En el análisis matemático , la identidad de Parseval , que lleva el nombre de Marc-Antoine Parseval , es un resultado fundamental de la sumabilidad de la serie de Fourier de una función. Geométricamente, es un teorema de Pitágoras generalizado para espacios de productos internos (que pueden tener una infinidad incontable de vectores base).
De manera informal, la identidad afirma que la suma de los cuadrados de los coeficientes de Fourier de una función es igual a la integral del cuadrado de la función,
Más formalmente, el resultado se mantiene como se indica siempre es una función integrable al cuadrado o, más generalmente, en el espacio Lp Un resultado similar es el teorema de Plancherel , que afirma que la integral del cuadrado de la transformada de Fourier de una función es igual a la integral del cuadrado de la función en sí. En una dimensión, para
Generalización del teorema de Pitágoras
La identidad está relacionada con el teorema de Pitágoras en el escenario más general de un espacio de Hilbert separable como sigue. Suponer quees un espacio Hilbert con producto interior Dejar ser una base ortonormal de; es decir, el tramo lineal de laes denso en y el son mutuamente ortonormales:
Entonces, la identidad de Parseval afirma que para cada
Esto es directamente análogo al teorema de Pitágoras , que afirma que la suma de los cuadrados de los componentes de un vector en una base ortonormal es igual a la longitud al cuadrado del vector. Uno puede recuperar la versión de la serie de Fourier de la identidad de Parseval dejando ser el espacio de Hilbert y ambientación por
De manera más general, la identidad de Parseval se mantiene en cualquier espacio de producto interno , no solo en los espacios separables de Hilbert. Por tanto, supongamos quees un espacio de producto interno. Dejarser una base ortonormal de; es decir, un conjunto ortonormal que es total en el sentido de que el lapso lineal de es denso en Luego
La suposición de que es total es necesario para la validez de la identidad. Si no es total, entonces la igualdad en la identidad de Parseval debe ser reemplazada por produciendo la desigualdad de Bessel . Esta forma general de la identidad de Parseval se puede demostrar utilizando el teorema de Riesz-Fischer .
Ver también
Referencias
- "Igualdad Parseval" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Johnson, Lee W .; Riess, R. Dean (1982), Análisis numérico (2a ed.), Reading, Mass .: Addison-Wesley, ISBN 0-201-10392-3.
- Titchmarsh, E (1939), La teoría de las funciones (2a ed.), Oxford University Press.
- Zygmund, Antoni (1968), Trigonometric Series (2.a ed.), Cambridge University Press (publicada en 1988), ISBN 978-0-521-35885-9.
- Siktar, Joshua (2019), Refundiendo la prueba de la identidad de Parseval , Revista turca de desigualdades. [1]