En análisis funcional , el teorema de mapeo abierto , también conocido como teorema de Banach-Schauder (llamado así por Stefan Banach y Juliusz Schauder ), es un resultado fundamental que establece que si un operador lineal continuo entre espacios de Banach es sobreyectivo, entonces es un mapa abierto. .
Forma clásica (espacio de Banach)
Teorema de mapeo abierto para espacios de Banach ( Rudin 1973 , Teorema 2.11) - Si X e Y son espacios de Banach y A : X → Y es un operador lineal continuo sobreyectivo, entonces A es un mapa abierto (es decir, si U es un conjunto abierto en X , entonces A ( U ) está abierto en Y ).
Una demostración usa el teorema de categorías de Baire , y la integridad de X e Y es esencial para el teorema. El enunciado del teorema ya no es cierto si se supone que cualquiera de los espacios es un espacio normado , pero es cierto si se toma X e Y como espacios de Fréchet .
Prueba |
---|
Suponga que A : X → Y es un operador lineal continuo sobreyectivo. Con el fin de demostrar que A es un mapa abierto, es suficiente para demostrar que un mapea la abierta bola unidad en X a un entorno del origen de Y . Dejar Luego Dado que A es sobreyectiva: Pero Y es Banach, por lo que según el teorema de categorías de Baire
Es decir, tenemos c ∈ Y y r > 0 tal que
Sea v ∈ V , entonces Por continuidad de suma y linealidad, la diferencia rv satisface y por linealidad de nuevo, donde hemos establecido L = 2 k / r . De ello se deduce que para todo y ∈ Y y todo 𝜀> 0 , existe algo x ∈ X tal que Nuestro próximo objetivo es mostrar que V ⊆ A (2 LU ) . Deje y ∈ V . Por (1), hay algo de x 1 con || x 1 || Luego, por (1) podemos elegir x n +1 de modo que: por lo que (2) se satisface para x n +1 . Dejar
Desde la primera desigualdad en (2), { s n } es una secuencia de Cauchy , y puesto que X es completa, es n converge a algún x ∈ X . Por (2), la secuencia Como n tiende a Y , y así Ax = y por la continuidad de A . También, Esto muestra que y pertenece a A (2 LU ) , entonces V ⊆ A (2 LU ) como se afirma. Así, la imagen A ( U ) de la bola unidad en X contiene el abierto balón V / 2 L de Y . Por tanto, A ( U ) es una vecindad del origen en Y , y esto concluye la demostración. |
Resultados relacionados
Teorema [1] - Sean X e Y espacios de Banach, sean B X y B Y sus bolas unitarias abiertas, y sean T : X → Y un operador lineal acotado. Si δ> 0 , entre las siguientes cuatro afirmaciones tenemos(con el mismo δ )
- para todos ;
- ;
- ;
- Im T = Y (es decir, T es sobreyectiva).
Además, si T es sobreyectiva, entonces (1) se cumple para algún δ> 0
Consecuencias
El teorema de mapeo abierto tiene varias consecuencias importantes:
- Si A : X → Y es un operador lineal continuo biyectivo entre los espacios de Banach X e Y , entonces el operador inverso A −1 : Y → X también es continuo (esto se llama teorema de la inversa acotada ). [2]
- Si A : X → Y es un operador lineal entre los espacios de Banach X e Y , y si para cada secuencia ( x n ) en X con x n → 0 y Ax n → y se sigue que y = 0, entonces A es continuo (el teorema del gráfico cerrado ). [3]
Generalizaciones
Convexidad local de X o Y no es esencial para la prueba, pero la integridad es: el teorema sigue siendo cierto en el caso cuando X y Y son F-espacios . Además, el teorema se puede combinar con el teorema de la categoría de Baire de la siguiente manera:
Teorema (( Rudin 1991 , Teorema 2.11)) - Sea X un espacio F e Y un espacio vectorial topológico . Si A : X → Y es un operador lineal continuo, entonces o bien A ( X ) es un magro conjunto en Y , o A ( X ) = Y . En el último caso, A es un mapeo abierto e Y también es un espacio F.
Además, en este último caso si N es el núcleo de A , entonces hay una factorización canónica de A en la forma
donde X / N es el espacio cociente (también un F-espacio) de X por el cerrado subespacio N . El mapeo del cociente X → X / N está abierto, y el mapeo α es un isomorfismo de espacios vectoriales topológicos . [4]
Teorema de mapeo abierto ( [5] ) - Si A : X → Y es un operador lineal cerrado sobreyectivo de un TVS X pseudometrizable completo en un espacio vectorial topológico Y y si se cumple al menos una de las siguientes condiciones:
- Y es un espacio de Baire , o
- X es localmente convexo e Y es un espacio en barril ,
ya sea A ( X ) es un magro conjunto en Y , o A ( X ) = Y . entonces A es un mapeo abierto.
Teorema de mapeo abierto para mapas continuos ( [5] ) - Sea A : X → Y un operador lineal continuo desde un TVS X pseudometrizable completo en un espacio vectorial topológico Y de Hausdorff . Si Im A no es exiguo en Y, entonces A : X → Y es un mapa abierto sobreyectivo e Y es un TVS pseudometrizable completo.
El teorema de mapeo abierto también se puede enunciar como
Teorema [6] - Sean X e Y dos espacios F. Entonces, cada mapa lineal continuo de X sobre Y es un homomorfismo TVS , donde un mapa lineal u : X → Y es un homomorfismo de espacio vectorial topológico (TVS) si el mapa inducido es un isomorfismo TVS en su imagen.
Consecuencias
Teorema [7] - Si A : X → Y es una biyección lineal continua de un espacio vectorial topológico pseudometrizable (TVS) completo en un TVS de Hausdorff que es un espacio de Baire , entonces A : X → Y es un homeomorfismo (y por lo tanto un isomorfismo de televisores).
Espacios palmeados
Los espacios palmeados son una clase de espacios vectoriales topológicos para los que se mantienen el teorema de mapeo abierto y el teorema de grafo cerrado .
Ver también
- Mapa lineal casi abierto
- Teorema de la inversa acotada
- Gráfico cerrado : gráfico de una función que también es un subconjunto cerrado del espacio del producto.
- Teorema del gráfico cerrado
- Teorema del gráfico cerrado (análisis funcional) : teoremas para deducir la continuidad del gráfico de una función
- Teorema de mapeo abierto (análisis complejo)
- Sobreyección de espacios de Fréchet - Un teorema que caracteriza cuando un mapa lineal continuo entre espacios de Fréchet es sobreyectivo.
- Teorema de Ursescu : teorema que generaliza simultáneamente el gráfico cerrado, el mapeo abierto y los teoremas de Banach-Steinhaus.
- Espacio palmeado : espacios vectoriales topológicos para los que se cumplen los teoremas de mapeo abierto y gráficos cerrados.
Referencias
- ^ Rudin 1991 , p. 100.
- ^ Rudin 1973 , Corolario 2.12.
- ^ Rudin 1973 , Teorema 2.15.
- ↑ Dieudonné 1970 , 16.12.8.
- ↑ a b Narici y Beckenstein , 2011 , p. 468.
- ^ Trèves , 2006 , p. 170
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , p. 469.
Bibliografía
- Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Espacios vectoriales topológicos: la teoría sin condiciones de convexidad . Apuntes de clase en matemáticas. 639 . Berlín Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003 .
- Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [ Teoría de las operaciones lineales ] (PDF) . Monografie Matematyczne (en francés). 1 . Warszawa: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901 . Archivado desde el original (PDF) el 11 de enero de 2014 . Consultado el 11 de julio de 2020 .
- Berberiano, Sterling K. (1974). Conferencias en Análisis Funcional y Teoría del Operador . Textos de Posgrado en Matemáticas. 15 . Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401 .
- Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur certains espaces vectoriels topologiques [ Espacios vectoriales topológicos: Capítulos 1-5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Traducido por Eggleston, HG; Madan, S. Berlin Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190 .
- Conway, John (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de Posgrado en Matemáticas . 96 (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908 .
- Dieudonné, Jean (1970), Tratado de análisis, Volumen II , Academic Press
- Edwards, Robert E. (1995). Análisis funcional: teoría y aplicaciones . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 .
- Grothendieck, Alexander (1973). Espacios vectoriales topológicos . Traducido por Chaljub, Orlando. Nueva York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 .
- Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
- Köthe, Gottfried (1983). Espacios vectoriales topológicos I . Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 159 . Traducido por Garling, DJH Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Señor 0248498 . OCLC 840293704 .
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Robertson, Alex P .; Robertson, Wendy J. (1980). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge Tracts in Mathematics . 53 . Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250 .
- Rudin, Walter (1973). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 25 (Primera ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 9780070542259.
- Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Swartz, Charles (1992). Introducción al análisis funcional . Nueva York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 .
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .
Este artículo incorpora material del teorema de prueba de mapeo abierto en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .