En topología , una rama de las matemáticas , los espacios de aproximación son una generalización de los espacios métricos , basados en distancias punto a conjunto , en lugar de distancias punto a punto. Fueron presentados por Robert Lowen en 1989, en una serie de artículos sobre la teoría del enfoque entre 1988 y 1995.
Definición
Dado un espacio métrico ( X , d ), o más generalmente, una extendida seudo cuasimétrico (que se abrevia ∞pq-métrica aquí), se puede definir un mapa inducida por d : X × P ( X ) → [0, ∞] por d ( x , A ) = inf { d ( x , a ): a ∈ A }. Con este ejemplo en mente, una distancia en X se define como un mapa X × P ( X ) → [0, ∞] satisfactorio para todo x en X y A , B ⊆ X ,
- d ( x , { x }) = 0,
- d ( x , Ø) = ∞,
- d ( x , A ∪ B ) = mínimo ( d ( x , A ), d ( x , B )),
- Para todo 0 ≤ ε ≤ ∞, d ( x , A ) ≤ d ( x , A (ε) ) + ε,
donde definimos A (ε) = { x : d ( x , A ) ≤ ε}.
(La convención " vacío infinito es infinito positivo" es como si la intersección nulary fuera una convención de todo ).
Un espacio enfoque se define para ser un par ( X , d ), donde d es un función de distancia en X . Cada espacio de aproximación tiene una topología , dada por tratar A → A (0) como un operador de cierre de Kuratowski .
Los mapas apropiados entre los espacios de aproximación son las contracciones . Un mapa f : ( X , d ) → ( Y , e ) es una contracción si e ( f ( x ), f [ A ]) ≤ d ( x , A ) para todo x ∈ X y A ⊆ X .
Ejemplos de
Cada espacio ∞pq-métrico ( X , d ) se puede distanciar a ( X , d ), como se describe al comienzo de la definición.
Dado un conjunto X , la discreta distancia viene dado por d ( x , A ) = 0 si x ∈ A y D ( x , A ) = ∞ si x ∉ A . La topología inducida es la topología discreta .
Dado un conjunto X , la distancia indiscreta viene dada por d ( x , A ) = 0 si A no está vacío, y d ( x , A ) = ∞ si A está vacío. La topología inducida es la topología indiscreta.
Dado un espacio topológico X , una distancia topológica viene dada por d ( x , A ) = 0 si x ∈ A , y d ( x , A ) = ∞ en caso contrario. La topología inducida es la topología original. De hecho, las únicas distancias de dos valores son las distancias topológicas.
Sea P = [0, ∞] los reales no negativos extendidos . Deje d + ( x , A ) = max ( x - sup A , 0) para x ∈ P y A ⊆ P . Dado cualquier espacio de aproximación ( X , d ), los mapas (para cada A ⊆ X ) d (., A ): ( X , d ) → ( P , d + ) son contracciones.
En P , sea e ( x , A ) = inf {| x - a | : a ∈ A } para x <∞, sea e (∞, A ) = 0 si A es ilimitada, y sea e (∞, A ) = ∞ si A es acotada. Entonces ( P , e ) es un espacio de aproximación. Topológicamente, P es la compactificación de un punto de [0, ∞). Tenga en cuenta que e extiende la distancia euclidiana ordinaria. Esto no se puede hacer con la métrica euclidiana ordinaria.
Sea β N la compactificación Stone-Čech de los enteros . Un punto U ∈ beta N es un ultrafiltro en N . Un subconjunto A ⊆ β N induce un filtro F ( A ) = ∩ { U : U ∈ A }. Sea b ( U , A ) = sup {inf {| n - j | : n ∈ X , j ∈ E }: X ∈ U , E ∈ F ( A )}. Entonces (β N , b ) es un espacio de enfoque que se extiende la distancia euclídea ordinaria en N . Por el contrario, β N no es metrizable.
Definiciones equivalentes
Lowen ha ofrecido al menos siete formulaciones equivalentes. Dos de ellos están debajo.
Deje XPQ ( X ) denota el conjunto de métricas sobre XPQ- X . Una subfamilia G de XPQ ( X ) se llama indicador si
- 0 ∈ G , donde 0 es la métrica cero, es decir, 0 ( x , y ) = 0 para todo x , y ,
- e ≤ d ∈ G implica e ∈ G ,
- d , e ∈ G implica max ( d , e ) ∈ G (el "max" aquí es el máximo puntual ),
- Para todo d ∈ XPQ ( X ), si para todo x ∈ X , ε> 0, N <∞ hay e ∈ G tal que min ( d ( x , y ), N ) ≤ e ( x , y ) + ε para todos los y , a continuación, d ∈ G .
Si G Es un medidor en X , a continuación, d ( x , A ) = sup { e ( x , un )}: e ∈ G } es una función de distancia en X . Por el contrario, dada una función de distancia d en X , el conjunto de e ∈ XPQ ( X ) tal que e ≤ d es un medidor en X . Las dos operaciones son inversas entre sí.
Una contracción f : ( X , d ) → ( Y , e ) es, en términos de los calibres asociados G y H respectivamente, un mapa tal que para todo d ∈ H , d ( f (.), F (.)) ∈ G .
Una torre en X es un conjunto de mapas A → A [ε] para A ⊆ X , ε ≥ 0, satisfaciendo para todo A , B ⊆ X y δ, ε ≥ 0
- A ⊆ A [ε] ,
- Ø [ε] = Ø,
- ( A ∪ B ) [ε] = A [ε] ∪ B [ε] ,
- A [ε] [δ] ⊆ A [ε + δ] ,
- A [ε] = ∩ δ> ε A [δ] .
Dada una distancia d , el asociado A → A (ε) es una torre. A la inversa, dada una torre, el mapa d ( x , A ) = inf {ε: x ∈ A [ε] } es una distancia, y estas dos operaciones son inversas entre sí.
Una contracción f :( X , d ) → ( Y , e ) es, en términos de torres asociadas, un mapa tal que para todo ε ≥ 0, f [ A [ε] ] ⊆ f [ A ] [ε] .
Propiedades categóricas
El principal interés de los espacios de aproximación y sus contracciones es que forman una categoría con buenas propiedades, sin dejar de ser cuantitativos como espacios métricos. Se pueden tomar productos , coproductos y cocientes arbitrarios , y los resultados generalizan adecuadamente los resultados correspondientes para las topologías. Incluso se pueden "distanciar" espacios tan mal no metrizables como β N , la compactación Stone-Čech de los enteros.
Ciertos hiperespacios, espacios de medida y espacios métricos probabilísticos resultan estar naturalmente dotados de una distancia. También se han realizado aplicaciones a la teoría de la aproximación .
Referencias
- Lowen, Robert (1997). Aproximación a espacios: el eslabón perdido en la tríada topología-uniformidad-métrica . Monografías matemáticas de Oxford. Oxford: Clarendon Press . ISBN 0-19-850030-0. Zbl 0891.54001 .
- Lowen, Robert (2015). Análisis de índices: teoría del enfoque en acción . Saltador.