Superficies de Bézier son una especie de spline matemática utilizada en los gráficos por ordenador , diseño asistido por ordenador , y de elementos finitos de modelado. Al igual que con las curvas de Bézier , una superficie de Bézier se define mediante un conjunto de puntos de control. Similar a la interpolación en muchos aspectos, una diferencia clave es que la superficie, en general, no pasa por los puntos de control centrales; más bien, se "estira" hacia ellos como si cada uno fuera una fuerza atractiva. Son visualmente intuitivos y, para muchas aplicaciones, matemáticamente convenientes.
Historia
Las superficies Bézier fueron descritas por primera vez en 1962 por el ingeniero francés Pierre Bézier, quien las utilizó para diseñar carrocerías de automóviles . Las superficies Bézier pueden ser de cualquier grado, pero las superficies Bézier bicúbicas generalmente brindan suficientes grados de libertad para la mayoría de las aplicaciones.
Ecuación
Una superficie de Bézier dada de grado ( n , m ) está definida por un conjunto de ( n + 1) ( m + 1) puntos de control k i , j donde i = 0, ..., n y j = 0, .. ., m . Mapea el cuadrado unitario en una superficie lisa y continua incrustada dentro del espacio que contiene k i , j s; por ejemplo, si k i , j s son todos puntos en un espacio de cuatro dimensiones, entonces la superficie estará dentro de un espacio de cuatro dimensiones.
Una superficie de Bézier bidimensional se puede definir como una superficie paramétrica donde la posición de un punto p en función de las coordenadas paramétricas u , v viene dada por: [1]
evaluado sobre el cuadrado unitario, donde
es un polinomio de base de Bernstein , y
es un coeficiente binomial .
Algunas propiedades de las superficies Bézier:
- Una superficie Bézier se transformará de la misma manera que sus puntos de control bajo todas las transformaciones y traslaciones lineales .
- Todas las líneas u = constante yv = constante en el espacio ( u , v ) y, en particular, los cuatro bordes del cuadrado unitario deformado ( u , v ) son curvas de Bézier.
- Una superficie Bézier estará completamente dentro del casco convexo de sus puntos de control y, por lo tanto, también completamente dentro del cuadro delimitador de sus puntos de control en cualquier sistema de coordenadas cartesianas dado .
- Los puntos del parche correspondientes a las esquinas del cuadrado unitario deformado coinciden con cuatro de los puntos de control.
- Sin embargo, una superficie Bézier generalmente no pasa por sus otros puntos de control.
Generalmente, el uso más común de las superficies Bézier es como redes de parches bicúbicos (donde m = n = 3). La geometría de un solo parche bicúbico está completamente definida por un conjunto de 16 puntos de control. Por lo general, estos están vinculados para formar una superficie B-spline de una manera similar a como las curvas Bézier están vinculadas para formar una curva B-spline .
Las superficies de Bézier más simples se forman a partir de parches bicuadráticos ( m = n = 2) o triángulos de Bézier .
Superficies Bézier en infografías
Las mallas de parche Bézier son superiores a las mallas triangulares como representación de superficies lisas. Requieren menos puntos (y por lo tanto menos memoria) para representar superficies curvas, son más fáciles de manipular y tienen propiedades de continuidad mucho mejores . Además, otras superficies paramétricas comunes, como esferas y cilindros, pueden aproximarse bien mediante un número relativamente pequeño de parches de Bézier cúbicos.
Sin embargo, las mallas de parche de Bézier son difíciles de renderizar directamente. Un problema con los parches de Bézier es que calcular sus intersecciones con líneas es difícil, lo que los hace incómodos para el trazado de rayos puro u otras técnicas geométricas directas que no utilizan técnicas de subdivisión o aproximaciones sucesivas. También son difíciles de combinar directamente con algoritmos de proyección en perspectiva.
Por esta razón, las mallas de parche de Bézier se descomponen en general en mallas de triángulos planos mediante tuberías de renderizado 3D . En el renderizado de alta calidad, la subdivisión se ajusta para que sea tan fina que no se puedan ver los límites de los triángulos individuales. Para evitar una apariencia "manchada", se suelen aplicar detalles finos a las superficies Bézier en esta etapa utilizando mapas de textura , mapas de relieve y otras técnicas de sombreado de píxeles .
Un parche de Bézier de grado ( m , n ) se puede construir a partir de dos triángulos de Bézier de grado m + n , o de un solo triángulo de Bézier de grado m + n , con el dominio de entrada como un cuadrado en lugar de un triángulo .
También se puede construir un triángulo de Bézier de grado m a partir de una superficie de Bézier de grado ( m , m ), con los puntos de control de modo que una arista quede aplastada a un punto, o con el dominio de entrada como un triángulo en lugar de un cuadrado.