En matemáticas , los polinomios de Bernoulli , que llevan el nombre de Jacob Bernoulli , combinan los números de Bernoulli y los coeficientes binomiales . Se utilizan para la expansión de funciones en serie y con la fórmula de Euler-MacLaurin .
Estos polinomios ocurren en el estudio de muchas funciones especiales y, en particular, la función zeta de Riemann y la función zeta de Hurwitz . Son una secuencia de Appell (es decir, una secuencia de Sheffer para el operador derivado ordinario ). Para los polinomios de Bernoulli, el número de cruces del eje x en el intervalo unitario no aumenta con el grado. En el límite mayor, se acercan, cuando se escalan adecuadamente, a las funciones seno y coseno .
Un conjunto similar de polinomios, basado en una función generadora, es la familia de polinomios de Euler .
Representaciones Los polinomios de Bernoulli B n pueden definirse mediante una función generadora . También admiten una variedad de representaciones derivadas.
Funciones generadoras La función generadora de los polinomios de Bernoulli es
t mi X t mi t - 1 = ∑ norte = 0 ∞ B norte ( X ) t norte norte ! . {\ Displaystyle {\ frac {te ^ {xt}} {e ^ {t} -1}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} B_ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}}.} La función generadora de los polinomios de Euler es
2 mi X t mi t + 1 = ∑ norte = 0 ∞ mi norte ( X ) t norte norte ! . {\ Displaystyle {\ frac {2e ^ {xt}} {e ^ {t} +1}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} E_ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}}.} Fórmula explícita B norte ( X ) = ∑ k = 0 norte ( norte k ) B norte - k X k , {\ Displaystyle B_ {n} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ elige k} B_ {nk} x ^ {k},} mi metro ( X ) = ∑ k = 0 metro ( metro k ) mi k 2 k ( X - 1 2 ) metro - k . {\ Displaystyle E_ {m} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {m} {m \ elige k} {\ frac {E_ {k}} {2 ^ {k}}} \ left (x - {\ frac {1} {2}} \ right) ^ {mk} \ ,.} para n ≥ 0, donde B k son los números de Bernoulli y E k son los números de Euler .
Representación por un operador diferencial Los polinomios de Bernoulli también están dados por
B norte ( X ) = D mi D - 1 X norte {\ Displaystyle B_ {n} (x) = {D \ over e ^ {D} -1} x ^ {n}} donde D = d / dx es la diferenciación con respecto ax y la fracción se expande como una serie de potencias formales . Resulta que
∫ a X B norte ( tu ) D tu = B norte + 1 ( X ) - B norte + 1 ( a ) norte + 1 . {\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {x} B_ {n} (u) ~ du = {\ frac {B_ {n + 1} (x) -B_ {n + 1} (a)} {n + 1}} ~.} cf. integrales a continuación . De la misma manera, los polinomios de Euler están dados por
mi norte ( X ) = 2 mi D + 1 X norte . {\ Displaystyle E_ {n} (x) = {\ frac {2} {e ^ {D} +1}} x ^ {n}.} Representación por un operador integral Los polinomios de Bernoulli son también los polinomios únicos determinados por
∫ X X + 1 B norte ( tu ) D tu = X norte . {\ Displaystyle \ int _ {x} ^ {x + 1} B_ {n} (u) \, du = x ^ {n}.} La transformación integral
( T F ) ( X ) = ∫ X X + 1 F ( tu ) D tu {\ Displaystyle (Tf) (x) = \ int _ {x} ^ {x + 1} f (u) \, du} en polinomios f , simplemente equivale a
( T F ) ( X ) = mi D - 1 D F ( X ) = ∑ norte = 0 ∞ D norte ( norte + 1 ) ! F ( X ) = F ( X ) + F ′ ( X ) 2 + F ″ ( X ) 6 + F ‴ ( X ) 24 + ⋯ . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} (Tf) (x) = {e ^ {D} -1 \ over D} f (x) & {} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} { D ^ {n} \ over (n + 1)!} F (x) \\ & {} = f (x) + {f '(x) \ over 2} + {f' '(x) \ over 6 } + {f '' '(x) \ over 24} + \ cdots ~. \ end {alineado}}} Esto se puede utilizar para producir las siguientes fórmulas de inversión .
Otra fórmula explícita Una fórmula explícita para los polinomios de Bernoulli viene dada por
B metro ( X ) = ∑ norte = 0 metro 1 norte + 1 ∑ k = 0 norte ( - 1 ) k ( norte k ) ( X + k ) metro . {\ Displaystyle B_ {m} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {m} {\ frac {1} {n + 1}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1 ) ^ {k} {n \ elija k} (x + k) ^ {m}.} Es similar a la expresión en serie de la función zeta de Hurwitz en el plano complejo. De hecho, existe la relación
B norte ( X ) = - norte ζ ( 1 - norte , X ) {\ Displaystyle B_ {n} (x) = - n \ zeta (1-n, x)} donde ζ ( s , q ) es la función zeta de Hurwitz. Este último generaliza los polinomios de Bernoulli, permitiendo valores no enteros de n .
La suma interior puede ser entendido como el n º diferencia hacia adelante de x m ; es decir,
Δ norte X metro = ∑ k = 0 norte ( - 1 ) norte - k ( norte k ) ( X + k ) metro {\ Displaystyle \ Delta ^ {n} x ^ {m} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {nk} {n \ elige k} (x + k) ^ {m} } donde Δ es el operador de diferencia directa . Por lo tanto, uno puede escribir
B metro ( X ) = ∑ norte = 0 metro ( - 1 ) norte norte + 1 Δ norte X metro . {\ Displaystyle B_ {m} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {m} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n + 1}} \, \ Delta ^ {n} x ^ {m}.} Esta fórmula puede derivarse de una identidad que aparece arriba como sigue. Dado que el operador de diferencia hacia adelante Δ es igual a
Δ = mi D - 1 {\ Displaystyle \ Delta = e ^ {D} -1} donde D es la diferenciación con respecto ax , tenemos, de la serie Mercator ,
D mi D - 1 = Iniciar sesión ( Δ + 1 ) Δ = ∑ norte = 0 ∞ ( - Δ ) norte norte + 1 . {\ Displaystyle {D \ over e ^ {D} -1} = {\ log (\ Delta +1) \ over \ Delta} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {(- \ Delta) ^ {n} \ sobre n + 1}.} Mientras esta opera en una m th-grado del polinomio como x m , uno puede dejar que n ir de 0 sólo hasta m .
Una representación integral de los polinomios de Bernoulli viene dada por la integral de Nörlund-Rice , que se deriva de la expresión como una diferencia finita.
Una fórmula explícita para los polinomios de Euler viene dada por
mi metro ( X ) = ∑ norte = 0 metro 1 2 norte ∑ k = 0 norte ( - 1 ) k ( norte k ) ( X + k ) metro . {\ Displaystyle E_ {m} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {m} {\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} ( -1) ^ {k} {n \ elija k} (x + k) ^ {m} \ ,.} Lo anterior sigue de manera análoga, utilizando el hecho de que
2 mi D + 1 = 1 1 + Δ / 2 = ∑ norte = 0 ∞ ( - Δ 2 ) norte . {\ displaystyle {\ frac {2} {e ^ {D} +1}} = {\ frac {1} {1+ \ Delta / 2}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} { \ Bigl (} - {\ frac {\ Delta} {2}} {\ Bigr)} ^ {n}.}
Sumas de p- ésimas potencias Usando la representación integral anterior de X norte {\ Displaystyle x ^ {n}} o la identidad B norte ( X + 1 ) - B norte ( X ) = norte X norte - 1 {\ Displaystyle B_ {n} (x + 1) -B_ {n} (x) = nx ^ {n-1}} , tenemos
∑ k = 0 X k pag = ∫ 0 X + 1 B pag ( t ) D t = B pag + 1 ( X + 1 ) - B pag + 1 pag + 1 {\ Displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {x} k ^ {p} = \ int _ {0} ^ {x + 1} B_ {p} (t) \, dt = {\ frac {B_ { p + 1} (x + 1) -B_ {p + 1}} {p + 1}}} (asumiendo 0 0 = 1).
Los números de Bernoulli y Euler Los números de Bernoulli están dados por B norte = B norte ( 0 ) . {\ Displaystyle \ textstyle B_ {n} = B_ {n} (0).}
Esta definición da ζ ( - norte ) = ( - 1 ) norte norte + 1 B norte + 1 {\ Displaystyle \ textstyle \ zeta (-n) = {\ frac {(-1) ^ {n}} {n + 1}} B_ {n + 1}} por norte = 0 , 1 , 2 , ... {\ Displaystyle \ textstyle n = 0,1,2, \ ldots} .
Una convención alternativa define los números de Bernoulli como B norte = B norte ( 1 ) . {\ Displaystyle \ textstyle B_ {n} = B_ {n} (1).}
Las dos convenciones difieren solo en norte = 1 {\ Displaystyle n = 1} desde B 1 ( 1 ) = 1 2 = - B 1 ( 0 ) {\ Displaystyle B_ {1} (1) = {\ tfrac {1} {2}} = - B_ {1} (0)} .
Los números de Euler están dados por mi norte = 2 norte mi norte ( 1 2 ) . {\ Displaystyle E_ {n} = 2 ^ {n} E_ {n} ({\ tfrac {1} {2}}).}
Expresiones explícitas para grados bajos Los primeros polinomios de Bernoulli son:
B 0 ( X ) = 1 B 1 ( X ) = X - 1 2 B 2 ( X ) = X 2 - X + 1 6 B 3 ( X ) = X 3 - 3 2 X 2 + 1 2 X B 4 ( X ) = X 4 - 2 X 3 + X 2 - 1 30 B 5 ( X ) = X 5 - 5 2 X 4 + 5 3 X 3 - 1 6 X B 6 ( X ) = X 6 - 3 X 5 + 5 2 X 4 - 1 2 X 2 + 1 42 . {\ displaystyle {\ begin {alineado} B_ {0} (x) & = 1 \\ [8pt] B_ {1} (x) & = x - {\ frac {1} {2}} \\ [8pt] B_ {2} (x) & = x ^ {2} -x + {\ frac {1} {6}} \\ [8pt] B_ {3} (x) & = x ^ {3} - {\ frac { 3} {2}} x ^ {2} + {\ frac {1} {2}} x \\ [8pt] B_ {4} (x) & = x ^ {4} -2x ^ {3} + x ^ {2} - {\ frac {1} {30}} \\ [8pt] B_ {5} (x) & = x ^ {5} - {\ frac {5} {2}} x ^ {4} + {\ frac {5} {3}} x ^ {3} - {\ frac {1} {6}} x \\ [8pt] B_ {6} (x) & = x ^ {6} -3x ^ {5} + {\ frac {5} {2}} x ^ {4} - {\ frac {1} {2}} x ^ {2} + {\ frac {1} {42}}. \ End { alineado}}} Los primeros polinomios de Euler son:
mi 0 ( X ) = 1 mi 1 ( X ) = X - 1 2 mi 2 ( X ) = X 2 - X mi 3 ( X ) = X 3 - 3 2 X 2 + 1 4 mi 4 ( X ) = X 4 - 2 X 3 + X mi 5 ( X ) = X 5 - 5 2 X 4 + 5 2 X 2 - 1 2 mi 6 ( X ) = X 6 - 3 X 5 + 5 X 3 - 3 X . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} E_ {0} (x) & = 1 \\ [8pt] E_ {1} (x) & = x - {\ frac {1} {2}} \\ [8pt] E_ {2} (x) & = x ^ {2} -x \\ [8pt] E_ {3} (x) & = x ^ {3} - {\ frac {3} {2}} x ^ {2 } + {\ frac {1} {4}} \\ [8pt] E_ {4} (x) & = x ^ {4} -2x ^ {3} + x \\ [8pt] E_ {5} (x ) & = x ^ {5} - {\ frac {5} {2}} x ^ {4} + {\ frac {5} {2}} x ^ {2} - {\ frac {1} {2} } \\ [8pt] E_ {6} (x) & = x ^ {6} -3x ^ {5} + 5x ^ {3} -3x. \ End {alineado}}}
Máximo y mínimo A mayor n , la cantidad de variación en B n ( x ) entre x = 0 y x = 1 aumenta. Por ejemplo,
B dieciséis ( X ) = X dieciséis - 8 X 15 + 20 X 14 - 182 3 X 12 + 572 3 X 10 - 429 X 8 + 1820 3 X 6 - 1382 3 X 4 + 140 X 2 - 3617 510 {\ Displaystyle B_ {16} (x) = x ^ {16} -8x ^ {15} + 20x ^ {14} - {\ frac {182} {3}} x ^ {12} + {\ frac {572 } {3}} x ^ {10} -429x ^ {8} + {\ frac {1820} {3}} x ^ {6} - {\ frac {1382} {3}} x ^ {4} + 140x ^ {2} - {\ frac {3617} {510}}} lo que muestra que el valor en x = 0 (y en x = 1) es −3617/510 ≈ −7.09, mientras que en x = 1/2, el valor es 118518239/3342336 ≈ +7.09. DH Lehmer [1] mostró que el valor máximo de B n ( x ) entre 0 y 1 obedece
METRO norte < 2 norte ! ( 2 π ) norte {\ Displaystyle M_ {n} <{\ frac {2n!} {(2 \ pi) ^ {n}}}} a menos que n sea 2 módulo 4, en cuyo caso
METRO norte = 2 ζ ( norte ) norte ! ( 2 π ) norte {\ Displaystyle M_ {n} = {\ frac {2 \ zeta (n) n!} {(2 \ pi) ^ {n}}}} (dónde ζ ( X ) {\ Displaystyle \ zeta (x)} es la función zeta de Riemann ), mientras que el mínimo obedece
metro norte > - 2 norte ! ( 2 π ) norte {\ Displaystyle m_ {n}> {\ frac {-2n!} {(2 \ pi) ^ {n}}}} a menos que n sea 0 módulo 4, en cuyo caso
metro norte = - 2 ζ ( norte ) norte ! ( 2 π ) norte . {\ Displaystyle m_ {n} = {\ frac {-2 \ zeta (n) n!} {(2 \ pi) ^ {n}}}.} Estos límites están bastante cerca del máximo y mínimo reales, y Lehmer también proporciona límites más precisos.
Diferencias y derivadas Los polinomios de Bernoulli y Euler obedecen a muchas relaciones del cálculo umbral :
Δ B norte ( X ) = B norte ( X + 1 ) - B norte ( X ) = norte X norte - 1 , {\ Displaystyle \ Delta B_ {n} (x) = B_ {n} (x + 1) -B_ {n} (x) = nx ^ {n-1},} Δ mi norte ( X ) = mi norte ( X + 1 ) - mi norte ( X ) = 2 ( X norte - mi norte ( X ) ) . {\ Displaystyle \ Delta E_ {n} (x) = E_ {n} (x + 1) -E_ {n} (x) = 2 (x ^ {n} -E_ {n} (x)).} (Δ es el operador de diferencia directa ). También,
mi norte ( X + 1 ) + mi norte ( X ) = 2 X norte . {\ Displaystyle E_ {n} (x + 1) + E_ {n} (x) = 2x ^ {n}.} Estas secuencias de polinomios son secuencias de Appell :
B norte ′ ( X ) = norte B norte - 1 ( X ) , {\ Displaystyle B_ {n} '(x) = nB_ {n-1} (x),} mi norte ′ ( X ) = norte mi norte - 1 ( X ) . {\ Displaystyle E_ {n} '(x) = nE_ {n-1} (x).} Traducciones B norte ( X + y ) = ∑ k = 0 norte ( norte k ) B k ( X ) y norte - k {\ Displaystyle B_ {n} (x + y) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ elige k} B_ {k} (x) y ^ {nk}} mi norte ( X + y ) = ∑ k = 0 norte ( norte k ) mi k ( X ) y norte - k {\ Displaystyle E_ {n} (x + y) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ elige k} E_ {k} (x) y ^ {nk}} Estas identidades también equivalen a decir que estas secuencias polinómicas son secuencias de Appell . (Los polinomios de Hermite son otro ejemplo).
Simetrías B norte ( 1 - X ) = ( - 1 ) norte B norte ( X ) , norte ≥ 0 , {\ Displaystyle B_ {n} (1-x) = (- 1) ^ {n} B_ {n} (x), \ quad n \ geq 0,} mi norte ( 1 - X ) = ( - 1 ) norte mi norte ( X ) {\ Displaystyle E_ {n} (1-x) = (- 1) ^ {n} E_ {n} (x)} ( - 1 ) norte B norte ( - X ) = B norte ( X ) + norte X norte - 1 {\ Displaystyle (-1) ^ {n} B_ {n} (- x) = B_ {n} (x) + nx ^ {n-1}} ( - 1 ) norte mi norte ( - X ) = - mi norte ( X ) + 2 X norte {\ Displaystyle (-1) ^ {n} E_ {n} (- x) = - E_ {n} (x) + 2x ^ {n}} B norte ( 1 2 ) = ( 1 2 norte - 1 - 1 ) B norte , norte ≥ 0 de los teoremas de la multiplicación a continuación. {\ Displaystyle B_ {n} \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) = \ left ({\ frac {1} {2 ^ {n-1}}} - 1 \ right) B_ { n}, \ quad n \ geq 0 {\ text {de los teoremas de multiplicación a continuación.}}} Zhi-Wei Sun y Hao Pan [2] estableció la siguiente relación simetría sorprendente: Si r + s + t = n y x + y + z = 1 , entonces
r [ s , t ; X , y ] norte + s [ t , r ; y , z ] norte + t [ r , s ; z , X ] norte = 0 , {\ Displaystyle r [s, t; x, y] _ {n} + s [t, r; y, z] _ {n} + t [r, s; z, x] _ {n} = 0, } dónde
[ s , t ; X , y ] norte = ∑ k = 0 norte ( - 1 ) k ( s k ) ( t norte - k ) B norte - k ( X ) B k ( y ) . {\ Displaystyle [s, t; x, y] _ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {s \ elige k} {t \ elige {nk} } B_ {nk} (x) B_ {k} (y).}
series de Fourier La serie de Fourier de los polinomios de Bernoulli es también una serie de Dirichlet , dada por la expansión
B norte ( X ) = - norte ! ( 2 π I ) norte ∑ k ≠ 0 mi 2 π I k X k norte = - 2 norte ! ∑ k = 1 ∞ porque ( 2 k π X - norte π 2 ) ( 2 k π ) norte . {\ Displaystyle B_ {n} (x) = - {\ frac {n!} {(2 \ pi i) ^ {n}}} \ sum _ {k \ not = 0} {\ frac {e ^ {2 \ pi ikx}} {k ^ {n}}} = - 2n! \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos \ left (2k \ pi x - {\ frac {n \ pi} {2}} \ right)} {(2k \ pi) ^ {n}}}.} Tenga en cuenta el simple gran límite n para funciones trigonométricas adecuadamente escaladas.
Este es un caso especial de la forma análoga para la función zeta de Hurwitz
B norte ( X ) = - Γ ( norte + 1 ) ∑ k = 1 ∞ Exp ( 2 π I k X ) + mi I π norte Exp ( 2 π I k ( 1 - X ) ) ( 2 π I k ) norte . {\ Displaystyle B_ {n} (x) = - \ Gamma (n + 1) \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ exp (2 \ pi ikx) + e ^ {i \ pi n} \ exp (2 \ pi ik (1-x))} {(2 \ pi ik) ^ {n}}}.} Esta expansión es válida solo para 0 ≤ x ≤ 1 cuando n ≥ 2 y es válida para 0 < x <1 cuando n = 1.
También se puede calcular la serie de Fourier de los polinomios de Euler. Definiendo las funciones
C ν ( X ) = ∑ k = 0 ∞ porque ( ( 2 k + 1 ) π X ) ( 2 k + 1 ) ν {\ Displaystyle C _ {\ nu} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos ((2k + 1) \ pi x)} {(2k + 1) ^ { \ nu}}}} y
S ν ( X ) = ∑ k = 0 ∞ pecado ( ( 2 k + 1 ) π X ) ( 2 k + 1 ) ν {\ Displaystyle S _ {\ nu} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin ((2k + 1) \ pi x)} {(2k + 1) ^ { \ nu}}}} por ν > 1 {\ Displaystyle \ nu> 1} , el polinomio de Euler tiene la serie de Fourier
C 2 norte ( X ) = ( - 1 ) norte 4 ( 2 norte - 1 ) ! π 2 norte mi 2 norte - 1 ( X ) {\ Displaystyle C_ {2n} (x) = {\ frac {(-1) ^ {n}} {4 (2n-1)!}} \ pi ^ {2n} E_ {2n-1} (x)} y
S 2 norte + 1 ( X ) = ( - 1 ) norte 4 ( 2 norte ) ! π 2 norte + 1 mi 2 norte ( X ) . {\ Displaystyle S_ {2n + 1} (x) = {\ frac {(-1) ^ {n}} {4 (2n)!}} \ pi ^ {2n + 1} E_ {2n} (x). } Tenga en cuenta que el C ν {\ Displaystyle C _ {\ nu}} y S ν {\ Displaystyle S _ {\ nu}} son pares e impares, respectivamente:
C ν ( X ) = - C ν ( 1 - X ) {\ Displaystyle C _ {\ nu} (x) = - C _ {\ nu} (1-x)} y
S ν ( X ) = S ν ( 1 - X ) . {\ Displaystyle S _ {\ nu} (x) = S _ {\ nu} (1-x).} Están relacionados con la función chi de Legendre. χ ν {\ Displaystyle \ chi _ {\ nu}} como
C ν ( X ) = Re χ ν ( mi I X ) {\ Displaystyle C _ {\ nu} (x) = \ operatorname {Re} \ chi _ {\ nu} (e ^ {ix})} y
S ν ( X ) = Soy χ ν ( mi I X ) . {\ Displaystyle S _ {\ nu} (x) = \ operatorname {Im} \ chi _ {\ nu} (e ^ {ix}).}
Inversión Los polinomios de Bernoulli y Euler pueden invertirse para expresar el monomio en términos de polinomios.
En concreto, evidentemente del apartado anterior sobre operadores integrales , se desprende que
X norte = 1 norte + 1 ∑ k = 0 norte ( norte + 1 k ) B k ( X ) {\ Displaystyle x ^ {n} = {\ frac {1} {n + 1}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n + 1 \ elige k} B_ {k} (x)} y
X norte = mi norte ( X ) + 1 2 ∑ k = 0 norte - 1 ( norte k ) mi k ( X ) . {\ Displaystyle x ^ {n} = E_ {n} (x) + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} {n \ elige k} E_ {k }(X).}
Relación con la caída factorial Los polinomios de Bernoulli pueden expandirse en términos del factorial descendente ( X ) k {\ Displaystyle (x) _ {k}} como
B norte + 1 ( X ) = B norte + 1 + ∑ k = 0 norte norte + 1 k + 1 { norte k } ( X ) k + 1 {\ Displaystyle B_ {n + 1} (x) = B_ {n + 1} + \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {n + 1} {k + 1}} \ left \ { {\ begin {matriz} n \\ k \ end {matriz}} \ right \} (x) _ {k + 1}} dónde B norte = B norte ( 0 ) {\ Displaystyle B_ {n} = B_ {n} (0)} y
{ norte k } = S ( norte , k ) {\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix}} \ right \} = S (n, k)} denota el número de Stirling del segundo tipo . Lo anterior se puede invertir para expresar el factorial descendente en términos de los polinomios de Bernoulli:
( X ) norte + 1 = ∑ k = 0 norte norte + 1 k + 1 [ norte k ] ( B k + 1 ( X ) - B k + 1 ) {\ Displaystyle (x) _ {n + 1} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {n + 1} {k + 1}} \ left [{\ begin {matrix} n \ \ k \ end {matriz}} \ right] \ left (B_ {k + 1} (x) -B_ {k + 1} \ right)} dónde
[ norte k ] = s ( norte , k ) {\ Displaystyle \ left [{\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix}} \ right] = s (n, k)} denota el número de Stirling del primer tipo .
Teoremas de multiplicación Los teoremas de la multiplicación fueron dados por Joseph Ludwig Raabe en 1851:
Para un número natural m ≥1 ,
B norte ( metro X ) = metro norte - 1 ∑ k = 0 metro - 1 B norte ( X + k metro ) {\ Displaystyle B_ {n} (mx) = m ^ {n-1} \ sum _ {k = 0} ^ {m-1} B_ {n} \ left (x + {\ frac {k} {m}} \derecho)} mi norte ( metro X ) = metro norte ∑ k = 0 metro - 1 ( - 1 ) k mi norte ( X + k metro ) por metro = 1 , 3 , ... {\ Displaystyle E_ {n} (mx) = m ^ {n} \ sum _ {k = 0} ^ {m-1} (- 1) ^ {k} E_ {n} \ left (x + {\ frac { k} {m}} \ right) \ quad {\ mbox {para}} m = 1,3, \ dots} mi norte ( metro X ) = - 2 norte + 1 metro norte ∑ k = 0 metro - 1 ( - 1 ) k B norte + 1 ( X + k metro ) por metro = 2 , 4 , ... {\ Displaystyle E_ {n} (mx) = {\ frac {-2} {n + 1}} m ^ {n} \ sum _ {k = 0} ^ {m-1} (- 1) ^ {k } B_ {n + 1} \ left (x + {\ frac {k} {m}} \ right) \ quad {\ mbox {for}} m = 2,4, \ dots}
Integrales Dos integrales definidas que relacionan los polinomios de Bernoulli y Euler con los números de Bernoulli y Euler son: [ cita requerida ]
∫ 0 1 B norte ( t ) B metro ( t ) D t = ( - 1 ) norte - 1 metro ! norte ! ( metro + norte ) ! B norte + metro por metro , norte ≥ 1 {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} B_ {n} (t) B_ {m} (t) \, dt = (- 1) ^ {n-1} {\ frac {m! n!} {(m + n)!}} B_ {n + m} \ quad {\ text {para}} m, n \ geq 1} ∫ 0 1 mi norte ( t ) mi metro ( t ) D t = ( - 1 ) norte 4 ( 2 metro + norte + 2 - 1 ) metro ! norte ! ( metro + norte + 2 ) ! B norte + metro + 2 {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} E_ {n} (t) E_ {m} (t) \, dt = (- 1) ^ {n} 4 (2 ^ {m + n + 2} -1) {\ frac {m! N!} {(M + n + 2)!}} B_ {n + m + 2}}
Polinomios periódicos de Bernoulli Un polinomio de Bernoulli periódico P n ( x ) es un polinomio de Bernoulli evaluado en la parte fraccionaria del argumento x . Estas funciones se utilizan para proporcionar el término restante en la fórmula de Euler-Maclaurin que relaciona sumas con integrales. El primer polinomio es una función de diente de sierra .
Estrictamente, estas funciones no son polinomios en absoluto y, más correctamente, deberían denominarse funciones periódicas de Bernoulli, y P 0 ( x ) ni siquiera es una función, ya que es la derivada de un diente de sierra y, por tanto, un peine de Dirac .
Las siguientes propiedades son de interés, válidas para todos X {\ Displaystyle x} :
PAG k ( X ) es continuo para todos k > 1 PAG k ′ ( X ) existe y es continuo para k > 2 PAG k ′ ( X ) = k PAG k - 1 ( X ) , k > 2 {\ displaystyle {\ begin {alineado} & P_ {k} (x) {\ text {es continuo para todos}} k> 1 \\ [5pt] & P_ {k} '(x) {\ text {existe y es continuo para}} k> 2 \\ [5pt] & P '_ {k} (x) = kP_ {k-1} (x), k> 2 \ end {alineado}}}
Ver también Números de Bernoulli Polinomios de Bernoulli del segundo tipo Polinomio de Stirling
Referencias ^ DH Lehmer, "Sobre los máximos y mínimos de los polinomios de Bernoulli", American Mathematical Monthly , volumen 47, páginas 533-538 (1940) ^ Zhi-Wei Sun; Hao Pan (2006). "Identidades relativas a los polinomios de Bernoulli y Euler". Acta Arithmetica . 125 : 21–39. arXiv : matemáticas / 0409035 . Código Bibliográfico : 2006AcAri.125 ... 21S . doi : 10.4064 / aa125-1-3 . Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, eds. Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas , (1972) Dover, Nueva York. (Ver Capítulo 23 ) Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 , MR 0434929 , Zbl 0.335,10001 (Ver capítulo 12.11) Dilcher, K. (2010), "Polinomios de Bernoulli y Euler" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248 Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (1995). "Nuevas fórmulas para los polinomios de Bernoulli y Euler en argumentos racionales". Actas de la American Mathematical Society . 123 : 1527-1535. doi : 10.2307 / 2161144 . Guillera, Jesús; Sondow, Jonathan (2008). "Integrales dobles y productos infinitos para algunas constantes clásicas a través de continuaciones analíticas de trascendente de Lerch". El diario Ramanujan . 16 (3): 247–270. arXiv : matemáticas.NT / 0506319 . doi : 10.1007 / s11139-007-9102-0 . (Revisa la relación con la función zeta de Hurwitz y la trascendencia de Lerch). Hugh L. Montgomery ; Robert C. Vaughan (2007). Teoría de números multiplicativos I. Teoría clásica . Tratados de Cambridge en matemáticas avanzadas. 97 . Cambridge: Universidad de Cambridge. Prensa. págs. 495–519. ISBN 0-521-84903-9 .
enlaces externos Una lista de identidades integrales que involucran polinomios de Bernoulli de NIST