En la teoría de la medida , una rama de las matemáticas , una medida finita o una medida totalmente finita [1] es una medida especial que siempre toma valores finitos. Entre las medidas finitas se encuentran las medidas de probabilidad . Las medidas finitas suelen ser más fáciles de manejar que las medidas más generales y muestran una variedad de propiedades diferentes dependiendo de los conjuntos en los que están definidas.
Definición
Una medida en espacio medible se llama medida finita si satisface
Por la monotonicidad de las medidas, esto implica
Si es una medida finita, el espacio de medida se denomina espacio de medida finito o espacio de medida totalmente finito . [1]
Propiedades
Caso general
Para cualquier espacio medible, las medidas finitas forman un cono convexo en el espacio de Banach de medidas con signo con la norma de variación total . Los subconjuntos importantes de las medidas finitas son las medidas de subprobabilidad, que forman un subconjunto convexo , y las medidas de probabilidad, que son la intersección de la esfera unitaria en el espacio normado de medidas con signo y las medidas finitas.
Espacios topológicos
Si es un espacio de Hausdorff ycontiene el Borel-álgebra, entonces toda medida finita es también una medida de Borel localmente finita .
Espacios métricos
Si es un espacio métrico y el es de nuevo el Borel -álgebra, se puede definir la débil convergencia de medidas . La topología correspondiente se llama topología débil y es la topología inicial de todas las funciones continuas acotadas en. La topología débil corresponde a la topología débil * en el análisis funcional. Sitambién es separable , la convergencia débil se mide mediante la métrica de Lévy-Prokhorov . [2]
Espacios polacos
Si es un espacio polaco y es el Borel -álgebra, entonces cada medida finita es una medida regular y por lo tanto una medida de radón . [3] Sies polaco, entonces el conjunto de todas las medidas finitas con la topología débil también es polaco. [4]
Referencias
- ^ a b Anosov, DV (2001) [1994], "Medir el espacio" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
- ^ Klenke, Achim (2008). Teoría de la probabilidad . Berlín: Springer. pag. 252 . doi : 10.1007 / 978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.
- ^ Klenke, Achim (2008). Teoría de la probabilidad . Berlín: Springer. pag. 248 . doi : 10.1007 / 978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.
- ^ Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Suiza: Springer. pag. 112. doi : 10.1007 / 978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3.