En matemáticas , un álgebra de Hopf , llamada así por Heinz Hopf , es una estructura que es simultáneamente un álgebra ( asociativa unitaria) y una coalgebra (coasociativa counitaria) , siendo la compatibilidad de estas estructuras una biálgebra , y que además está equipada con un antiautomorfismo. satisfacer una determinada propiedad. La teoría de la representación de un álgebra de Hopf es particularmente agradable, ya que la existencia de comultiplicación, país y antípoda compatibles permite la construcción de productos tensoriales de representaciones, representaciones triviales y representaciones duales.
Las álgebras de Hopf aparecen de forma natural en la topología algebraica , donde se originaron y están relacionadas con el concepto de espacio H , en la teoría de esquemas de grupo , en la teoría de grupos (a través del concepto de anillo de grupo ) y en muchos otros lugares, lo que las convierte probablemente en las más importantes. tipo familiar de biálgebra . Las álgebras de Hopf también se estudian por derecho propio, con mucho trabajo en clases específicas de ejemplos por un lado y problemas de clasificación por el otro. Tienen diversas aplicaciones que van desde la física de la materia condensada y la teoría cuántica de campos [1] hasta la teoría de cuerdas [2] y la fenomenología del LHC .. [3]
Formalmente, un álgebra de Hopf es una biálgebra (asociativa y coasociativa ) H sobre un campo K junto con una función K -lineal S : H → H (llamada la antípoda ) tal que el siguiente diagrama conmuta :
Aquí Δ es la comultiplicación de la biálgebra, ∇ su multiplicación, η su unidad y ε su unidad. En la notación de Sweedler sin suma , esta propiedad también se puede expresar como
En cuanto a las álgebras , se puede reemplazar el campo subyacente K con un anillo conmutativo R en la definición anterior. [4]
La definición de álgebra de Hopf es autodual (como se refleja en la simetría del diagrama anterior), por lo que si uno puede definir un dual de H (que siempre es posible si H es de dimensión finita), entonces es automáticamente un álgebra de Hopf . [5]