Grupo Baumslag-Solitar

En el campo matemático de la teoría de grupos , los grupos Baumslag-Solitar son ejemplos de grupos de dos generadores y un relacionador que juegan un papel importante en la teoría de grupos combinatoria y la teoría geométrica de grupos como (contra) ejemplos y casos de prueba. Se dan por la presentación del grupo .

Para cada número entero $m$ y $n$ , el grupo Baumslag-Solitar se denota como $BS(m, n)$ . La relación en la presentación se llama relación Baumslag-Solitar .

Algunos de los diversos $BS(m, n)$ son grupos bien conocidos. $BS(1, 1)$ es el grupo abeliano libre en dos generadores , y $BS(1, -1)$ es el grupo fundamental de la botella de Klein .

Los grupos fueron definidos por Gilbert Baumslag y Donald Solitar en 1962 para proporcionar ejemplos de grupos no hopfianos . Los grupos contienen grupos residualmente finitos , grupos hopfianos que no son residualmente finitos y grupos no hopfianos.

El grupo matriz $G$ generado por $A$ y $B$ es una imagen homomórfica de $BS(m, n)$ , vía el homomorfismo inducido por

Vale la pena señalar que esto, en general, no será un isomorfismo. Por ejemplo, si $BS(m, n)$ no es residualmente finito (es decir, si no es el caso de que $| m | = 1$ , $| n | = 1$ , o $| m | = | n |$ ^[1] ) no puede ser isomorfo a un grupo lineal generado finitamente , que se sabe que es residualmente finito por un teorema de Anatoly Maltsev . ^[2]