La desigualdad de Bessel

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En matemáticas , especialmente en el análisis funcional , la desigualdad de Bessel es un enunciado sobre los coeficientes de un elemento en un espacio de Hilbert con respecto a una secuencia ortonormal . La desigualdad fue derivada por FW Bessel en 1828. ^[1]${\ Displaystyle x}$

Sea un espacio de Hilbert y suponga que es una secuencia ortonormal en . Entonces, para cualquiera en uno tiene${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle e_ {1}, e_ {2}, ...}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle H}$

donde ⟨·, ·⟩ denota el producto interno en el espacio de Hilbert . ^{[2] [3] [4]} Si definimos la suma infinita${\ Displaystyle H}$

que consiste en una "suma infinita" de un vector resuelto en la dirección , la desigualdad de Bessel nos dice que esta serie converge . Uno puede pensar que existe que se puede describir en términos de base potencial .${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle e_ {k}}$ ${\ Displaystyle x '\ in H}$${\ Displaystyle e_ {1}, e_ {2}, \ dots}$

Para una secuencia ortonormal completa (es decir, para una secuencia ortonormal que es una base ), tenemos la identidad de Parseval , que reemplaza la desigualdad con una igualdad (y en consecuencia con ).${\ Displaystyle x '}$${\ Displaystyle x}$

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