Alexander Grothendieck en una carta del 18 de agosto de 1959 a Jean-Pierre Serre , expresando escepticismo sobre la existencia de la teoría de John Tate de las variedades analíticas globales en campos completos.
En matemáticas, un espacio analítico rígido es un análogo de un espacio analítico complejo sobre un campo no arquimediano . Estos espacios fueron introducidos por John Tate en 1962, como consecuencia de su trabajo sobre la uniformización de curvas elípticas p -ádicas con mala reducción utilizando el grupo multiplicativo . En contraste con la teoría clásica de las variedades analíticas p -ádicas , los espacios analíticos rígidos admiten nociones significativas de continuación analítica y conexión .
Definiciones
El objeto analítico rígido básico es el polidisco unitario n - dimensional , cuyo anillo de funciones es el álgebra de Tate. , formado por series de potencias en n variables cuyos coeficientes se acercan a cero en algún campo k completo no arquimediano . El álgebra de Tate es la finalización del anillo polinomial en n variables bajo la norma de Gauss (tomando el supremo de los coeficientes), y el polidisco juega un papel análogo al del n- espacio afín en la geometría algebraica . Los puntos en el polidisco se definen como ideales máximos en el álgebra de Tate, y si k es algebraicamente cerrado , estos corresponden a puntos en cuyas coordenadas tienen norma como máximo uno.
Un álgebra afinoide es un álgebra k - Banach que es isomórfica a un cociente del álgebra Tate por un ideal . Un afinoide es entonces un subconjunto de la unidad polidisca en la que se desvanecen los elementos de este ideal, es decir, es el conjunto de ideales máximos que contienen el ideal en cuestión. La topología de los affinoides es sutil, utilizando nociones de subdominios affinoides (que satisfacen una propiedad de universalidad con respecto a mapas de álgebras affinoides) y conjuntos abiertos admisibles (que satisfacen una condición de finitud para cubiertas por subdominios affinoides). De hecho, las aperturas admisibles en un affinoide no lo dotan en general de la estructura de un espacio topológico , pero sí forman una topología de Grothendieck (llamada topología G ), y esto permite definir buenas nociones de roldanas y encolado. de espacios.
Un espacio analítico rígido sobre k es un pardescribiendo un espacio con topologización G anillado localmente con un haz de k -álgebras, de modo que hay una cubierta por subespacios abiertos isomorfos a affinoides. Esto es análogo a la noción de que las variedades pueden ser cubiertas por subconjuntos abiertos isomorfos al espacio euclidiano, o los esquemas son aceptables por afines. Los esquemas sobre k se pueden analizar de forma funcional, al igual que las variedades sobre los números complejos pueden verse como espacios analíticos complejos, y existe un teorema formal análogo de GAGA . El funtor de analitificación respeta límites finitos.
Otras formulaciones
Hacia 1970, Michel Raynaud proporcionó una interpretación de ciertos espacios analíticos rígidos como modelos formales, es decir, como fibras genéricas de esquemas formales sobre el anillo de valoración R de k . En particular, mostró que la categoría de espacios rígidos cuasi-compactos cuasi-separados sobre k es equivalente a la localización de la categoría de esquemas formales cuasi-compactos admisibles sobre R con respecto a las ampliaciones formales admisibles. Aquí, un esquema formal es admisible si se puede cubrir mediante espectros formales de álgebras R presentadas topológicamente de forma finita cuyos anillos locales son R- planos.
Los modelos formales adolecen de un problema de singularidad, ya que las ampliaciones permiten que más de un esquema formal describa el mismo espacio rígido. Huber elaboró una teoría de los espacios ádicos para resolver esto, poniendo un límite a todas las explosiones. Estos espacios son cuasi-compactos, cuasi-separados y funcionales en el espacio rígido, pero carecen de muchas propiedades topológicas agradables.
Vladimir Berkovich reformuló gran parte de la teoría de los espacios analíticos rígidos a fines de la década de 1980, utilizando una generalización de la noción de espectro de Gelfand para álgebras C * conmutativas unitales . El espectro de Berkovich de un Banach k -algebra A es el conjunto de multiplicativos semi-normas sobre A que están limitadas con respecto a la norma dada en k , y tiene una topología inducida por la evaluación de estos semi-normas sobre los elementos de A . Dado que la topología se retira de la línea real, los espectros de Berkovich tienen muchas propiedades agradables, como compacidad, conectividad de ruta y metrizabilidad. Muchas propiedades de la teoría de los anillos se reflejan en la topología de los espectros, por ejemplo, si A es Dedekind , entonces su espectro es contráctil. Sin embargo, incluso los espacios muy básicos tienden a ser difíciles de manejar: la línea proyectiva sobre C p es una compactificación del límite inductivo de edificios afines Bruhat-Tits para PGL 2 ( F ), ya que F varía sobre extensiones finitas de Q p , cuando los edificios se les da una topología aproximada adecuada .
Ver también
- Cohomología rígida
Referencias
- Análisis no arquimediano por S. Bosch, U. Güntzer, R. Remmert ISBN 3-540-12546-9
- Brian Conrad Varios enfoques de las notas de conferencias de geometría no arquimediana de la Escuela de Invierno de Arizona
- Geometría analítica rígida y sus aplicaciones (progreso en matemáticas) por Jean Fresnel, Marius van der Put ISBN 0-8176-4206-4
- Houzel, Christian (1995) [1966], Espaces analytiques rigides (d'après R. Kiehl) , Séminaire Bourbaki, Exp. No. 327, 10 , París: Société Mathématique de France , págs. 215–235, MR 1610409
- Tate, John (1971) [1962], "Rigid analytic spaces", Inventiones Mathematicae , 12 (4): 257–289, doi : 10.1007 / BF01403307 , ISSN 0020-9910 , MR 0306196 , S2CID 121364708
- Éléments de Géométrie Rigide. Volumen I.Construcción et étude géométrique des espaces rigides (Progreso en matemáticas 286) por Ahmed Abbes, ISBN 978-3-0348-0011-2
- Michel Raynaud , Géométrie analytique rigide d'après Tate, Kiehl ,. . . Cuadro ronde d'analyse non archimidienne, Bull. Soc. Matemáticas. P. Mém. 39/40 (1974), 319-327.
enlaces externos
- "Rigid_analytic_space" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]