–1993: Medio siglo de matemáticas computacionales, W. Gautschi, eds., Proc. Simpos. Matemáticas Aplicadas, AMS, Vol. 48 (1994).
- ^ CL Siegel, Números trascendentales . Prensa de la Universidad de Princeton, Princeton (1949).
- ^ Karatsuba EA, Evaluación rápida de, Probl. Peredachi Informat., Vol. 29, No. 1 (1993)
- ^ Ekatharine A. Karatsuba, Evaluación rápida de la función hipergeométrica por FEE. Métodos computacionales y teoría de funciones (CMFT'97), N. Papamichael, St. Ruscheweyh y EB Saff, eds., World Sc. Pub. (1999)
- ^ Catherine A. Karatsuba, Evaluación rápida de las funciones de Bessel. Transformaciones integrales y funciones especiales, vol. 1, No. 4 (1993)
- ^ EA Karatsuba, Evaluación rápida de la función zeta de Riemann para valores enteros de argumento . Probl. Peredachi Informat., Vol. 31, N ° 4 (1995).
- ^ JM Borwein, DM Bradley y RE Crandall, Estrategias computacionales para la función zeta de Riemann. J. de Computación. Apl. Math., Vol. 121, núm. 1–2 (2000).
- ^ EA Karatsuba, Evaluación rápida de la función zeta de Hurwitz y Dirichlet-serie, Problema. Peredachi Informat., Vol. 34, núm. 4, págs. 342–353, (1998).
- ^ EA Karatsuba, cálculo rápido de algunas integrales especiales de física matemática. Computación científica, números validados, métodos de intervalo, W. Kramer, JW von Gudenberg, eds. (2001).
- ^ E. Bach, La complejidad de las constantes teóricas de números. Info. Proc. Cartas, No. 62 (1997).
- ^ EA Karatsuba, Cálculo rápido de $ \ zeta (3) $ y de algunas integrales especiales, utilizando los polilogaritmos, la fórmula de Ramanujan y su generalización. J. of Numerical Mathematics BIT, vol. 41, N ° 4 (2001).
- ^ DH Bailey, PB Borwein y S. Plouffe, sobre el rápido cálculo de varias constantes polilogarítmicas. Matemáticas. Comp., Vol. 66 (1997).
- ^ RP Brent y EM McMillan, Algunos algoritmos nuevos para el cálculo de alta precisión de la constante de Euler. Matemáticas. Comp., Vol. 34 (1980).
enlaces externos
- http://www.ccas.ru/personal/karatsuba/divcen.htm
- http://www.ccas.ru/personal/karatsuba/algen.htm