En matemáticas, la teoría de Atkin-Lehner es parte de la teoría de formas modulares que describen cuándo surgen en un nivel entero N dado de tal manera que la teoría de los operadores de Hecke puede extenderse a niveles superiores.
La teoría de Atkin-Lehner se basa en el concepto de una nueva forma , que es una forma de cúspide 'nueva' en un nivel N dado , donde los niveles son los subgrupos de congruencia anidados :
del grupo modular , con N ordenado por divisibilidad . Es decir, si M divide a N , Γ 0 ( N ) es un subgrupo de Γ 0 ( M ). Los oldforms para Γ 0 ( N ) son aquellas formas modulares f (τ) de nivel N de la forma g ( d τ ) para las formas de modular g de nivel M con M un divisor adecuado de N , donde d divisiones N / M . Las nuevas formas se definen como un subespacio vectorial de las formas modulares del nivel N , complementario al espacio que abarcan las formas antiguas, es decir, el espacio ortogonal con respecto al producto interior de Petersson .
Los operadores de Hecke , que actúan en el espacio de todas las formas de cúspide, preservan el subespacio de las nuevas formas y son operadores autoadjuntos y de conmutación (con respecto al producto interno de Petersson) cuando están restringidos a este subespacio. Por lo tanto, el álgebra de operadores en las nuevas formas que generan es un álgebra C * de dimensión finita que es conmutativa; y por la teoría espectral de tales operadores, existe una base para el espacio de nuevas formas que consisten en formas propias para el álgebra de Hecke completa .
Involuciones de Atkin-Lehner
Considere un divisor de Hall e de N , lo que significa que no solo e divide a N , sino que también e y N / e son primos relativos (a menudo se denotan como e || N ). Si N tiene s divisores primos distintos, hay 2 s divisores Hall de N ; por ejemplo, si N = 360 = 2 3 ⋅3 2 ⋅5 1 , los 8 divisores Hall de N son 1, 2 3 , 3 2 , 5 1 , 2 3 ⋅3 2 , 2 3 ⋅5 1 , 3 2 ⋅ 5 1 y 2 3 ⋅3 2 ⋅5 1 .
Para cada divisor Hall e de N , elija una matriz integral W e de la forma
con det W e = e . Estas matrices tienen las siguientes propiedades:
- Los elementos W e Normalizar Γ 0 ( N ): es decir, si A está en Γ 0 ( N ), entonces W e AW−1
eestá en Γ 0 ( N ). - La matriz W2
e, que tiene un determinante e 2 , se puede escribir como eA donde A está en Γ 0 ( N ). Nos interesarán los operadores sobre formas de cúspide provenientes de la acción de W e sobre Γ 0 ( N ) por conjugación, bajo la cual tanto el escalar e como la matriz A actúan trivialmente. Por tanto, la igualdad W2
e= eA implica que la acción de W e cuadra con la identidad; por esta razón, el operador resultante se denomina involución de Atkin-Lehner . - Si e y f son ambos divisores Pasillo de N , entonces W e y W f conmute modulo Γ 0 ( N ). Además, si definimos g como el divisor de Hall g = ef / ( e , f ) 2 , su producto es igual a W g módulo Γ 0 ( N ).
- Si hubiéramos elegido una matriz diferente W ′ e en lugar de W e , resulta que W e ≡ W ′ e módulo Γ 0 ( N ), por lo que W e y W ′ e determinarían la misma involución de Atkin-Lehner.
Podemos resumir estas propiedades de la siguiente manera. Considere el subgrupo de GL (2, Q ) generado por Γ 0 ( N ) junto con las matrices W e ; Sea Γ 0 ( N ) + su cociente por matrices escalares positivas. Entonces Γ 0 ( N ) es un subgrupo normal de Γ 0 ( N ) + del índice 2 s (donde s es el número de factores primos distintos de N ); el grupo del cociente es isomorfo a ( Z / 2 Z ) sy actúa sobre las formas de las cúspides a través de las involuciones de Atkin-Lehner.
Referencias
- Mocanu, Andreea. (2019). " Teoría de Atkin-Lehner de Γ 1 (m) -Formas modulares "
- Atkin, AOL ; Lehner, J. (1970), "Operadores de Hecke en Γ 0 (m)", Mathematische Annalen , 185 (2): 134–160, doi : 10.1007 / BF01359701 , ISSN 0025-5831 , MR 0268123
- Koichiro Harada (2010) "Moonshine" de grupos finitos , página 13, Sociedad Matemática EuropeaISBN 978-3-03719-090-6 SEÑOR2722318