Punto de Apolonio

En geometría triangular , el punto de Apolonio es un punto especial asociado con un triángulo plano . El punto es un centro triangular y está designado como X (181) en la Enciclopedia de centros triangulares (ETC) de Clark Kimberling . El centro de Apolonio también está relacionado con el problema de Apolonio .

En la literatura, el término " puntos de Apolonio " también se ha utilizado para referirse a los puntos isodinámicos de un triángulo. ^[1] Este uso también podría justificarse sobre la base de que los puntos isodinámicos están relacionados con los tres círculos apolíneos asociados con un triángulo.

La solución del problema de Apolonio se conoce desde hace siglos. Pero el punto de Apolonio se notó por primera vez en 1987. ^{[2] [3]}

Definición

El punto de Apolonio de un triángulo se define de la siguiente manera.

Sea ABC cualquier triángulo dado. Deje que los excirculos del triángulo ABC opuestos a los vértices A , B , C sean E _A , E _B , E _C respectivamente. Deje que E sea el círculo que toca los tres excircles E _A , E _B , E _C de tal manera que los tres están dentro excircles E . Sean A ' , B' , C ' los puntos de contacto del círculo Econ los tres excircles. Las líneas AA ' , BB' , CC ' son concurrentes . El punto de coincidencia es el punto de Apolonio del triángulo ABC .

El problema de Apolonio es el problema de construir un círculo tangente a tres círculos dados en un plano. En general, hay ocho círculos que tocan tres círculos dados. El círculo E al que se hace referencia en la definición anterior es uno de estos ocho círculos que tocan los tres círculos del triángulo ABC . En Encyclopedia of Triangle Centres, el círculo E es el llamado círculo de Apolonio del triángulo ABC .

Coordenadas trilineales

Las coordenadas trilineales del punto de Apolonio son ^[2]

${\displaystyle {\frac {a(b+c)^{2}}{b+c-a}}:{\frac {b(c+a)^{2}}{c+a-b}}:{\frac {c(a+b)^{2}}{a+b-c}}}$

${\displaystyle =\sin ^{2}A\cos ^{2}\left({\frac {B}{2}}-{\frac {C}{2}}\right):\sin ^{2}B\cos ^{2}\left({\frac {C}{2}}-{\frac {A}{2}}\right):\sin ^{2}C\cos ^{2}\left({\frac {A}{2}}-{\frac {B}{2}}\right).}$

Referencias

1. Katarzyna Wilczek (2010). "El centro armónico de un trilateral y el punto de Apolonio de un triángulo". Revista de Matemáticas y Aplicaciones . 32 : 95-101.
2. Kimberling, Clark. "Punta Apolonio" . Archivado desde el original el 10 de mayo de 2012 . Consultado el 16 de mayo de 2012 .
3. C. Kimberling; Shiko Iwata; Hidetosi Fukagawa (1987). "Problema 1091 y solución". Crux Mathematicorum . 13 : 217–218.

Ver también

• Teorema de apolonio
• Apolonio de Perge (262-190 a. C.), geómetra y astrónomo
• Problema de Apolonio
• Círculos apolíneos
• Punto isodinámico de un triángulo