Localización (álgebra conmutativa)
En álgebra conmutativa y geometría algebraica , la localización es una forma formal de introducir los "denominadores" en un anillo o módulo dado . Es decir, introduce un nuevo anillo/módulo a partir de un anillo/módulo existente R , de modo que consta de fracciones tales que el denominador s pertenece a un subconjunto dado S de R . Si S es el conjunto de los elementos distintos de cero de un dominio integral , entonces la localización es el campo de las fracciones : este caso generaliza la construcción del anillo de números racionales del anillo de los enteros .
La técnica se ha vuelto fundamental, particularmente en geometría algebraica , ya que proporciona un vínculo natural con la teoría de haces . De hecho, el término localización tiene su origen en la geometría algebraica : si R es un anillo de funciones definidas sobre algún objeto geométrico ( variedad algebraica ) V , y se quiere estudiar esta variedad "localmente" cerca de un punto p , entonces se considera el conjunto S de todas las funciones que no son cero en p y localiza R con respecto a S . El anillo resultantecontiene información sobre el comportamiento de V cerca de p y excluye información que no es "local", como los ceros de funciones que están fuera de V (cf. el ejemplo dado en el anillo local ).
La localización de un anillo conmutativo R por un conjunto multiplicativamente cerrado S es un nuevo anillo cuyos elementos son fracciones con numeradores en R y denominadores en S.
Si el anillo es un dominio integral, la construcción generaliza y sigue de cerca la del campo de las fracciones y, en particular, la de los números racionales como el campo de las fracciones de los números enteros. Para anillos que tienen divisores cero , la construcción es similar pero requiere más cuidado.
La localización se realiza comúnmente con respecto a un conjunto multiplicativamente cerrado S (también llamado conjunto multiplicativo o sistema multiplicativo ) de elementos de un anillo R , que es un subconjunto de R que se cierra bajo la multiplicación y contiene 1 .
El requisito de que S debe ser un conjunto multiplicativo es natural, ya que implica que todos los denominadores introducidos por la localización pertenecen a S . La localización por un conjunto U que no es multiplicativamente cerrado también se puede definir, tomando como posibles denominadores todos los productos de elementos de U. Sin embargo, la misma localización se obtiene usando el conjunto multiplicativamente cerrado S de todos los productos de elementos de U. Como esto a menudo simplifica el razonamiento y la notación, es una práctica estándar considerar solo las localizaciones por conjuntos multiplicativos.