Categoría monoide cerrada
En matemáticas , especialmente en la teoría de categorías , una categoría monoidal cerrada (o una categoría cerrada monoidal ) es una categoría que es a la vez una categoría monoidal y una categoría cerrada de tal manera que las estructuras son compatibles.
Un ejemplo clásico es la categoría de conjuntos , Set , donde el producto monoidal de conjuntos y es el producto cartesiano habitual , y el Hom interno es el conjunto de funciones de a . Un ejemplo no cartesiano es la categoría de espacios vectoriales , K -Vect , sobre un campo . Aquí, el producto monoide es el producto tensorial habitual de los espacios vectoriales , y el Hom interno es el espacio vectorial de aplicaciones lineales de un espacio vectorial a otro.
El lenguaje interno de las categorías monoidales simétricas cerradas es la lógica lineal y el sistema de tipos es el sistema de tipos lineal . Muchos ejemplos de categorías monoidales cerradas son simétricas . Sin embargo, este no tiene por qué ser siempre el caso, ya que se pueden encontrar categorías monoidales no simétricas en formulaciones lingüísticas de teoría de categorías ; en términos generales, esto se debe a que el orden de las palabras en el lenguaje natural es importante.
Una categoría monoidal cerrada es una categoría monoidal tal que para cada objeto el funtor dado por tensor derecho con
que es natural tanto en A como en C. En una notación diferente, pero común, se diría que el funtor
De manera equivalente, una categoría monoidal cerrada es una categoría equipada, para cada dos objetos A y B , con