La paradoja de la caja de Bertrand es una paradoja de la teoría de la probabilidad elemental , planteada por primera vez por Joseph Bertrand en su obra de 1889 Calcul des probabilités .
Hay tres casillas:
- una caja que contiene dos monedas de oro,
- una caja que contiene dos monedas de plata,
- una caja que contiene una moneda de oro y una moneda de plata.
La 'paradoja' está en la probabilidad, después de elegir una caja al azar y retirar una moneda al azar, si resulta que es una moneda de oro, de que la siguiente moneda extraída de la misma caja sea también una moneda de oro.
Estos acertijos simples pero contrarios a la intuición se utilizan como un ejemplo estándar en la enseñanza de la teoría de la probabilidad. Su solución ilustra algunos principios básicos, incluidos los axiomas de Kolmogorov .
Solución
Puede parecer que la probabilidad de que la moneda restante sea oro es 1/2, pero en verdad, la probabilidad es en realidad 2/3.
Dos problemas que son muy similares son el problema de Monty Hall y el problema de los Tres Prisioneros .
Explicación de cajas con cajones
El problema se puede replantear describiendo las cajas como si cada una tuviera un cajón en cada uno de los dos lados. Cada cajón contiene una moneda. Una caja tiene una moneda de oro en cada lado ( GG ), una con una moneda de plata en cada lado ( SS ) y la otra con una moneda de oro en un lado y una moneda de plata en el otro ( GS ). Se elige una caja al azar, se abre un cajón al azar y en su interior se encuentra una moneda de oro. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda del otro lado sea de oro?
El siguiente razonamiento parece dar una probabilidad de 1/2:
- Originalmente, las tres cajas tenían la misma probabilidad de ser elegidas.
- La casilla elegida no puede ser la casilla SS .
- Entonces debe ser caja GG o GS .
- Las dos posibilidades restantes son igualmente probables. Entonces, la probabilidad de que la caja sea GG , y la otra moneda también sea de oro, es 1/2.
La falla está en el último paso. Si bien esos dos casos eran originalmente igualmente probables, el hecho de que esté seguro de encontrar una moneda de oro si hubiera elegido la caja GG , pero solo esté seguro al 50% de encontrar una moneda de oro si hubiera elegido la caja GS , significa que son ya no es igualmente probable dado que ha encontrado una moneda de oro. Específicamente:
- La probabilidad de que GG produzca una moneda de oro es 1.
- La probabilidad de que SS produzca una moneda de oro es 0.
- La probabilidad de que GS produzca una moneda de oro es 1/2.
Inicialmente , GG , SS y GS son igualmente probables. Por lo tanto, según la regla de Bayes, la probabilidad condicional de que la caja elegida sea GG , dado que hemos observado una moneda de oro, es:
La respuesta correcta de 2/3 también se puede obtener de la siguiente manera:
- Originalmente, las seis monedas tenían la misma probabilidad de ser elegidas.
- La moneda elegida no puede ser del cajón S de la caja GS , ni de ningún cajón de la caja SS .
- Por lo tanto, debe provenir del cajón G de la caja GS , o de cualquier cajón de la caja GG .
- Las tres posibilidades restantes son igualmente probables, por lo que la probabilidad de que el cajón sea de la caja GG es 2/3.
Alternativamente, uno puede simplemente notar que la caja elegida tiene dos monedas del mismo tipo 2/3del tiempo. Entonces, independientemente del tipo de moneda que haya en el cajón elegido, la caja tiene dos monedas de ese tipo 2/3del tiempo. En otras palabras, el problema equivale a hacer la pregunta "¿Cuál es la probabilidad de que elija una caja con dos monedas del mismo color?".
El propósito de Bertrand al construir este ejemplo fue mostrar que simplemente contar casos no siempre es apropiado. En cambio, se deben sumar las probabilidades de que los casos produzcan el resultado observado; y los dos métodos son equivalentes solo si esta probabilidad es 1 o 0 en todos los casos. Esta condición se aplica correctamente en el segundo método de solución, pero no en el primero.
La paradoja declarada por Bertrand
Puede ser más fácil entender la respuesta correcta si considera la paradoja como la describió originalmente Bertrand. Después de que se ha elegido una caja, pero antes de que se abra una caja para permitirle observar una moneda, la probabilidad es 2/3que la caja tiene dos monedas del mismo tipo. Si la probabilidad de "observar una moneda de oro" en combinación con "la caja tiene dos monedas del mismo tipo" es 1/2, entonces la probabilidad de "observar una moneda de plata" en combinación con "la caja tiene dos monedas del mismo tipo" también debe ser 1/2. Y si la probabilidad de que la caja tenga dos monedas iguales cambia a 1/2 no importa qué tipo de moneda se muestre, la probabilidad debería ser 1/2incluso si no hubiera observado una moneda de esta manera. Como sabemos que su probabilidad es 2/3, no 1/2, tenemos una aparente paradoja. Solo se puede resolver reconociendo cómo la combinación de "observar una moneda de oro" con cada casilla posible sólo puede afectar la probabilidad de que la casilla sea GS o SS , pero no GG .
Versión de tarjeta
Suponga que hay tres cartas:
- Una tarjeta negra que es negra en ambos lados,
- Una tarjeta blanca que es blanca en ambos lados, y
- Una tarjeta mixta que es negra por un lado y blanca por el otro.
Todas las cartas se colocan en un sombrero y se saca una al azar y se coloca sobre una mesa. El lado que mira hacia arriba es negro. ¿Cuáles son las probabilidades de que el otro lado también sea negro?
La respuesta es que el otro lado es negro con probabilidad. 2/3. Sin embargo, la intuición común sugiere una probabilidad de 1/2ya sea porque hay dos cartas con negro sobre ellas que podría ser esta carta, o porque hay 3 lados blancos y 3 negros y mucha gente se olvida de eliminar la posibilidad de la "carta blanca" en esta situación (es decir, la carta que voltearon no puede ser la "tarjeta blanca" porque se dio la vuelta a un lado negro).
En una encuesta de 53 estudiantes de primer año de Psicología que tomaban un curso de introducción a la probabilidad, 35 respondieron incorrectamente 1/2; solo 3 estudiantes respondieron correctamente 2/3. [1]
Otra presentación del problema es decir: elija una carta al azar de las tres, ¿cuáles son las probabilidades de que tenga el mismo color en el otro lado? Dado que solo se mezcla una carta y dos tienen el mismo color en sus lados, es más fácil entender que la probabilidad es 2/3. También tenga en cuenta que decir que el color es negro (o que la moneda es dorada) en lugar de blanco no importa, ya que es simétrico: la respuesta es la misma para el blanco. También lo es la respuesta a la pregunta genérica "el mismo color en ambos lados".
Preliminares
Para resolver el problema, ya sea formal o informalmente, se deben asignar probabilidades a los eventos de sacar cada una de las seis caras de las tres cartas. Estas probabilidades posiblemente podrían ser muy diferentes; quizás la tarjeta blanca es más grande que la negra, o el lado negro de la tarjeta mixta es más pesado que el lado blanco. El enunciado de la pregunta no aborda explícitamente estas preocupaciones. Las únicas restricciones implícitas en los axiomas de Kolmogorov son que las probabilidades no son negativas y suman 1.
La costumbre en los problemas cuando uno literalmente saca objetos de un sombrero es asumir que todas las probabilidades de dibujar son iguales. Esto obliga a que la probabilidad de dibujar cada lado sea 1/6, por lo que la probabilidad de sacar una carta determinada es 1/3. En particular, la probabilidad de sacar la tarjeta doble blanca es 1/3, y la probabilidad de sacar una carta diferente es 2/3.
En cuestión, sin embargo, uno ya ha seleccionado una carta del sombrero y muestra una cara negra. A primera vista, parece que hay una probabilidad de 50/50 (es decir, probabilidad 1/2) que el otro lado de la carta es negro, ya que puede haber dos cartas: la negra y la mixta. Sin embargo, este razonamiento no aprovecha toda la información; uno sabe no solo que la carta sobre la mesa tiene al menos una cara negra, sino también que en la población de la que fue seleccionada, solo 1 de las 3 caras negras estaba en la carta mixta.
Una explicación fácil es que para nombrar los lados negros como x , y y z , donde x y y son en la misma tarjeta, mientras que z está en la tarjeta mixto, entonces la probabilidad se divide en los 3 lados negros con 1/3cada. por lo tanto la probabilidad de que elegimos ya sea x o y es la suma de sus probabilidades tanto 2/3.
Soluciones
Intuición
La intuición le dice a uno que está eligiendo una carta al azar. Sin embargo, en realidad se elige una cara al azar. Hay 6 caras, de las cuales 3 caras son blancas y 3 caras son negras. 2 de las 3 caras negras pertenecen a la misma carta. La posibilidad de elegir una de esas 2 caras es 2/3. Por lo tanto, la posibilidad de voltear la carta y encontrar otra cara negra también es 2/3. Otra forma de pensar es que el problema no se trata de la posibilidad de que el otro lado sea negro, se trata de la posibilidad de que hayas sacado toda la carta negra. Si dibujaste una cara negra, entonces es dos veces más probable que esa cara pertenezca a la carta negra que a la carta mixta.
Alternativamente, puede verse como una apuesta no en un color en particular, sino como una apuesta a que los lados coinciden. Apostar por un color en particular independientemente de la cara mostrada, siempre tendrá la posibilidad de 1/2. Sin embargo, apostar a que los lados coinciden es 2/3, porque 2 cartas coinciden y 1 no.
Etiquetas
Un método de solución es etiquetar las caras de la tarjeta, por ejemplo, los números del 1 al 6. [2] Etiquetar las caras de la tarjeta negra 1 y 2; rotule las caras de la tarjeta mixta 3 (negro) y 4 (blanco); y rotule las caras de la tarjeta blanca con 5 y 6. La cara negra observada podría ser 1, 2 o 3, todas igualmente probables; si es 1 o 2, el otro lado es negro, y si es 3, el otro lado es blanco. La probabilidad de que el otro lado sea negro es 2/3. Esta probabilidad se puede derivar de la siguiente manera: Sea la variable aleatoria B igual a la cara negra (es decir, la probabilidad de éxito ya que la cara negra es lo que estamos buscando). Usando el axioma de Kolmogorov de todas las probabilidades que tienen que ser iguales a 1, podemos concluir que la probabilidad de dibujar una cara blanca es 1 - P (B). Dado que P (B) = P (1) + P (2) por lo tanto P (B) = 1/3 + 1/3 = 2/3. Del mismo modo podemos hacer esto P (cara blanca) = 1 - 2/3 = 1/3.
Teorema de Bayes
Dado que la cara mostrada es negra, la otra cara es negra si y solo si la carta es negra. Si se saca la carta negra, se muestra una cara negra con probabilidad 1. La probabilidad total de ver una cara negra es 1/2; la probabilidad total de sacar la tarjeta negra es 1/3. Según el teorema de Bayes , la probabilidad condicional de haber sacado la tarjeta negra, dado que se muestra una cara negra, es
Puede ser más intuitivo presentar este argumento utilizando la regla de Bayes en lugar del teorema de Bayes [3] . Habiendo visto una cara negra podemos descartar la tarjeta blanca. Estamos interesados en la probabilidad de que la tarjeta sea negra dado que se muestra una cara negra. Inicialmente, es igualmente probable que la carta sea negra y que esté mixta: las probabilidades anteriores son 1: 1. Dado que es negro, es seguro que veremos una cara negra, pero dado que es mixto, solo tenemos un 50% de certeza de que veremos una cara negra. La razón de estas probabilidades, llamada razón de verosimilitud o factor de Bayes , es 2: 1. La regla de Bayes dice que "las probabilidades posteriores son iguales a las probabilidades anteriores por la razón de verosimilitud". Dado que las probabilidades anteriores son 1: 1, las probabilidades posteriores son iguales a la razón de probabilidad, 2: 1. Ahora es dos veces más probable que la tarjeta sea negra que mezclada.
Eliminando la tarjeta blanca
Aunque la solución incorrecta hace que se elimine la tarjeta blanca, también se puede usar esa información en una solución correcta. Modificando el método anterior, dado que no se saca la tarjeta blanca, la probabilidad de ver una cara negra es 3/4, y la probabilidad de sacar la tarjeta negra es 1/2. La probabilidad condicional de haber sacado la carta negra, dado que se ve una cara negra, es
Simetría
La probabilidad (sin considerar los colores individuales) de que el color oculto sea el mismo que el color mostrado es claramente 2/3, ya que esto es válido si y solo si la carta elegida es negra o blanca, que elige 2 de las 3 cartas. La simetría sugiere que la probabilidad es independiente del color elegido, de modo que la información sobre qué color se muestra no afecta las probabilidades de que ambos lados tengan el mismo color.
Este argumento es correcto y se puede formalizar de la siguiente manera. Según la ley de la probabilidad total , la probabilidad de que el color oculto sea el mismo que el color mostrado es igual al promedio ponderado de las probabilidades de que el color oculto sea el mismo que el color mostrado, dado que el color mostrado es blanco o negro respectivamente ( los pesos son las probabilidades de ver en blanco y negro respectivamente). Por simetría, las dos probabilidades condicionales de que los colores sean iguales dado que vemos negro y dado que vemos blanco son iguales. Dado que, además, promedian 2/3 ambos deben ser iguales a 2/3.
Experimentar
Usando tarjetas especialmente construidas, la elección se puede probar varias veces. Deje que "B" denote el color Negro . Al construir una fracción con el denominador como el número de veces que "B" está en la parte superior, y el numerador es el número de veces que ambos lados son "B", el experimentador probablemente encontrará que la razón está cerca 2/3.
Tenga en cuenta el hecho lógico de que la tarjeta B / B contribuye significativamente más (de hecho, dos veces) al número de veces que "B" está en la parte superior. Con la carta B / W siempre hay un 50% de probabilidad de que W esté en la parte superior, por lo que en el 50% de los casos en que se saca la carta B / W, el sorteo no afecta ni al numerador ni al denominador y efectivamente no cuenta (esto también es cierto para todas las veces que se roba W / W, por lo que esa carta también podría eliminarse del conjunto por completo). En conclusión, las cartas B / B y B / W no tienen las mismas posibilidades, porque en el 50% de los casos en que se saca B / W, esta carta simplemente está "descalificada".
Problemas relacionados
Notas
- ^ Bar-Hillel y Falk (página 119)
- ↑ Nickerson (página 158) defiende esta solución como "menos confusa" que otros métodos.
- ↑ Bar-Hillel y Falk (página 120) abogan por el uso dela regla de Bayes.
Referencias
- Bar-Hillel, Maya ; Falk, Ruma (1982). "Algunos teasers sobre probabilidades condicionales". Cognición . 11 (2): 109-22. doi : 10.1016 / 0010-0277 (82) 90021-X . PMID 7198956 .
- Nickerson, Raymond (2004). Cognición y azar: la psicología del razonamiento probabilístico , Lawrence Erlbaum. Ch. 5, "Algunos problemas instructivos: tres cartas", págs. 157-160. ISBN 0-8058-4898-3
- Michael Clark, Paradoxes from A to Z , pág. dieciséis;
- Howard Margolis, Wason, Monty Hall y Adverse Defaults .
enlaces externos
- Estimando la probabilidad con casillas y nombres aleatorios , una simulación