En análisis funcional , el álgebra de Calkin , llamada así por John Williams Calkin , [1] es el cociente de B ( H ), el anillo de operadores lineales acotados en un espacio H de Hilbert de dimensión infinita separable , por el ideal K ( H ) de operadores compactos . [2] Aquí la suma en B ( H ) es la suma de operadores y la multiplicación en B ( H ) es la composición de los operadores; Es fácil verificar que estas operaciones convierten a B ( H ) en un anillo. Cuando también se incluye la multiplicación escalar, B ( H ) se convierte de hecho en un álgebra sobre el mismo campo sobre el que H es un espacio de Hilbert.
Propiedades
- Dado que K ( H ) es un ideal máximo de norma cerrada en B ( H ), el álgebra de Calkin es simple . De hecho, K ( H ) es el único ideal cerrado en B ( H ).
- Como un cociente de un álgebra C * por un ideal de dos caras, el álgebra de Calkin es un álgebra C * en sí mismo y hay una secuencia exacta corta
- que induce una secuencia exacta cíclico de seis plazo en K-teoría . Los operadores en B ( H ) que se asignan a un elemento invertible del álgebra de Calkin se denominan operadores de Fredholm , y su índice se puede describir tanto usando la teoría K como directamente. Se puede concluir, por ejemplo, que la colección de operadores unitarios en el Calkin álgebra consiste en clases de homotopía indexados por los números enteros Z . Esto contrasta con B ( H ), donde los operadores unitarios están conectados por caminos.
- Como álgebra C *, el álgebra de Calkin no es isomorfo a un álgebra de operadores en un espacio de Hilbert separable. La construcción de Gelfand-Naimark-Segal implica que el álgebra de Calkin es isomórfica a un álgebra de operadores en un espacio de Hilbert no separable, pero mientras que para muchas otras álgebras C * hay descripciones explícitas de tales espacios de Hilbert, el álgebra de Calkin no tiene un representación explícita. [ cita requerida ]
Generalizaciones
- Se puede definir un álgebra de Calkin para cualquier espacio de Hilbert complejo de dimensión infinita, no solo para los separables.
- Se puede hacer una construcción análoga reemplazando H con un espacio de Banach , que también se llama álgebra de Calkin. [5]
Referencias
- ^ "Una comunidad de académicos, el Instituto de estudios avanzados, profesores y miembros 1930-1980" (PDF) . ias.edu . Archivado desde el original (PDF) el 24 de noviembre de 2011 . Consultado el 17 de enero de 2020 .
- ^ Calkin, JW (1 de octubre de 1941). "Ideales de dos caras y congruencias en el anillo de operadores acotados en el espacio de Hilbert". Los anales de las matemáticas . 42 (4): 839. doi : 10.2307 / 1968771 .
- ^ Phillips, N. Christopher; Weaver, Nik (1 de julio de 2007). "El álgebra de Calkin tiene automorfismos externos". Diario de matemáticas de Duke . 139 (1): 185-202. arXiv : matemáticas / 0606594 . doi : 10.1215 / S0012-7094-07-13915-2 .
- ^ Farah, Ilijas (1 de marzo de 2011). "Todos los automorfismos del álgebra de Calkin son internos". Annals of Mathematics . 173 (2): 619–661. arXiv : 0705.3085 . doi : 10.4007 / annals.2011.173.2.1 .
- ^ Appell, Jürgen (2005). "Medidas de no compactación, operadores de condensación y puntos fijos: una encuesta orientada a la aplicación". Teoría del punto fijo . 6 (2): 157–229.