En álgebra abstracta , un conjunto multiplicativamente cerrado (o conjunto multiplicativo ) es un subconjunto S de un anillo R tal que se cumplen las siguientes dos condiciones: [1] [2]
- ,
- para todos .
En otras palabras, S se cierra tomando productos finitos, incluido el producto vacío 1. [3] De manera equivalente, un conjunto multiplicativo es un submonoide del monoide multiplicativo de un anillo.
Los conjuntos multiplicativos son importantes especialmente en álgebra conmutativa , donde se utilizan para construir localizaciones de anillos conmutativos.
Un subconjunto S de un anillo R se llama saturado si está cerrada bajo teniendo divisores : es decir, cada vez que un producto xy está en S , los elementos de x y y están en S también.
Ejemplos de
Los ejemplos comunes de conjuntos multiplicativos incluyen:
- el complemento de la teoría de conjuntos de un ideal primo en un anillo conmutativo;
- el conjunto {1, x , x 2 , x 3 , ...} , donde x es un elemento de un anillo;
- el conjunto de unidades de un anillo;
- el conjunto de divisores distintos de cero en un anillo;
- 1 + yo para un yo ideal .
Propiedades
- Un P ideal de un anillo conmutativo R es primo si y solo si su complemento R ∖ P es multiplicativamente cerrado.
- Un subconjunto S está tanto saturado como multiplicativamente cerrado si y solo si S es el complemento de una unión de ideales primos. [4] En particular, el complemento de un ideal primo es tanto saturado como multiplicativo cerrado.
- La intersección de una familia de conjuntos multiplicativos es un conjunto multiplicativo.
- La intersección de una familia de conjuntos saturados está saturada.
Ver también
Notas
Referencias
- MF Atiyah e IG Macdonald , Introducción al álgebra conmutativa , Addison-Wesley, 1969.
- David Eisenbud , Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica , Springer, 1995.
- Kaplansky, Irving (1974), Anillos conmutativos (edición revisada), University of Chicago Press , MR 0345945
- Serge Lang , Álgebra 3a ed., Springer, 2002.