La fórmula de Bethe o la fórmula de Bethe-Bloch describe [1] la pérdida de energía media por distancia recorrida de partículas cargadas rápidas ( protones , partículas alfa , iones atómicos ) que atraviesan la materia (o alternativamente el poder de detención del material). Para los electrones, la pérdida de energía es ligeramente diferente debido a su pequeña masa (que requiere correcciones relativistas) y su indistinguibilidad , y dado que sufren pérdidas mucho mayores por Bremsstrahlung, se deben agregar términos para tener en cuenta esto. Las partículas cargadas rápidamente que se mueven a través de la materia interactúan con los electrones de los átomos en el material. La interacción excita o ioniza los átomos, lo que provoca una pérdida de energía de la partícula en movimiento.
La no-relativista versión fue encontrado por Hans Bethe en 1930; la versión relativista (que se muestra a continuación) fue encontrada por él en 1932. [2] La pérdida de energía más probable difiere de la pérdida de energía media y se describe mediante la distribución de Landau-Vavilov. [3]
La formula
Para una partícula con velocidad v , carga z (en múltiplos de la carga del electrón) y energía E , viajando una distancia x hacia un objetivo de densidad numérica de electrones n y potencial de excitación medio I , la versión relativista de la fórmula dice, en SI unidades: [2]
( 1 )
donde c es la velocidad de la luz y ε 0 la permitividad del vacío ,, e y m e la carga del electrón y la masa en reposo, respectivamente.
![Stopping Power of Aluminum for Protons versus proton energy, and the Bethe formula without (red) and with corrections (blue)](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/2/26/StoppingHinAlBethe.png/450px-StoppingHinAlBethe.png)
Aquí, la densidad electrónica del material se puede calcular mediante
donde ρ es la densidad del material, Z su número atómico , A su masa atómica relativa , N A el número de Avogadro y M u la constante de masa molar .
En la figura de la derecha, los círculos pequeños son resultados experimentales obtenidos a partir de mediciones de varios autores, mientras que la curva roja es la fórmula de Bethe. [4] Evidentemente, la teoría de Bethe concuerda muy bien con los experimentos a alta energía. El acuerdo es aún mejor cuando se aplican correcciones (ver más abajo).
Para bajas energías, es decir, para pequeñas velocidades de la partícula β << 1, la fórmula de Bethe se reduce a
( 2 )
Esto se puede ver reemplazando primero βc por v en la ecuación. (1) y luego descuidando β 2 debido a su pequeño tamaño.
A baja energía, la pérdida de energía según la fórmula de Bethe, por lo tanto, disminuye aproximadamente como v −2 con el aumento de energía. Alcanza un mínimo para aproximadamente E = 3 Mc 2 , donde M es la masa de la partícula (para los protones, esto sería aproximadamente a 3000 MeV). Para casos altamente relativistas β ≈ 1, la pérdida de energía aumenta nuevamente, logarítmicamente debido a la componente transversal del campo eléctrico.
El potencial de excitación medio
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/7/79/Mean_Excitation_Potential.png/220px-Mean_Excitation_Potential.png)
En la teoría de Bethe, el material está completamente descrita por un solo número, el potencial de excitación media I . En 1933, Felix Bloch demostró que el potencial de ionización medio de los átomos está dado aproximadamente por
( 3 )
donde Z es el número atómico de los átomos del material. Si se introduce esta aproximación en la fórmula ( 1 ) anterior, se obtiene una expresión que a menudo se denomina fórmula de Bethe-Bloch . Pero dado que ahora tenemos tablas precisas de I en función de Z (ver más abajo), el uso de dicha tabla producirá mejores resultados que el uso de la fórmula ( 3 ).
La figura muestra valores normalizados de I , tomados de una tabla. [5] Los picos y valles en esta figura conducen a los correspondientes valles y picos en la potencia de frenado. Estos se denominan " oscilaciones Z 2 " o " estructura Z 2 " (donde Z 2 = Z significa el número atómico del objetivo).
Correcciones a la fórmula de Bethe
La fórmula de Bethe solo es válida para energías lo suficientemente altas como para que la partícula atómica cargada (el ion ) no lleve ningún electrón atómico consigo. A energías más pequeñas, cuando el ion transporta electrones, esto reduce su carga de manera efectiva y, por lo tanto, se reduce la potencia de frenado. Pero incluso si el átomo está completamente ionizado, son necesarias correcciones.
Bethe encontró su fórmula usando la teoría de la perturbación mecánica cuántica . Por tanto, su resultado es proporcional al cuadrado de la carga z de la partícula. La descripción se puede mejorar considerando las correcciones que corresponden a potencias superiores de z . Estos son: el efecto Barkas-Andersen (proporcional a z 3 , según Walter H. Barkas y Hans Henrik Andersen ), y la corrección de Bloch (proporcional a z 4 ). Además, hay que tener en cuenta que los electrones atómicos del material atravesado no son estacionarios (" corrección de capa ").
Las correcciones mencionadas se han incorporado a los programas PSTAR y ASTAR, por ejemplo, mediante los cuales se puede calcular la potencia de frenado de protones y partículas alfa. [6] Las correcciones son grandes a baja energía y se vuelven cada vez más pequeñas a medida que aumenta la energía.
A energías muy altas, también debe agregarse la corrección de densidad de Fermi [5] .
Ver también
Referencias
- ^ H. Bethe und J. Ashkin en "Experimental Nuclear Physics, ed. E. Segré, J. Wiley, Nueva York, 1953, p. 253"
- ^ a b Sigmund, Peter Penetración de partículas y efectos de radiación. Serie Springer en Ciencias del Estado Sólido, 151. Berlín Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 3-540-31713-9 (2006)
- ^ Bichsel, Hans (1 de julio de 1988). "Rezagados en detectores de silicio fino". Reseñas de Física Moderna . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 60 (3): 663–699. doi : 10.1103 / revmodphys.60.663 . ISSN 0034-6861 .
- ^ "Poder de frenado para iones ligeros y pesados" . 2015-04-15 . Consultado el 1 de noviembre de 2015 .
- ^ a b Informe 49 de la Comisión Internacional de Unidades y Medidas de Radiación, "Potencias de detención y rangos de protones y partículas alfa", Bethesda, MD, Estados Unidos (1993)
- ^ NIST IR 4999, tablas de rango y potencia de frenado
enlaces externos
- La función Straggling. Distribución de pérdida de energía de partículas cargadas
- Publicación original: Zur Theorie des Durchgangs schneller Korpuskularstrahlen durch Materie in "Annalen der Physik", vol. 397 (1930) 325 -400
- Paso de partículas cargadas a través de la materia, con gráfico.
- Poder de frenado para protones y partículas alfa
- Detención de gráficos y datos de energía