Bethe ansatz

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En física , Bethe ansatz es un método ansatz para encontrar las funciones de onda exactas de ciertos modelos cuánticos unidimensionales de muchos cuerpos. Fue inventado por Hans Bethe en 1931 ^[1] para encontrar los autovalores y autovectores exactos del modelo Hamiltoniano antiferromagnético unidimensional de Heisenberg . Desde entonces, el método se ha extendido a otros modelos en una dimensión: la cadena de Heisenberg (anisotrópica) (modelo XXZ), el gas Bose de interacción de Lieb-Liniger , el modelo de Hubbard , el modelo de Kondo , el modelo de impurezas de Anderson, el modelo de Richardson, etc.

Discusión

En el marco de la mecánica cuántica de muchos cuerpos , los modelos que pueden resolverse con Bethe ansatz se pueden contrastar con los modelos de fermiones libres. Se puede decir que la dinámica de un modelo libre es reducible en un cuerpo: la función de onda de muchos cuerpos para los fermiones ( bosones ) es el producto antisimetrizado (simétrizado) de las funciones de onda de un cuerpo. Los modelos que se pueden resolver con Bethe ansatz no son gratuitos: el sector de dos cuerpos tiene una matriz de dispersión no trivial , que en general depende de los momentos.

Por otro lado, la dinámica de los modelos que se pueden resolver con Bethe ansatz es reducible en dos cuerpos: la matriz de dispersión de muchos cuerpos es un producto de matrices de dispersión de dos cuerpos. Las colisiones de muchos cuerpos ocurren como una secuencia de colisiones de dos cuerpos y la función de onda de muchos cuerpos se puede representar en una forma que contiene solo elementos de las funciones de onda de dos cuerpos. La matriz de dispersión de muchos cuerpos es igual al producto de las matrices de dispersión por pares.

La forma genérica de Bethe ansatz para una función de onda de muchos cuerpos es

${\displaystyle \Psi _{M}(j_{1},\cdots ,j_{M})=\prod _{M\geq a>b\geq 1}{\text{sgn}}(j_{a}-j_{b})\sum _{P\in P_{M}}(-1)^{[P]}e^{i\sum _{a=1}^{M}k_{P_{a}}j_{a}+{\frac {i}{2}}\sum _{M\geq a>b\geq 1}\mathrm {sgn} (j_{a}-j_{b})\phi (k_{P_{a}},k_{P_{b}})}}$

donde está el número de partículas, su posición, es el conjunto de todas las permutaciones de los enteros , es el (cuasi-) momento de la -ésima partícula, es la función de desplazamiento de fase de dispersión y es la función de signo . Esta forma es universal (al menos para sistemas no anidados), y las funciones de momento y dispersión dependen del modelo.${\displaystyle M}$${\displaystyle j_{a},a=1,\cdots M}$${\displaystyle P_{M}}$${\displaystyle 1,\cdots ,M}$${\displaystyle k_{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \mathrm {sgn} }$

La ecuación de Yang-Baxter garantiza la coherencia de la construcción. El principio de exclusión de Pauli es válido para modelos que pueden resolverse mediante Bethe ansatz, incluso para modelos de bosones que interactúan .

El estado fundamental es una esfera de Fermi . Las condiciones de contorno periódicas conducen a las ecuaciones de Bethe ansatz. En forma logarítmica, las ecuaciones de Bethe ansatz pueden generarse mediante la acción de Yang . El cuadrado de la norma de la función de onda de Bet es igual al determinante de la matriz de segundas derivadas de la acción de Yang. ^[2] El reciente ^{[ ¿cuándo? ]} desarrolló Bethe ansatz algebraico ^[3] condujo a un progreso esencial, indicando ^{[ ¿quién? ]} eso

El método de dispersión inversa cuántica ... un método bien desarrollado ... ha permitido resolver una amplia clase de ecuaciones de evolución no lineal. Explica la naturaleza algebraica del Bethe ansatz.

Las soluciones exactas del llamado modelo sd (por PB Wiegmann ^[4] en 1980 e independientemente por N. Andrei, ^[5] también en 1980) y el modelo de Anderson (por PB Wiegmann ^[6] en 1981, y por N Kawakami y A. Okiji ^[7] en 1981) también se basan en Bethe ansatz. Existen generalizaciones multicanal de estos dos modelos también susceptibles de soluciones exactas (por N. Andrei y C. Destri ^[8] y por CJ Bolech y N. Andrei ^[9]). Recientemente, se realizaron experimentalmente varios modelos solucionables por Bethe ansatz en estados sólidos y redes ópticas. Jean-Sébastien Caux y Alexei Tsvelik desempeñaron un papel importante en la descripción teórica de estos experimentos. ^{[ cita requerida ]}

Ejemplo: la cadena antiferromagnética de Heisenberg

La cadena antiferromagnética de Heisenberg está definida por el hamiltoniano (asumiendo condiciones de contorno periódicas)

${\displaystyle H=J\sum _{j=1}^{N}\mathbf {S} _{j}\cdot \mathbf {S} _{j+1},\qquad \mathbf {S} _{j+N}\equiv \mathbf {S} _{j}.}$

Este modelo se puede resolver usando Bethe ansatz. La función de desplazamiento de fase de dispersión es , en la que el impulso se ha reparametrizado convenientemente en términos de rapidez . Las condiciones de contorno (aquí, periódicas) imponen las ecuaciones de Bethe${\displaystyle \phi (k_{a}(\lambda _{a}),k_{b}(\lambda _{b}))=\theta _{2}(\lambda _{a}-\lambda _{b})}$${\displaystyle \theta _{n}(\lambda )\equiv 2\arctan {\frac {2\lambda }{n}}}$${\displaystyle k(\lambda )=\pi -2\arctan 2\lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \left[{\frac {\lambda _{a}+i/2}{\lambda _{a}-i/2}}\right]^{N}=\prod _{b\neq a}^{M}{\frac {\lambda _{a}-\lambda _{b}+i}{\lambda _{a}-\lambda _{b}-i}},\qquad a=1,...,M}$

o más convenientemente en forma logarítmica

${\displaystyle \theta _{1}(\lambda _{a})-{\frac {1}{N}}\sum _{b=1}^{M}\theta _{2}(\lambda _{a}-\lambda _{b})=2\pi {\frac {I_{a}}{N}}}$

donde los números cuánticos son distintos enteros medio impares para pares, enteros para impares (con mod definido ).${\displaystyle I_{j}}$${\displaystyle N-M}$${\displaystyle N-M}$${\displaystyle I_{j}}$${\displaystyle (N)}$

Cronología

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• 1928: Werner Heisenberg publica su modelo. ^[10]
• 1930: Felix Bloch propone un ansatz simplificado que calcula mal el número de soluciones de la ecuación de Schrödinger para la cadena de Heisenberg. ^[11]
• 1931: Hans Bethe propone el ansatz correcto y muestra cuidadosamente que produce el número correcto de funciones propias. ^[1]
• 1938: Lamek Hulthén  [ de ] obtiene la energía del estado fundamental exacta del modelo de Heisenberg. ^[12]
• 1958: Raymond Lee Orbach utiliza Bethe ansatz para resolver el modelo de Heisenberg con interacciones anisotrópicas. ^[13]
• 1962: J. des Cloizeaux y JJ Pearson obtienen el espectro correcto del antiferromagnet de Heisenberg (relación de dispersión de espín), ^[14] mostrando que difiere de las predicciones de la teoría de espín-onda de Anderson ^[15] (el prefactor constante es diferente).
• 1963: Elliott H. Lieb y Werner Liniger proporcionan la solución exacta del gas Bose que interactúa con la función δ 1d ^[16] (ahora conocido como modelo Lieb-Liniger ). Lieb estudia el espectro y define dos tipos básicos de excitaciones. ^[17]
• 1964: Robert B. Griffiths obtiene la curva de magnetización del modelo de Heisenberg a temperatura cero. ^[18]
• 1966: CN Yang y CP Yang prueban rigurosamente que el estado fundamental de la cadena de Heisenberg viene dado por Bethe ansatz. ^[19] Estudian propiedades y aplicaciones en ^[20] y. ^[21]
• 1967: CN Yang generaliza la solución de Lieb y Liniger del gas Bose que interactúa con la función δ a una simetría de permutación arbitraria de la función de onda, dando lugar al anidado Bethe ansatz. ^[22]
• 1968 Elliott H. Lieb y FY Wu resuelven el modelo 1d Hubbard. ^[23]
• 1969: CN Yang y CP Yang obtienen la termodinámica del modelo de Lieb-Liniger, ^[24] proporcionando la base de la termodinámica Bethe ansatz (TBA).

Referencias

1. Bethe, H. (marzo de 1931). "Zur Theorie der Metalle. I. Eigenwerte und Eigenfunktionen der linearen Atomkette". Zeitschrift für Physik . 71 (3–4): 205–226. doi : 10.1007 / BF01341708 . S2CID  124225487 .
2. Korepin, Vladimir E. (1982). "Cálculo de normas de funciones de onda de Bethe" . Comunicaciones en Física Matemática . 86 (3): 391–418. Código Bibliográfico : 1982CMaPh..86..391K . doi : 10.1007 / BF01212176 . ISSN 0010-3616 . S2CID 122250890 .  
3. Korepin, VE; Bogoliubov, NM; Izergin, AG (6 de marzo de 1997). Método de dispersión cuántica inversa y funciones de correlación . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521586467.
4. Wiegmann, PB (1980). "Solución exacta del modelo de intercambio sd en T = 0" (PDF) . Cartas JETP . 31 (7): 364.
5. Andrei, N. (1980). "Diagonalización del hamiltoniano de Kondo". Cartas de revisión física . 45 (5): 379–382. Código Bibliográfico : 1980PhRvL..45..379A . doi : 10.1103 / PhysRevLett.45.379 . ISSN 0031-9007 . 
6. Wiegmann, PB (1980). "Hacia una solución exacta del modelo de Anderson". Physics Letters A . 80 (2-3): 163-167. Código Bibliográfico : 1980PhLA ... 80..163W . doi : 10.1016 / 0375-9601 (80) 90212-1 . ISSN 0375-9601 . 
7. Kawakami, Norio; Okiji, Ayao (1981). "Expresión exacta de la energía del estado fundamental para el modelo simétrico de Anderson". Physics Letters A . 86 (9): 483–486. Código bibliográfico : 1981PhLA ... 86..483K . doi : 10.1016 / 0375-9601 (81) 90663-0 . ISSN 0375-9601 . 
8. Andrei, N .; Destri, C. (1984). "Solución del problema de Kondo multicanal". Cartas de revisión física . 52 (5): 364–367. Código Bibliográfico : 1984PhRvL..52..364A . doi : 10.1103 / PhysRevLett.52.364 . ISSN 0031-9007 . 
9. Bolech, CJ; Andrei, N. (2002). "Solución del modelo de impureza de Anderson de dos canales: implicaciones para el fermión pesado UBe13". Cartas de revisión física . 88 (23): 237206. arXiv : cond-mat / 0204392 . Código Bibliográfico : 2002PhRvL..88w7206B . doi : 10.1103 / PhysRevLett.88.237206 . ISSN 0031-9007 . PMID 12059396 . S2CID 15180985 .   
10. Heisenberg, W. (septiembre de 1928). "Zur Theorie des Ferromagnetismus". Zeitschrift für Physik . 49 (9-10): 619-636. Código Bibliográfico : 1928ZPhy ... 49..619H . doi : 10.1007 / BF01328601 . S2CID 122524239 . 
11. Bloch, F. (marzo de 1930). "Zur Theorie des Ferromagnetismus". Zeitschrift für Physik . 61 (3–4): 206–219. Código Bibliográfico : 1930ZPhy ... 61..206B . doi : 10.1007 / BF01339661 . S2CID 120459635 . 
12. Hulthén, Lamek (1938). "Über das Austauschproblem eines Kristalles". Arkiv Mat. Astron. Fysik . 26A : 1.
13. Orbach, R. (15 de octubre de 1958). "Cadena antiferromagnética lineal con acoplamiento anisotrópico". Revisión física . 112 (2): 309–316. Código bibliográfico : 1958PhRv..112..309O . doi : 10.1103 / PhysRev.112.309 .
14. des Cloizeaux, Jacques; Pearson, JJ (1 de diciembre de 1962). "Espectro de Spin-Wave de la cadena lineal antiferromagnética". Revisión física . 128 (5): 2131–2135. Código bibliográfico : 1962PhRv..128.2131D . doi : 10.1103 / PhysRev.128.2131 .
15. Anderson, PW (1 de junio de 1952). "Una teoría cuántica aproximada del estado fundamental antiferromagnético". Revisión física . 86 (5): 694–701. Código Bibliográfico : 1952PhRv ... 86..694A . doi : 10.1103 / PhysRev.86.694 .
16. Lieb, Elliott H .; Liniger, Werner (15 de mayo de 1963). "Análisis exacto de un gas Bose que interactúa. I. La solución general y el estado fundamental". Revisión física . 130 (4): 1605-1616. Código Bibliográfico : 1963PhRv..130.1605L . doi : 10.1103 / PhysRev.130.1605 .
17. Lieb, Elliott H. (15 de mayo de 1963). "Análisis exacto de un gas Bose que interactúa. II. El espectro de excitación". Revisión física . 130 (4): 1616–1624. Código bibliográfico : 1963PhRv..130.1616L . doi : 10.1103 / PhysRev.130.1616 .
18. Griffiths, Robert B. (3 de febrero de 1964). "Curva de magnetización a temperatura cero para la cadena lineal de Heisenberg antiferromagnética". Revisión física . 133 (3A): A768 – A775. Código bibliográfico : 1964PhRv..133..768G . doi : 10.1103 / PhysRev.133.A768 .
19. Yang, CN; Yang, CP (7 de octubre de 1966). "Cadena unidimensional de interacciones spin-spin anisotrópicas. I. Prueba de la hipótesis de Bethe para el estado fundamental en un sistema finito". Revisión física . 150 (1): 321–327. Código Bibliográfico : 1966PhRv..150..321Y . doi : 10.1103 / PhysRev.150.321 .
20. Yang, CN; Yang, CP (7 de octubre de 1966). "Cadena unidimensional de interacciones spin-spin anisotrópicas. II. Propiedades de la energía del estado fundamental por sitio de celosía para un sistema infinito". Revisión física . 150 (1): 327–339. Código bibliográfico : 1966PhRv..150..327Y . doi : 10.1103 / PhysRev.150.327 .
21. Yang, CN; Yang, CP (4 de noviembre de 1966). "Cadena unidimensional de interacciones spin-spin anisotrópicas. III. Aplicaciones". Revisión física . 151 (1): 258–264. Código bibliográfico : 1966PhRv..151..258Y . doi : 10.1103 / PhysRev.151.258 .
22. Yang, CN (4 de diciembre de 1967). "Algunos resultados exactos para el problema de muchos cuerpos en una dimensión con la interacción repulsiva delta-función" . Cartas de revisión física . 19 (23): 1312-1315. Código bibliográfico : 1967PhRvL..19.1312Y . doi : 10.1103 / PhysRevLett.19.1312 .
23. Lieb, Elliott H .; Wu, FY (17 de junio de 1968). "Ausencia de transición de Mott en una solución exacta del modelo de una banda de corto alcance en una dimensión". Cartas de revisión física . 20 (25): 1445-1448. Código Bibliográfico : 1968PhRvL..20.1445L . doi : 10.1103 / PhysRevLett.20.1445 .
24. Yang, CN; Yang, CP (julio de 1969). "Termodinámica de un sistema unidimensional de bosones con interacción repulsiva delta-función". Revista de Física Matemática . 10 (7): 1115–1122. Código bibliográfico : 1969JMP .... 10.1115Y . doi : 10.1063 / 1.1664947 .

enlaces externos

• Introducción al Bethe Ansatz