En la disciplina matemática de la teoría de la medida , una medida de Banach es un cierto tipo de contenido utilizado para formalizar el área geométrica en problemas vulnerables al axioma de elección .
Tradicionalmente, las nociones intuitivas de área se formalizan como una medida clásica contable aditiva . Esto tiene el desafortunado efecto de dejar algunos conjuntos sin un área bien definida; una consecuencia es que algunas transformaciones geométricas no dejan invariante el área, la sustancia de la paradoja de Banach-Tarski . Una medida de Banach es un tipo de medida generalizada para eludir este problema.
Una medida de Banach en un conjunto Ω es una medida finita μ ≠ 0 en ℘ (Ω) , el conjunto de potencia de Ω , tal que μ ({ω}) = 0 para cada ω ∈ Ω .
Una medida de Banach en Ω que toma valores en {0, 1 } se llama medida Ulam en Ω .
Como muestra la paradoja de Vitali , las medidas de Banach no se pueden fortalecer a medidas contablemente aditivas.
Stefan Banach demostró que es posible definir una medida de Banach para el plano euclidiano , consistente con la medida habitual de Lebesgue . La existencia de esta medida prueba la imposibilidad de una paradoja de Banach-Tarski en dos dimensiones: no es posible descomponer un conjunto bidimensional de medida finita de Lebesgue en un número finito de conjuntos que se puedan reensamblar en un conjunto con una medida diferente, porque esto violaría las propiedades de la medida de Banach que amplía la medida de Lebesgue. [1]
Referencias
- ^ Stewart, Ian (1996), De aquí al infinito , Oxford University Press, p. 177, ISBN 9780192832023.