En el análisis funcional , una rama de las matemáticas, un operador de rango finito es un operador lineal acotado entre espacios de Banach cuyo rango es de dimensión finita. [1]
Operadores de rango finito en un espacio de Hilbert
Una forma canónica
Los operadores de rango finito son matrices (de tamaño finito) trasplantadas a la configuración de dimensión infinita. Como tales, estos operadores pueden describirse mediante técnicas de álgebra lineal.
A partir del álgebra lineal, sabemos que una matriz rectangular, con entradas complejas, M ∈ C n × m tiene rango 1 si y solo si M es de la forma
Exactamente el mismo argumento muestra que un operador T en un espacio de Hilbert H es de rango 1 si y solo si
donde las condiciones en α , u y v son las mismas que en el caso de dimensión finita.
Por lo tanto, por inducción, un operador T de rango finito n toma la forma
donde { u i } y { v i } son bases ortonormales. Tenga en cuenta que esto es esencialmente una reafirmación de la descomposición de valores singulares . Se puede decir que es una forma canónica de operadores de rango finito.
Generalizando ligeramente, si n ahora es infinito numerable y la secuencia de números positivos { α i } se acumula solo en 0, T es entonces un operador compacto , y uno tiene la forma canónica para operadores compactos.
Si la serie ∑ i α i es convergente, T es un operador de clase de traza.
Propiedad algebraica
La familia de los operadores finito de rango F ( H ) en un espacio de Hilbert H forma un dos caras * -ideal en L ( H ), el álgebra de operadores limitado en H . De hecho, es el elemento mínimo entre tales ideales, es decir, cualquier I de dos lados * -ideal en L ( H ) debe contener los operadores de rango finito. Esto no es difícil de probar. Tome un operador T ∈ I distinto de cero , luego Tf = g para algún f, g ≠ 0. Es suficiente tener eso para cualquier h, k ∈ H , el operador de rango 1 S h, k que mapea h a k se encuentra en yo . Definir S h, f para ser el operador de rango-1 que mapea h a f , y S G, K análoga. Luego
lo que significa que S h, k está en I y esto verifica la afirmación.
Algunos ejemplos de ideales * de dos caras en L ( H ) son la clase de traza , los operadores de Hilbert-Schmidt y los operadores compactos . F ( H ) es denso en estos tres ideales, en sus respectivas normas.
Dado que cualquier ideal de dos lados en L ( H ) debe contener F ( H ), el álgebra L ( H ) es simple si y solo si es de dimensión finita.
Operadores de rango finito en un espacio de Banach
Un operador de rango finito entre espacios de Banach es un operador acotado de manera que su rango es de dimensión finita. Al igual que en el caso del espacio de Hilbert, se puede escribir en la forma
donde ahora , y son funcionales lineales acotados en el espacio .
Un funcional lineal acotado es un caso particular de un operador de rango finito, es decir, de rango uno.