Espacio Berkovich

En matemáticas , un espacio de Berkovich , introducido por Berkovich ( 1990 ), es una versión de un espacio analítico sobre un campo no arquimediano (por ejemplo, campo p -ádico ), refinando la noción de Tate de un espacio analítico rígido .

En el complejo caso, la geometría algebraica comienza definiendo el espacio afín complejo para ser Para cada definimos el anillo de funciones analíticas en ser el anillo de funciones holomorfas , es decir, las funciones en que pueden escribirse como una serie de potencias convergente en un barrio de cada punto. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}.}$ ${\ Displaystyle U \ subconjunto \ mathbb {C} ^ {n},}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {U},}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle U}$

Luego definimos un espacio modelo local para ser ${\ Displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {n} \ in {\ mathcal {O}} _ {U}}$

con un espacio analítico complejo es un anillado localmente -space que es localmente isomorfo a un espacio modelo local. ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} = {\ mathcal {O}} _ {U} / (f_ {1}, \ ldots, f_ {n}).}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle (Y, {\ mathcal {O}} _ {Y})}$

Cuando es un campo completo no arquimediano, tenemos que está totalmente desconectado . En tal caso, si continuamos con la misma definición que en el caso complejo, no obtendríamos una buena teoría analítica. Berkovich dio una definición que da bonitos espacios analíticos sobre tales , y también devuelve la definición habitual sobre ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}.}$

Además de definir funciones analíticas sobre campos que no son de Arquímedes, los espacios de Berkovich también tienen un bonito espacio topológico subyacente .