Coalgebra
En matemáticas , coalgebras o cogebras son estructuras que son dual (en la categoría de teoría de sentido de marcha atrás flechas ) a unital álgebras asociativas . Los axiomas de las álgebras asociativas unitales se pueden formular en términos de diagramas conmutativos . Girando todas las flechas, se obtienen los axiomas de coalgebras. Toda coalgebra, por dualidad ( espacio vectorial ) , da lugar a un álgebra, pero no en general al revés. En dimensiones finitas , esta dualidad va en ambas direcciones ( ver más abajo ).
Las coalgebras ocurren naturalmente en varios contextos (por ejemplo, teoría de la representación , álgebras envolventes universales y esquemas de grupo ).
Un ejemplo recurrente de coalgebras se da en la teoría de la representación y, en particular, en la teoría de la representación del grupo de rotación . Una tarea principal, de uso práctico en física, es obtener combinaciones de sistemas con diferentes estados de momento angular y espín . Para ello, se utilizan los coeficientes de Clebsch-Gordan . Dados dos sistemas con momentos angulares y , una tarea particularmente importante es encontrar el momento angular total dado el estado combinado . Esto lo proporciona el operador de momento angular total, que extrae la cantidad necesaria de cada lado del producto tensorial. Puede escribirse como un producto tensorial "externo".
La palabra "externo" aparece aquí, en contraste con el producto tensorial "interno" de un álgebra tensorial . Un álgebra tensorial viene con un producto tensorial (el interno); también se puede equipar con un segundo producto tensor, el "externo", o el coproducto , que tiene la forma anterior. Que son dos productos diferentes se enfatiza recordando que el producto tensorial interno de un vector y un escalar es simplemente una simple multiplicación escalar. El producto externo los mantiene separados. En este escenario, el coproducto es el mapa
Para este ejemplo, puede tomarse como una de las representaciones de giro del grupo de rotación, siendo la representación fundamental la elección del sentido común. Este coproducto se puede elevar a todo el álgebra tensorial, mediante un lema simple que se aplica a los objetos libres : el álgebra tensorial es un álgebra libre , por lo tanto, cualquier homomorfismo definido en un subconjunto puede extenderse a todo el álgebra. Al examinar el levantamiento en detalle, se observa que el coproducto se comporta como el producto de barajado , esencialmente porque los dos factores anteriores, el izquierdo y el derecho, deben mantenerse en orden secuencial durante los productos de múltiples momentos angulares (las rotaciones no son conmutativas).
