biholomorfismo
En la teoría matemática de funciones de una o más variables complejas , y también en geometría algebraica compleja , un biholomorfismo o función biholomórfica es una función holomorfa biyectiva cuya inversa también es holomorfa .
Formalmente, una función biholomórfica es una función definida en un subconjunto abierto U del espacio complejo -dimensional C n con valores en C n que es holomorfo y uno a uno , tal que su imagen es un conjunto abierto en C n y el el inverso también es holomorfo . De manera más general, U y V pueden ser variedades complejas . Como en el caso de las funciones de una sola variable compleja, una condición suficiente para que una función holomorfa sea biholomorfa en su imagen es que la función sea inyectiva, en cuyo caso la inversa también es holomorfa (por ejemplo, véase Gunning 1990, Teorema I. 11).
Si existe un biholomorfismo , decimos que U y V son biholomorfamente equivalentes o que son biholomorfas .
Si todo conjunto abierto simplemente conectado que no sea todo el plano complejo es biholomorfo al disco unitario (este es el teorema de mapeo de Riemann ). La situación es muy diferente en dimensiones superiores. Por ejemplo, las bolas de unidad abierta y los polidiscos de unidad abierta no son biholomórficamente equivalentes porque , de hecho, no existe ni siquiera una función holomorfa adecuada de uno a otro.
En el caso de mapas f : U → C definidos en un subconjunto abierto U del plano complejo C , algunos autores (p. ej., Freitag 2009, Definición IV.4.1) definen un mapa conforme como un mapa inyectivo con derivada distinta de cero, es decir, f '( z )≠ 0 para cada z en U . Según esta definición, una aplicación f : U → C es conforme si y solo si f : U → f ( U) es biholomorfa. Otros autores (p. ej., Conway 1978) definen un mapa conforme como uno con derivada distinta de cero, sin requerir que el mapa sea inyectivo. De acuerdo con esta definición más débil de conformidad, un mapa conforme no necesita ser biholomórfico aunque sea localmente biholomórfico. Por ejemplo, si f : U → U está definida por f ( z ) = z 2 con U = C –{0}, entonces f es conforme en U , ya que su derivada f '( z ) = 2 z ≠ 0, pero no es biholomórfico, ya que es 2-1.
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