Teorema de imposibilidad de Arrow

No existen sistemas de votación de orden de clasificación justos y libres de spoilers

En la teoría de la elección social , el teorema de la imposibilidad de Arrow , el teorema de la posibilidad general o la paradoja de Arrow es un teorema de la imposibilidad que establece que cuando los votantes tienen tres o más alternativas distintas (opciones), ningún sistema electoral clasificado puede convertir las preferencias clasificadas de los individuos en una comunidad. clasificación amplia (completa y transitiva) al tiempo que cumple con un conjunto específico de criterios: dominio sin restricciones , no dictadura , eficiencia de Pareto e independencia de alternativas irrelevantes. El teorema se cita a menudo en las discusiones sobre la teoría del voto, ya que el teorema de Gibbard-Satterthwaite lo interpreta con más detalle . El teorema lleva el nombre del economista y premio Nobel Kenneth Arrow , quien demostró el teorema en su tesis doctoral y lo popularizó en su libro de 1951 Social Choice and Individual Values . El artículo original se tituló "Una dificultad en el concepto de bienestar social". ^[1]

En resumen, el teorema establece que no se puede diseñar un sistema electoral de orden jerárquico que siempre satisfaga estos tres criterios de "equidad":

• Si todos los votantes prefieren la alternativa X sobre la alternativa Y, entonces el grupo prefiere X sobre Y.
• Si la preferencia de cada votante entre X e Y permanece sin cambios, entonces la preferencia del grupo entre X e Y también permanecerá sin cambios (incluso si las preferencias de los votantes entre otros pares como X y Z, Y y Z, o Z y W cambian).
• No hay un "dictador": ningún votante tiene el poder de determinar siempre la preferencia del grupo.

Los sistemas electorales de votación cardinal no están cubiertos por el teorema, ya que transmiten más información que las órdenes de rango. ^{[2] [3]} Sin embargo, el teorema de Gibbard muestra que la votación estratégica sigue siendo un problema.

El enfoque axiomático adoptado por Arrow puede tratar todas las reglas concebibles (que se basan en preferencias) dentro de un marco unificado. En ese sentido, el enfoque es cualitativamente diferente del anterior en la teoría del voto, en el que las reglas se investigaban una por una. Por tanto, se puede decir que el paradigma contemporáneo de la teoría de la elección social partió de este teorema. ^[4]

Las consecuencias prácticas del teorema son discutibles: Arrow ha dicho: "La mayoría de los sistemas no van a funcionar mal todo el tiempo. Todo lo que probé es que todos pueden funcionar mal a veces". ^[5]

Declaración

La necesidad de agregar preferencias se da en muchas disciplinas: en la economía del bienestar , donde se intenta encontrar un resultado económico que sea aceptable y estable; en la teoría de la decisión , donde una persona tiene que hacer una elección racional basada en varios criterios; y más naturalmente en los sistemas electorales , que son mecanismos para extraer una decisión relacionada con la gobernabilidad de una multitud de preferencias de los votantes.

El marco del teorema de Arrow asume que necesitamos extraer un orden de preferencia en un conjunto dado de opciones (resultados). Cada individuo en la sociedad (o de manera equivalente, cada criterio de decisión) da un orden particular de preferencias sobre el conjunto de resultados. Estamos buscando un sistema electoral de votación clasificado , llamado función de bienestar social ( regla de agregación de preferencias ), que transforme el conjunto de preferencias ( perfilde preferencias) en un único orden de preferencia social global. El teorema de Arrow dice que si el organismo de toma de decisiones tiene al menos dos miembros y al menos tres opciones para decidir entre ellos, entonces es imposible diseñar una función de bienestar social que satisfaga todas estas condiciones (se supone que es un requisito razonable de una votación justa. sistema) a la vez:

No dictadura

La función de bienestar social debe tener en cuenta los deseos de múltiples votantes. No puede simplemente imitar las preferencias de un solo votante.

Dominio sin restricciones o universalidad

Para cualquier conjunto de preferencias individuales de los votantes, la función de bienestar social debería producir una clasificación única y completa de opciones sociales. Por lo tanto:

• Debe hacerlo de una manera que dé como resultado una clasificación completa de las preferencias de la sociedad.
• Debe proporcionar de manera determinista la misma clasificación cada vez que las preferencias de los votantes se presenten de la misma manera.

Independencia de alternativas irrelevantes (IIA)

La preferencia social entre xey debería depender solo de las preferencias individuales entre xey ( independencia por pares ). De manera más general, los cambios en la clasificación de los individuos de las alternativas irrelevantes (fuera de un determinado subconjunto) no deberían tener impacto en la clasificación social del subconjunto. Por ejemplo, si el candidato x se ubica socialmente antes que el candidato y , entonces x debería ubicarse socialmente antes que y, incluso si un tercer candidato z se retira de la participación. (Consulte las observaciones a continuación).

Monotonicidad o asociación positiva de valores sociales e individuales.

Si algún individuo modifica su orden de preferencia promoviendo una determinada opción, entonces el orden de preferencia social debe responder solo promoviendo esa misma opción o no cambiar, nunca colocándola más baja que antes. Un individuo no debería poder dañar una opción al clasificarla más arriba .

No imposición o soberanía ciudadana

Cada posible orden de preferencia social debería ser posible mediante algún conjunto de órdenes de preferencia individuales. Esto significa que la función de bienestar social es sobreyectiva : tiene un espacio objetivo sin restricciones.

Una versión posterior (1963) ^[6] del teorema de Arrow reemplazó los criterios de monotonicidad y no imposición con:

Pareto eficiencia o unanimidad

Si cada individuo prefiere una determinada opción a otra, entonces también debe hacerlo el orden de preferencia social resultante. Esto, nuevamente, es una demanda de que la función de bienestar social sea mínimamente sensible al perfil de preferencia.

Esta última versión es más general y tiene condiciones más débiles. Los axiomas de monotonicidad, no imposición e IIA juntos implican eficiencia de Pareto, mientras que la eficiencia de Pareto (implica en sí misma no imposición) y IIA juntos no implican monotonicidad.

Independencia de alternativas irrelevantes (IIA)

La condición del IIA tiene tres propósitos (o efectos): ^[7]

Normativo

Las alternativas irrelevantes no deberían importar.

Práctico

Uso de información mínima.

Estratégico

Proporcionar los incentivos adecuados para la revelación veraz de las preferencias individuales. Aunque la propiedad estratégica es conceptualmente diferente de IIA, está estrechamente relacionada.

El ejemplo de Arrow sobre la muerte de un candidato (1963, página 26) ^[6] sugiere que la agenda (el conjunto de alternativas factibles) se reduce de, digamos, X = {a, b, c} a S = {a, b } debido a la muerte del candidato c. Este ejemplo es engañoso ya que puede dar al lector la impresión de que el AII es una condición que involucra dos agendas y un perfil. El hecho es que IIA involucra solo un agendum ({x, y} en caso de independencia por pares) pero dosperfiles. Si la condición se aplica a este ejemplo confuso, requiere lo siguiente: Suponga que una regla de agregación que satisface IIA elige b de la agenda {a, b} cuando el perfil está dado por (cab, cba), es decir, el individuo 1 prefiere c a a a b, 2 prefiere c a b a a. Entonces, aún debe elegir b de {a, b} si el perfil fuera, digamos: (abc, bac); (acb, bca); (acb, cba); o (abc, cba).

En otras palabras, Arrow define IIA diciendo que las preferencias sociales entre las alternativas xey dependen solo de las preferencias individuales entre xey (no de las que involucran a otros candidatos).

Declaración formal del teorema

Sea A un conjunto de resultados , N un número de votantes o criterios de decisión . Denotaremos el conjunto de todos los ordenamientos lineales completos de A por L (A) .

Una función (estricta) de bienestar social ( regla de agregación de preferencias ) es una función

${\displaystyle F:\mathrm {L(A)} ^{N}\to \mathrm {L(A)} }$

que agrega preferencias de los votantes en un solo orden de preferencia en A . ^[8]

Una N - tupla ( R ₁ ,…, R _N ) ∈ L (A) ^N de las preferencias de los votantes se denomina perfil de preferencias . En su forma más fuerte y simple, el teorema de imposibilidad de Arrow establece que siempre que el conjunto A de posibles alternativas tiene más de 2 elementos, las siguientes tres condiciones se vuelven incompatibles:

Unanimidad o eficiencia de Pareto débil

Si la alternativa, a , se clasifica estrictamente más alto que b para todos los ordenamientos R ₁ ,…, R _N , entonces a se clasifica estrictamente más alto que b por F ( R ₁ , R ₂ ,…, R _N ) . (La unanimidad implica no imposición).

No dictadura

No hay ningún individuo, i cuyas preferencias estricta siempre prevalecen. Es decir, no hay i ∈ {1,…, N } tal que para todo ( R ₁ ,…, R _N ) ∈ L (A) ^N , a clasificado estrictamente más alto que b por R _i implica un clasificado estrictamente más alto que b por F ( R ₁ , R ₂ , ..., R _N ) , para todos una y b .

Independencia de alternativas irrelevantes

Durante dos perfiles de preferencias ( R ₁ , ..., R _N ) y ( S ₁ , ..., S _N ) de tal manera que para todos los individuos i , alternativas a y b tienen el mismo orden en R _i como en S _i , alternativas a y b tienen el mismo orden en F ( R ₁ ,…, R _N ) que en F ( S ₁ ,…, S _N ) .

Prueba informal

Basado en dos pruebas que aparecen en Economic Theory . ^{[9] [10]} Para simplificar, hemos presentado todas las clasificaciones como si los empates fueran imposibles. Una prueba completa que tenga en cuenta los posibles vínculos no es esencialmente diferente de la que se da aquí, excepto que se debería decir "no arriba" en lugar de "abajo" o "no abajo" en lugar de "arriba" en algunos casos. Los detalles completos se dan en los artículos originales.

Demostraremos que cualquier sistema de elección social que respete el dominio irrestricto, la unanimidad y la independencia de alternativas irrelevantes (IIA) es una dictadura. La idea clave es identificar a un votante fundamental cuya votación influya en el resultado social. Luego probamos que este votante es un dictador parcial (en un sentido técnico específico, que se describe a continuación). Finalmente concluimos mostrando que todos los dictadores parciales son la misma persona, por lo tanto, este votante es un dictador .

Primera parte: hay un votante "fundamental" para B sobre A

Primera parte: Mueva B sucesivamente de la parte inferior a la parte superior de las boletas de los votantes. El votante cuyos resultados cambio en B fue posicionado sobre una es el votante decisivo de B sobre A .

Digamos que hay tres opciones para la sociedad, llamarlos A , B , y C . Supongamos primero que todo el mundo prefiere la opción B lo más mínimo: todo el mundo prefiere A a B , y todo el mundo prefiere C a B . Por unanimidad, la sociedad también debe preferir tanto A y C a B . Llame a esta situación perfil 0 .

Por otro lado, si todos prefirieran B a todo lo demás, entonces la sociedad tendría que preferir B a todo lo demás por unanimidad. Ahora organizar todos los votantes en algunos arbitraria, sino que fija el orden, y para cada i dejar que el perfil i ser el mismo que el perfil 0 , sino que se mueven B a la parte superior de las papeletas de los votantes 1 a i . Entonces, el perfil 1 tiene B en la parte superior de la boleta para el votante 1, pero no para ninguno de los demás. El perfil 2 tiene B en la parte superior para los votantes 1 y 2, pero no para otros, y así sucesivamente.

Dado que B eventualmente se mueve a la cima de la preferencia social, debe haber algún perfil, número k , para el cual B se mueve por encima de A en el rango social. Que llamamos el votante cuyo cambio votación hace que esto suceda el votante decisivo para B sobre A . Tenga en cuenta que el votante decisivo para B sobre A no es, a priori , el mismo que el votante decisivo para un sobre B . En la tercera parte de la demostración mostraremos que resultan ser iguales.

También tenga en cuenta que por IIA se aplica el mismo argumento si el perfil 0 es cualquier perfil en el que A esté clasificado por encima de B por cada votante, y el votante fundamental para B sobre A seguirá siendo el votante k . Usaremos esta observación a continuación.

Segunda parte: el votante fundamental de B sobre A es un dictador de B sobre C

En esta parte del argumento nos referimos al votante k , el votante fundamental para B sobre A , como votante fundamental para simplificar. Vamos a demostrar que la decisión crucial de votantes dictados de la sociedad para B sobre C . Es decir, mostramos que no importa cómo vote el resto de la sociedad, si Pivotal Voter clasifica B sobre C , entonces ese es el resultado social. Nota de nuevo que el dictador por B sobre C no es a priori el mismo que el de C sobre B . En la tercera parte de la demostración veremos que estos también resultan ser iguales.

Segunda parte: cambiar A y B en la boleta del votante k provoca el mismo cambio en el resultado social, según la primera parte del argumento. Hacer cualquiera o todos los cambios indicados a las otras papeletas no tiene ningún efecto sobre el resultado.

A continuación, llamamos a los votantes del 1 al k - 1 , segmento uno , y a los votantes del k + 1 al N , segmento dos . Para empezar, suponga que las papeletas son las siguientes:

• Cada votante en un segmento ocupa B por encima de C y C por encima de A .
• Votante Pivotal clasifica A anterior B y B por encima de C .
• Cada votante en el segmento de dos rangos A anterior B y B por encima de C .

A continuación, con el argumento de la primera parte (y la última observación en esa parte), el resultado social es preciso, rango A por encima de B . Esto se debe a que, a excepción de un reposicionamiento de C , este perfil es el mismo que el perfil k - 1 de la primera parte. Además, por unanimidad la sociedad obligada resultado rango B por encima de C . Por lo tanto, conocemos completamente el resultado en este caso.

Supongamos ahora que los votantes se mueve pivote B por encima de A , pero mantiene C en la misma posición e imaginar que cualquier número (o todas) de los otros votantes cambien su voto a medida B por debajo de C , sin cambiar la posición de una . Entonces aparte de un reposicionamiento de C este es el mismo que el perfil k de la primera parte y por lo tanto el resultado de la sociedad clasifica B por encima de A . Además, para el IIA, el resultado social debe clasificar A por encima de C , como en el caso anterior. En particular, el resultado social clasifica a B por encima de C, A pesar de Pivotal votante puede haber sido la única votante al rango B por encima de C . Por IIA, esta conclusión es válida con independencia de la forma A se coloca en las papeletas, por lo votante decisivo es un dictador por B sobre C .

Tercera parte: existe un dictador

Tercera parte: dado que el votante k es el dictador de B sobre C , el votante fundamental de B sobre C debe aparecer entre los primeros k votantes. Es decir, fuera del segmento dos. Del mismo modo, el votante pivotal para C sobre B debe aparecer entre los votantes k a través de N . Es decir, fuera del segmento uno.

En esta parte del argumento, nos remitimos al orden original de los votantes y comparamos las posiciones de los diferentes votantes fundamentales (identificados mediante la aplicación de las partes uno y dos a los otros pares de candidatos). Primero, el votante fundamental para B sobre C debe aparecer antes (o en la misma posición) en la línea que el dictador para B sobre C : como consideramos el argumento de la parte uno aplicado a B y C , moviendo sucesivamente B hacia la parte superior de las boletas electorales, el punto de pivote donde la sociedad clasifica B por encima de C debe llegar en o antes de que alcancemos al dictador para B sobre C. Del mismo modo, la inversión de los papeles de B y C , el votante pivotal para C sobre B debe ser igual o más tarde en la línea de que el dictador por B más C . En resumen, si k _{X / Y} denota la posición del votante fundamental para X sobre Y (para dos candidatos cualesquiera X e Y ), entonces hemos mostrado

k _{B / C} ≤ k _{B / A} ≤ k _{C / B} .

Ahora, repitiendo todo el argumento anterior con B y C conmutados, también tenemos

k _{C / B} ≤ k _{B / C} .

Por lo tanto, tenemos

k _{B / C} = k _{B / A} = k _{C / B}

y el mismo argumento para otros pares muestra que todos los votantes fundamentales (y por lo tanto todos los dictadores) se encuentran en la misma posición en la lista de votantes. Este votante es el dictador de toda la elección.

Interpretaciones

Aunque el teorema de Arrow es un resultado matemático, a menudo se expresa de una manera no matemática con una declaración como que ningún método de votación es justo , cada método de votación clasificado tiene fallas o el único método de votación que no tiene fallas es una dictadura . ^[11] Estas declaraciones son simplificaciones del resultado de Arrow que no se consideran universalmente verdaderas. Lo que sí establece el teorema de Arrow es que un mecanismo de votación preferencial determinista, es decir, uno en el que un orden de preferencia es la única información en un voto, y cualquier conjunto posible de votos da un resultado único, no puede cumplir con todas las condiciones dadas anteriormente simultáneamente. .

Varios teóricos han sugerido debilitar el criterio del IIA como una salida a la paradoja. Los defensores de los métodos de votación clasificados sostienen que el IIA es un criterio irrazonablemente fuerte. Es el quebrantado en los sistemas electorales más útiles . Los defensores de esta posición señalan que el incumplimiento del criterio estándar de IIA está implícito de manera trivial por la posibilidad de preferencias cíclicas . Si los votantes emiten sus votos de la siguiente manera:

• 1 voto por A> B> C
• 1 voto por B> C> A
• 1 voto por C> A> B

entonces, la preferencia mayoritaria por pares del grupo es que A gane a B, B gane a C y C gane a A: esto produce preferencias de piedra-papel-tijera para cualquier comparación por pares. En esta circunstancia, cualquier regla de agregación que satisfaga el requisito mayoritario básico de que un candidato que reciba una mayoría de votos debe ganar las elecciones, fallará el criterio del IIA, si se requiere que la preferencia social sea transitiva (o acíclica). Para ver esto, suponga que tal regla satisface IIA. Dado que se respetan las preferencias de la mayoría, la sociedad prefiere A a B (dos votos para A> B y uno para B> A), B a C y C a A. Así se genera un ciclo que contradice el supuesto de que la preferencia social es transitivo.

Entonces, lo que el teorema de Arrow realmente muestra es que cualquier sistema electoral en el que la mayoría gana es un juego no trivial, y que la teoría de juegos debe usarse para predecir el resultado de la mayoría de los mecanismos de votación. ^[12] Esto podría verse como un resultado desalentador, porque un juego no necesita tener equilibrios eficientes; por ejemplo, una votación podría resultar en una alternativa que nadie realmente quería en primer lugar, pero todos votaron por ella.

Observación: clasificaciones escalares de un vector de atributos y la propiedad IIA

La propiedad IIA podría no satisfacerse en la toma de decisiones humanas de complejidad realista porque la clasificación de preferencia escalar se deriva efectivamente de la ponderación, no generalmente explícita, de un vector de atributos (un libro que trata sobre el teorema de Arrow invita al lector a considerar el Problema relacionado de crear una medida escalar para el decatlón de pista y campo.evento, por ejemplo, ¿cómo se hace que la puntuación de 600 puntos en el evento de disco sea "conmensurable" con la puntuación de 600 puntos en la carrera de 1500 m) y esta clasificación escalar puede depender sensiblemente de la ponderación de diferentes atributos, con la ponderación tácita en sí misma afectada por el contexto y el contraste creado por elecciones aparentemente "irrelevantes". Edward MacNeal analiza este problema de sensibilidad con respecto a la clasificación de la "ciudad más habitable" en el capítulo "Encuestas" de su libro MathSemantics: hacer que los números tengan sentido (1994).

Alternativas basadas en funciones de perfiles de preferencias

En un intento por escapar de la conclusión negativa del teorema de Arrow, los teóricos de la elección social han investigado varias posibilidades ("salidas"). Esta sección incluye enfoques que tratan con

• reglas de agregación (funciones que mapean cada perfil de preferencia en una preferencia social), y
• otras funciones, como funciones que mapean cada perfil de preferencia en una alternativa.

Dado que estos dos enfoques a menudo se superponen, los discutimos al mismo tiempo. Lo característico de estos enfoques es que investigan varias posibilidades eliminando, debilitando o reemplazando una o más condiciones (criterios) que Arrow impuso.

Infinitas personas

Varios teóricos (p. Ej., Fishburn ^[13] y Kirman y Sondermann ^[14] ) señalan que cuando se abandona el supuesto de que sólo hay un número finito de individuos, se pueden encontrar reglas de agregación que satisfagan todas las demás condiciones de Arrow.

Sin embargo, estas reglas de agregación tienen prácticamente un interés limitado, ya que se basan en ultrafiltros , objetos matemáticos altamente no constructivos. En particular, Kirman y Sondermann argumentan que hay un "dictador invisible" detrás de tal regla. ^[14] Mihara ^{[15] [16]} muestra que tal regla viola la computabilidad algorítmica. ^[17] Se puede ver que estos resultados establecen la solidez del teorema de Arrow. ^[18]

Por otro lado, los ultrafiltros (de hecho, construirlos en un modelo infinito se basa en el axioma de elección ) también son inherentes a los modelos finitos (sin necesidad del axioma de elección). Pueden interpretarse como jerarquías decisivas, con la única diferencia de que el nivel superior de la jerarquía, el dictador de Arrow, siempre existe en un modelo finito, pero puede ser inalcanzable (= faltante) en una jerarquía infinita. En el último caso, el "dictador invisible" no es más que la propia jerarquía infinita decisiva. Si se desea, se puede complementar con un punto límite, que luego se convierte en un "dictador visible". Dado que los dictadores son inseparables de las jerarquías decisivas, la prohibición de la dictadura prohíbe automáticamente las jerarquías decisivas,que es mucho menos evidente que la prohibición de la dictadura.^{[19] [20] [21]} Véase también el párrafo "Relajar la prohibición de la dictadura".

Limitando el número de alternativas

Cuando solo hay dos alternativas para elegir, el teorema de May muestra que solo la regla de la mayoría simple satisface un cierto conjunto de criterios (p. Ej., Igualdad de trato de los individuos y de las alternativas; un mayor apoyo a una alternativa ganadora no debería convertirla en una perdedora) . Por otro lado, cuando existen al menos tres alternativas, el teorema de Arrow señala la dificultad de la toma de decisiones colectivas. ¿Por qué hay una diferencia tan marcada entre el caso de menos de tres alternativas y el de al menos tres alternativas?

El teorema de Nakamura (sobre el núcleo de los juegos simples) da una respuesta de manera más general. Establece que si el número de alternativas es menor que un determinado entero llamado número de Nakamura, entonces la regla en cuestión identificará las "mejores" alternativas sin ningún problema; si el número de alternativas es mayor o igual al número de Nakamura, entonces la regla no siempre funcionará, ya que para algún perfil una paradoja de votación (un ciclo como la alternativa A socialmente preferida a la alternativa B, B a C y C a A ) surgirá. Dado que el número de Nakamura de la regla de la mayoría es 3 (excepto en el caso de cuatro individuos), se puede concluir del teorema de Nakamura que la regla de la mayoría puede tratar hasta dos alternativas racionalmente. Algunas reglas de supermayoría (como las que requieren 2/3 de los votos) pueden tener un número de Nakamura mayor que 3, pero tales reglas violan otras condiciones dadas por Arrow. ^[22]

Votación por pares

Una forma común de "evitar" la paradoja de Arrow es limitar el conjunto de alternativas a dos alternativas. Así, siempre que se deba poner a prueba más de dos alternativas, parece muy tentador utilizar un mecanismo que las empareje y vote por pares. Por muy tentador que parezca este mecanismo a primera vista, generalmente está lejos de satisfacer incluso la eficiencia de Pareto., sin mencionar el IIA. El orden específico por el cual se deciden las parejas influye fuertemente en el resultado. Esta no es necesariamente una mala característica del mecanismo. Muchos deportes utilizan el mecanismo de torneo, esencialmente un mecanismo de emparejamiento, para elegir un ganador. Esto brinda una oportunidad considerable para que los equipos más débiles ganen, lo que aumenta el interés y la tensión durante todo el torneo. Esto significa que la persona que controla el orden por el que se emparejan las opciones (el creador de la agenda) tiene un gran control sobre el resultado. En cualquier caso, al ver todo el proceso de votación como un solo juego, el teorema de Arrow todavía se aplica.

Restricciones de dominio

Otro enfoque es relajar la condición de universalidad, lo que significa restringir el dominio de las reglas de agregación. El resultado más conocido a lo largo de esta línea asume preferencias de "pico único".

Duncan Black ha demostrado que si solo hay una dimensión en la que cada individuo tiene una preferencia de "un solo pico", entonces todas las condiciones de Arrow se cumplen con la regla de la mayoría . Suponga que existe un orden lineal predeterminado del conjunto alternativo. La preferencia de un individuo es de un solo picocon respecto a este orden si tiene un lugar especial que le gusta más a lo largo de esa línea, y su disgusto por una alternativa aumenta a medida que la alternativa se aleja de ese lugar (es decir, la gráfica de su función de utilidad tiene un solo pico si las alternativas se colocan según el orden lineal en el eje horizontal). Por ejemplo, si los votantes votaran sobre dónde fijar el volumen de la música, sería razonable suponer que cada votante tenía su propia preferencia de volumen ideal y que a medida que el volumen se volviera progresivamente demasiado alto o demasiado bajo, estarían cada vez más insatisfechos. Si el dominio está restringido a perfiles en los que cada individuo tiene una única preferencia máxima con respecto al orden lineal, entonces simple ^[23]Las reglas de agregación, que incluyen la regla de la mayoría, tienen una preferencia social acíclica (definida a continuación), por lo tanto, la "mejor" alternativa. ^[24] En particular, cuando hay un número impar de individuos, entonces la preferencia social se vuelve transitiva y la alternativa socialmente "mejor" es igual a la mediana de todos los picos de los individuos ( teorema del votante mediano de Black ^[25] ). Bajo preferencias de un solo pico, la regla de la mayoría es en algunos aspectos el mecanismo de votación más natural.

Se puede definir la noción de preferencias de "un solo pico" en conjuntos de alternativas de dimensiones superiores. Sin embargo, se puede identificar la "mediana" de los picos sólo en casos excepcionales. En lugar de ello, por lo general tenemos la situación destructiva sugerida por la McKelvey Caos Teorema : ^[26] para cualquier x e y , se puede encontrar una secuencia de alternativas tales que x es golpeado por x ₁ por mayoría, x ₁ de x ₂ , hasta x _k por y .

Transitividad relajante

Al relajar la transitividad de las preferencias sociales, podemos encontrar reglas de agregación que satisfagan las otras condiciones de Arrow. Sin embargo, si imponemos neutralidad (trato igualitario de alternativas) a tales reglas, existe un individuo que tiene un "veto". Por tanto, la posibilidad que ofrece este enfoque también es muy limitada.

Primero, suponga que una preferencia social es cuasi transitiva (en lugar de transitiva); esto significa que la preferencia estricta${\displaystyle \succ }$ ("mejor que") es transitivo: si ${\displaystyle x\succ y}$ y ${\displaystyle y\succ z}$, luego ${\displaystyle x\succ z}$. Entonces, existen reglas de agregación no dictatoriales que satisfacen las condiciones de Arrow, pero tales reglas son oligárquicas . ^[27] Esto significa que existe una coalición L tal que L es decisiva (si cada miembro de L prefiere xay, entonces la sociedad prefiere xay), y cada miembro de L tiene un veto (si prefiere x a y, entonces la sociedad no puede preferir y a x).

En segundo lugar, suponga que una preferencia social es acíclica (en lugar de transitiva): no existen alternativas${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k}}$que forman un ciclo (${\displaystyle x_{1}\succ x_{2},\;x_{2}\succ x_{3},\;\ldots ,\;x_{k-1}\succ x_{k},\;x_{k}\succ x_{1}}$). Entonces, siempre que haya al menos tantas alternativas como individuos, una regla de agregación que satisfaga las otras condiciones de Arrow es colegiada . ^[28] Esto significa que hay individuos que pertenecen a la intersección ("collegium") de todas las coaliciones decisivas. Si hay alguien que tiene derecho a veto, entonces pertenece al colegio. Si se asume que la regla es neutral, entonces tiene alguien que tiene derecho a veto.

Finalmente, el teorema de Brown dejó abierto el caso de las preferencias sociales acíclicas donde el número de alternativas es menor que el número de individuos. Se puede dar una respuesta definitiva para ese caso usando el número de Nakamura . Consulte la limitación del número de alternativas .

Suposición relajante IIA

Existen numerosos ejemplos de reglas de agregación que satisfacen las condiciones de Arrow, excepto IIA. La regla Borda es una de ellas. Sin embargo, estas reglas son susceptibles de manipulación estratégica por parte de los individuos. ^[29]

Consulte también Interpretaciones del teorema anterior.

Relajando el criterio de Pareto

Wilson (1972) ^[30] muestra que si una regla de agregación no es impuesta y no es nula, entonces hay un dictador o un dictador inverso, siempre que también se satisfagan las condiciones de Arrow distintas de Pareto. Aquí, un dictador inversa es un individuo i tal que siempre i prefiere x a y , a continuación, la sociedad prefiere Y a  x .

Amartya Sen ofreció tanto la relajación de la transitividad como la eliminación del principio de Pareto. ^[31] Demostró otro resultado de imposibilidad interesante, conocido como la "imposibilidad del liberal Paretiano" (ver paradoja liberal para más detalles). Sen continuó argumentando que esto demuestra la inutilidad de exigir la optimización de Pareto en relación con los mecanismos de votación.

Relajando la prohibición de la dictadura

Andranik Tangian (2010) introdujo medidas de la "representatividad" del dictador, por ejemplo, el "índice de popularidad" definido como el tamaño promedio del grupo social cuyas preferencias por pares son compartidas (= representadas) por el dictador, promediado sobre todos los pares de alternativas y todos los perfiles de preferencias. Se demostró que siempre existen dictadores "buenos" de Arrow que en promedio representan una mayoría. ^[32] Dado que son más bien representantes de la sociedad, como presidentes elegidos democráticamente, no hay razones evidentes para prohibirlos. Restringiendo la noción de dictador a los "malos" solamente, es decir, aquellos que en promedio representan una minoría, se demostró que los axiomas de Arrow eran consistentes. ^{[20] [21]}

Elección social en lugar de preferencia social

En la toma de decisiones sociales, clasificar todas las alternativas no suele ser un objetivo. A menudo basta con encontrar alguna alternativa. El enfoque que se centra en elegir una alternativa investiga las funciones de elección social (funciones que mapean cada perfil de preferencia en una alternativa) o las reglas de elección social (funciones que mapean cada perfil de preferencia en un subconjunto de alternativas).

En cuanto a las funciones de elección social, es bien conocido el teorema de Gibbard-Satterthwaite , que establece que si una función de elección social cuyo rango contiene al menos tres alternativas es a prueba de estrategias, entonces es dictatorial.

En cuanto a las reglas de elección social, debemos asumir que hay una preferencia social detrás de ellas. Es decir, deberíamos considerar una regla como la elección de los elementos máximos ("mejores" alternativas) de alguna preferencia social. El conjunto de elementos máximos de una preferencia social se denomina núcleo . Las condiciones para la existencia de una alternativa en el núcleo se han investigado en dos enfoques. El primer enfoque supone que las preferencias son al menos acíclicas (lo cual es necesario y suficiente para que las preferencias tengan un elemento máximo en cualquier subconjunto finito ). Por este motivo, está muy relacionado con la transitividad relajante . El segundo enfoque elimina el supuesto de preferencias acíclicas. Kumabe y Mihara ^[33]Adopte este enfoque. Hacen una suposición más directa de que las preferencias individuales tienen elementos máximos y examinan las condiciones para que la preferencia social tenga un elemento máximo. Consulte el número de Nakamura para obtener detalles de estos dos enfoques.

Otras alternativas

Arrow originalmente rechazó la utilidad cardinal como una herramienta significativa para expresar el bienestar social, ^[34] y por lo tanto centró su teorema en las clasificaciones de preferencias, pero luego declaró que un sistema de puntuación cardinal con tres o cuatro clases "es probablemente el mejor". ^[2]

El marco de Arrow asume que las preferencias individuales y sociales son "ordenamientos" (es decir, satisfacen la integridad y la transitividad) en el conjunto de alternativas. Esto significa que si las preferencias están representadas por una función de utilidad , su valor es una utilidad ordinal en el sentido de que es significativo en la medida en que el valor mayor indique la mejor alternativa. Por ejemplo, tener utilidades ordinales de 4, 3, 2, 1 para las alternativas a, b, c, d, respectivamente, es lo mismo que tener 1000, 100.01, 100, 0, que a su vez es lo mismo que tener 99, 98 , 1, .997. Todos representan el orden en el que se prefiere a de b a c ad. El supuesto de preferencias ordinales , que excluye las comparaciones interpersonales de utilidad, es una parte integral del teorema de Arrow.

Por varias razones, un enfoque basado en la utilidad cardinal , donde la utilidad tiene un significado más allá de simplemente dar una clasificación de alternativas, no es común en la economía contemporánea. Sin embargo, una vez que se adopta ese enfoque, se pueden tener en cuenta las intensidades de las preferencias , o se pueden comparar (i) ganancias y pérdidas de utilidad o (ii) niveles de utilidad, entre diferentes individuos. En particular, Harsanyi (1955) ^[35] da una justificación del utilitarismo (que evalúa las alternativas en términos de la suma de las utilidades individuales), proveniente de Jeremy Bentham . Hammond (1976) ^[36] da una justificación del principio maximin(que evalúa las alternativas en términos de la utilidad del individuo más desfavorecido), con origen en John Rawls .

No todos los métodos de votación utilizan, como entrada, solo un ordenamiento de todos los candidatos. ^{[37] Los} métodos que no lo hacen, a menudo llamados sistemas electorales "clasificados" o "cardinales" (a diferencia de los sistemas electorales "clasificados", "ordinales" o "preferenciales"), pueden considerarse como información que solo la utilidad cardinal puede transmitir . En ese caso, no es de extrañar que alguno de ellos satisfaga todas las condiciones de Arrow que se reformulan. ^{[38] La} votación por rango es un método de este tipo. ^{[5] [39]} Que tal afirmación sea correcta depende de cómo se reformule cada condición. ^[40] Otro sistema electoral calificado que pasa ciertas generalizaciones de Arrow 'Los criterios incluyen el voto de aprobación y el juicio de la mayoría.. Tenga en cuenta que el teorema de Arrow no se aplica a métodos de un solo ganador como estos, pero el teorema de Gibbard todavía lo hace: ningún sistema electoral no defectuoso está completamente libre de estrategias, por lo que el dictamen informal de que "ningún sistema electoral es perfecto" todavía tiene un significado matemático base. ^[41]

Finalmente, aunque no es un enfoque que investigue algún tipo de reglas, hay una crítica de James M. Buchanan , Charles Plott y otros. Sostiene que es una tontería pensar que puede haber preferencias sociales análogas a las preferencias individuales . ^[42] Arrow (1963, Capítulo 8) ^[43] responde a este tipo de críticas vistas en el período temprano, que provienen, al menos en parte, de malentendidos.

Ver también

• Paradoja de Condorcet
• Teorema de holmström
• Falla de mercado
• Paradoja de la votación
• Comparación de sistemas electorales

Referencias

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2. "Entrevista con el Dr. Kenneth Arrow" . El Centro de Ciencias Electorales . 6 de octubre de 2012. CES: mencionas que tu teorema se aplica a sistemas preferenciales o sistemas de clasificación. ... Pero ... La votación de aprobación, cae dentro de una clase llamada sistemas cardinales. ... Dr. Arrow: Y como dije, eso en efecto implica más información. ... Estoy un poco inclinado a pensar que los sistemas de puntuación en los que categorizas en quizás tres o cuatro clases ... es probablemente el mejor.
3. Sen, Amartya (1999). "La posibilidad de la elección social". American Economic Review . 89 (3): 349–378. doi : 10.1257 / aer.89.3.349 . JSTOR 117024 . ¿La imposibilidad de Arrow ... desaparece con el uso de comparaciones interpersonales en los juicios de bienestar social? ... sí. La disponibilidad de información adicional permite una discriminación suficiente para escapar de imposibilidades de este tipo. ... incluso formas más débiles de comparabilidad aún permitirían hacer juicios de bienestar social consistentes, satisfaciendo todos los requisitos de Arrow 
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8. Tenga en cuenta que, por definición, una función de bienestar social como se define aquí satisface la condición de dominio no restringido. Restringir el rango a las preferencias sociales que nunca son indiferentes entre resultados distintos es probablemente una suposición muy restrictiva, pero el objetivo aquí es dar un enunciado simple del teorema. Incluso si se relaja la restricción, el resultado de la imposibilidad persistirá.
9. Geanakoplos, John (2005). "Tres breves pruebas del teorema de imposibilidad de Arrow" (PDF) . Teoría económica . 26 (1): 211–215. CiteSeerX 10.1.1.193.6817 . doi : 10.1007 / s00199-004-0556-7 . JSTOR 25055941 . S2CID 17101545 .    
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12. Esto no significa que se cumplirán varios criterios normativos si usamos conceptos de equilibrio en la teoría de juegos. De hecho, el mapeo de los perfiles a los resultados de equilibrio define una regla de elección social, cuyo desempeño puede ser investigado por la teoría de la elección social. Ver Austen-Smith & Banks (1999) Sección 7.2.
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17. La definición de Mihara de unaregla de agregación computable se basa en la computabilidad de un juego simple (ver teorema de Rice ).
18. Véase el capítulo 6 de Taylor, Alan D. (2005). Elección social y matemáticas de la manipulación . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-00883-9 para una discusión concisa de la elección social para sociedades infinitas.
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22. Austen-Smith & Banks (1999 , Capítulo 3) ofrece una discusión detallada del enfoque que intenta limitar el número de alternativas.
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24. De hecho, muchas funciones de bienestar social diferentes pueden cumplir con las condiciones de Arrow bajo tales restricciones del dominio. Sin embargo, se ha demostrado que bajo cualquier restricción de este tipo, si existe alguna función de bienestar social que se adhiera a los criterios de Arrow, entonces la regla de la mayoría se adherirá a los criterios de Arrow. Ver Campbell, DE; Kelly, JS (2000). "Una simple caracterización de la regla de la mayoría". Teoría económica . 15 (3): 689–700. doi : 10.1007 / s001990050318 . JSTOR 25055296 . S2CID 122290254 .  
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34. "La teoría económica moderna ha insistido en el concepto ordinal de utilidad; es decir, sólo pueden observarse ordenamientos y, por lo tanto, ninguna medida de utilidad independiente de estos ordenamientos tiene importancia. En el campo de la teoría de la demanda del consumidor, la posición ordinalista resultó ser no crear problemas; la utilidad cardinal no tenía poder explicativo más allá de lo ordinal. El principio de Leibniz de la identidad de los indiscernibles exigía entonces la escisión de la utilidad cardinal de nuestros patrones de pensamiento ". Arrow (1967), citado en la p. 33 de Racnchetti, Fabio (2002), "¿Elección sin utilidad? Algunas reflexiones sobre los fundamentos sueltos de la teoría del consumidor estándar", en Bianchi, Marina (ed.), The Active Consumer:Novedad y sorpresa en la elección del consumidor, Routledge Frontiers of Political Economy, 20 , Routledge, págs. 21–45
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37. A veces se afirma que tales métodos pueden fallar trivialmente en elcriterio de universalidad . Sin embargo, es más apropiado considerar que tales métodos fallan en la definición de Arrow de una regla de agregación (o la de una función cuyo dominio consiste en perfiles de preferencia), si los ordenamientos de preferencia no se pueden traducir de manera única en una boleta.
38. Sin embargo, una versión modificada del teorema de Arrow todavía puede aplicarse a tales métodos (p. Ej., Brams; Fishburn (2002). "Chapter 4". En Arrow, Kenneth J .; Sen, Amartya K .; Suzumura, Kōtarō (eds.) . Manual de elección social y bienestar . 1. Ámsterdam, Países Bajos: Elsevier. Marco del teorema 4.2. ISBN 978-0-444-82914-6.
39. Smith, Warren D .; et al. "¿Cómo puede la votación a distancia lograr lo imposible?" . Consultado el 16 de febrero de 2016 .
40. Ningún método de votación que utilice de manera no trivial la utilidad cardinal satisface el IIA de Arrow (en el que los perfiles de preferencia se reemplazan por listas de boletas o listas de servicios públicos). Por esta razón, se propone una noción debilitada de AII (por ejemplo, Sen (1979 , p. 129)). La noción requiere que la clasificación social de dos alternativas dependa solo de los niveles de utilidad alcanzados por los individuos en las dos alternativas. (Más formalmente, una función de bienestar social ${\displaystyle F}$ es una función que mapea cada lista ${\displaystyle u=(u_{1},\ldots ,u_{n})}$ de las funciones de utilidad en una preferencia social. ${\displaystyle F}$satisface IIA (para funciones de bienestar social) si para todas las listas${\displaystyle u,u'}$ y para todas las alternativas ${\displaystyle x,y}$, Si ${\displaystyle u_{i}(x)=u'_{i}(x)}$ y ${\displaystyle u_{i}(y)=u'_{i}(y)}$ para todos ${\displaystyle i}$, luego ${\displaystyle xF(u)y{\text{ iff }}xF(u')y}$.) Muchos métodos cardinales de votación (incluida la votación por rango ) satisfacen la versión debilitada del IIA.
41. Poundstone, William (17 de febrero de 2009). Ganar el voto: por qué las elecciones no son justas (y qué podemos hacer al respecto) . Macmillan. ISBN 9780809048922.
42. Feldman, Allan M .; Serrano, Roberto (2006). Economía del bienestar y teoría de la elección social . Springer Science & Business Media. ISBN 9780387293684. En primer lugar, es bastante tonto pensar que puede haber preferencias sociales análogas a las preferencias individuales. Es una tontería hablar de preferencias sociales, ya que la sociedad misma no es más que un conjunto de individuos, cada uno con sus propios intereses. ... esta primera reacción al teorema de Arrow es lógicamente atractiva, pero puede conducir a variedades de nihilismo que no son atractivas para algunas personas, incluidos nosotros.
43. Flecha, Kenneth Joseph (1963). "Capítulo VIII Notas sobre la teoría de la elección social, sección III. ¿Cuál es el problema de la elección social?" . Elección social y valores individuales . Prensa de la Universidad de Yale. págs. 103-109. ISBN 978-0300013641. estas críticas se basan en malentendidos de mi posición

Lectura adicional

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• Lewis, Harold W. (1997). ¿Por qué lanzar una moneda? : El arte y la ciencia de las buenas decisiones . John Wiley. ISBN 0-471-29645-7.Da ejemplos explícitos de clasificaciones de preferencias y resultados aparentemente anómalos en diferentes sistemas electorales. Establece pero no prueba el teorema de Arrow.
• Sen, Amartya Kumar (1979). Elección colectiva y bienestar social . Amsterdam: Holanda Septentrional. ISBN 978-0-444-85127-7.
• Skala, Heinz J. (2012). "¿Qué nos dice el teorema de imposibilidad de Arrow?" . En Eberlein, G .; Berghel, HA (eds.). Teoría y decisión: ensayos en honor a Werner Leinfellner . Saltador. págs. 273-286. ISBN 978-94-009-3895-3.
• Tang, Pingzhong; Lin, Fangzhen (2009). "Pruebas asistidas por computadora de Arrow y otros teoremas de imposibilidad" . Inteligencia artificial . 173 (11): 1041–1053. doi : 10.1016 / j.artint.2009.02.005 .

Enlaces externos

• Entrada del "teorema de la imposibilidad de Arrow" en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford
• Una prueba de Terence Tao, asumiendo una versión mucho más fuerte de la no dictadura