En matemáticas , específicamente en el análisis funcional , se dice que un espacio de Banach tiene la propiedad de aproximación (AP) , si cada operador compacto es un límite de operadores de rango finito . Lo contrario siempre es cierto.
Cada espacio de Hilbert tiene esta propiedad. Sin embargo, hay espacios de Banach que no lo hacen; Per Enflo publicó el primer contraejemplo en un artículo de 1973. Sin embargo, Grothendieck (1955) realizó mucho trabajo en esta área .
Posteriormente se encontraron muchos otros contraejemplos. El espacio de los operadores acotados enno tiene la propiedad de aproximación ( Szankowski ). Los espacios por y (ver Espacio de secuencia ) tienen subespacios cerrados que no tienen la propiedad de aproximación.
Definición
Se dice que un espacio vectorial topológico localmente convexo X tiene la propiedad de aproximación , si el mapa de identidad puede aproximarse, uniformemente en conjuntos precompactos , mediante mapas lineales continuos de rango finito. [2]
Para un espacio localmente convexo X , los siguientes son equivalentes: [2]
- X tiene la propiedad de aproximación;
- el cierre de en contiene el mapa de identidad ;
- es denso en ;
- para cada espacio localmente convexo Y , es denso en ;
- para cada espacio localmente convexo Y , es denso en ;
dónde denota el espacio de los operadores lineales continuas de X a Y dotado de la topología de la convergencia uniforme sobre subconjuntos pre-compacto de X .
Si X es un espacio de Banach, este requisito se convierte en el de cada conjunto compacto y cada , hay un operador de rango finito para que , para cada .
Definiciones relacionadas
Se estudian algunos otros sabores de la AP:
Dejar ser un espacio de Banach y dejar . Decimos que X tiene el-propiedad de aproximación (-AP ), si, para cada conjunto compacto y cada , hay un operador de rango finito para que , para cada , y .
Se dice que un espacio de Banach tiene propiedad de aproximación acotada ( BAP ), si tiene la-AP para algunos .
Se dice que un espacio de Banach tiene propiedad de aproximación métrica ( MAP ), si es 1-AP.
Se dice que un espacio de Banach tiene propiedad de aproximación compacta ( CAP ), si en la definición de AP se reemplaza un operador de rango finito por un operador compacto.
Ejemplos de
- Cada subespacio de un producto arbitrario de los espacios de Hilbert posee la propiedad de aproximación. [2] En particular,
- cada espacio de Hilbert tiene la propiedad de aproximación.
- todo límite proyectivo de los espacios de Hilbert, así como cualquier subespacio de tal límite proyectivo, posee la propiedad de aproximación. [2]
- todo espacio nuclear posee la propiedad de aproximación.
- Cada espacio de Frechet separable que contiene una base de Schauder posee la propiedad de aproximación. [2]
- Todo espacio con base Schauder tiene el AP (podemos usar las proyecciones asociadas a la base como elestá en la definición), por lo que se pueden encontrar muchos espacios con el AP. Por ejemplo, elespacios , o el espacio simétrico de Tsirelson .
Referencias
- ^ Megginson, Robert E. Una introducción a la teoría del espacio de Banach p. 336
- ↑ a b c d e Schaefer y Wolff , 1999 , p. 108-115.
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