Los polinomios de Bernoulli del segundo tipo [1] [2] ψ n ( x ) , también conocidos como polinomios de Fontana-Bessel , [3] son los polinomios definidos por la siguiente función generadora:
Los primeros cinco polinomios son:
Algunos autores definen estos polinomios de forma ligeramente diferente [4] [5]
así que eso
y también puede usar una notación diferente para ellos (la notación alternativa más usada es b n ( x ) ).
Los polinomios de Bernoulli del segundo tipo fueron ampliamente estudiados por el matemático húngaro Charles Jordan, [1] [2] pero su historia también puede remontarse a trabajos mucho anteriores. [3]
Los polinomios de Bernoulli del segundo tipo se pueden representar mediante estas integrales [1] [2]
así como [3]
Estos polinomios son, por tanto, hasta una constante, la antiderivada del coeficiente binomial y también la del factorial descendente . [1] [2] [3]
Para una n arbitraria , estos polinomios se pueden calcular explícitamente mediante la siguiente fórmula de suma [1] [2] [3]
donde s ( n , l ) son los números de Stirling con signo del primer tipo y G n son los coeficientes de Gregory .
Los polinomios de Bernoulli del segundo tipo satisfacen la relación de recurrencia [1] [2]
o equivalente
La diferencia repetida produce [1] [2]
La propiedad principal de la simetría dice [2] [4]
Algunas propiedades y valores particulares de estos polinomios incluyen
donde C n son los números de Cauchy del segundo tipo y M n son los coeficientes de diferencia central . [1] [2] [3]
La expansión de los polinomios de Bernoulli del segundo tipo en una serie de Newton dice [1] [2]
La función digamma Ψ ( x ) puede expandirse en una serie con los polinomios de Bernoulli del segundo tipo de la siguiente manera [3]
y por lo tanto [3]
y
donde γ es la constante de Euler . Además, también tenemos [3]
donde Γ ( x ) es la función gamma . Las funciones zeta de Hurwitz y Riemann pueden expandirse en estos polinomios de la siguiente manera [3]
y
y también
Los polinomios de Bernoulli del segundo tipo también están involucrados en la siguiente relación [3]
entre las funciones zeta, así como en varias fórmulas para las constantes de Stieltjes , p. ej. [3]
y
que son ambos validos para y .