En matemáticas , en el área del análisis estadístico , el bispectro es una estadística que se utiliza para buscar interacciones no lineales.
Definiciones
La transformada de Fourier del acumulador de segundo orden , es decir, la función de autocorrelación , es el espectro de potencia tradicional .
La transformada de Fourier de C 3 ( t 1 , t 2 ) ( función generadora de acumuladores de tercer orden ) se denomina bispectro o densidad biespectral .
Cálculo
La aplicación del teorema de convolución permite un cálculo rápido del bispectro:, dónde denota la transformada de Fourier de la señal, y su conjugado.
Aplicaciones
El bispectro y la bicoherencia pueden aplicarse al caso de interacciones no lineales de un espectro continuo de ondas que se propagan en una dimensión. [1]
Se han realizado mediciones biespectrales para la monitorización de señales EEG . [2] También se demostró que los bispectra caracterizan las diferencias entre familias de instrumentos musicales. [3]
En sismología , las señales rara vez tienen una duración adecuada para realizar estimaciones biespectrales sensibles a partir de promedios de tiempo. [ cita requerida ]
El análisis biespectral describe las observaciones realizadas en dos longitudes de onda. Los científicos lo utilizan a menudo para analizar la composición elemental de una atmósfera planetaria mediante el análisis de la cantidad de luz reflejada y recibida a través de varios filtros de color . Combinando y eliminando dos filtros, se puede extraer mucho de solo dos filtros. A través de la interpolación computarizada moderna , se puede crear un tercer filtro virtual para recrear fotografías en color verdadero que, aunque no son particularmente útiles para el análisis científico, son populares para su exhibición pública en libros de texto y campañas de recaudación de fondos. [ cita requerida ]
El análisis biespectral también se puede utilizar para analizar las interacciones entre los patrones de las olas y las mareas en la Tierra. [4]
Una forma de análisis biespectral llamada índice biespectral se aplica a las formas de onda del EEG para controlar la profundidad de la anestesia. [5]
La bifase (fase de poliespectro) se puede utilizar para la detección de acoplamientos de fase, [6] reducción de ruido del análisis de señales polharmónicas (en particular, habla [7] ).
Generalizaciones
Los bispectra entran en la categoría de espectros de orden superior , o poliespectra, y proporcionan información complementaria al espectro de potencia. El polispectro de tercer orden (bispectro) es el más fácil de calcular y, por tanto, el más popular.
Una estadística definida de forma análoga es la coherencia biespectral o bicoherencia .
Trispectro
La transformada de Fourier de C4 (t1, t2, t3) (función generadora de acumuladores de cuarto orden) se llama triespectro o densidad triespectral .
El triespectro T (f1, f2, f3) entra en la categoría de espectros de orden superior, o poliespectos , y proporciona información complementaria al espectro de potencia. El triespectro es una construcción tridimensional. Las simetrías del triespectro permiten definir un conjunto de soportes muy reducido, contenido dentro de los siguientes vértices, donde 1 es la frecuencia de Nyquist . (0,0,0) (1 / 2,1 / 2, -1 / 2) (1 / 3,1 / 3,0) (1 / 2,0,0) (1 / 4,1 / 4, 1/4). El plano que contiene los puntos (1 / 6,1 / 6,1 / 6) (1 / 4,1 / 4,0) (1 / 2,0,0) divide este volumen en una zona interior y otra exterior. Una señal estacionaria tendrá fuerza cero (estadísticamente) en la región exterior. El soporte triespectro se divide en regiones por el plano identificado anteriormente y por el plano (f1, f2). Cada región tiene diferentes requisitos en términos del ancho de banda de la señal requerida para valores distintos de cero.
De la misma manera que el bispectro identifica las contribuciones a la asimetría de una señal en función de los triples de frecuencia, el triespectro identifica las contribuciones a la curtosis de una señal en función de los cuatrillizos de frecuencia.
El triespectro se ha utilizado para investigar los dominios de aplicabilidad de la estimación de fase de curtosis máxima utilizada en la deconvolución de datos sísmicos para encontrar la estructura de capas.
Referencias
- ^ Greb U, Rusbridge MG (1988). "La interpretación del bispectro y bicoherencia para interacciones no lineales de espectros continuos". Plasma Phys. Control. Fusion . 30 (5): 537–49. Código bibliográfico : 1988PPCF ... 30..537G . doi : 10.1088 / 0741-3335 / 30/5/005 .
- ^ Johansen JW, Sebel PS (noviembre de 2000). "Desarrollo y aplicación clínica de la monitorización de bispectro electroencefalográfico". Anestesiología . 93 (5): 1336–44. doi : 10.1097 / 00000542-200011000-00029 . PMID 11046224 .
- ^ Dubnov S, Tishby N y Cohen D. (1997). "Poliespectrales como medidas de textura y timbre del sonido". Revista de investigación sobre música nueva . 26 (4): 277–314. doi : 10.1080 / 09298219708570732 .
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- ^ Mathur, Surbhi; Patel, Jashvin; Goldstein, Sheldon; Jain, Ankit (2021), "Bispectral Index" , StatPearls , Treasure Island (FL): StatPearls Publishing, PMID 30969631 , consultado el 8 de abril de 2021
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( ayuda ) - ^ Nemer, Elias J. (1999). "Análisis de voz y mejora de la calidad utilizando acumuladores de orden superior". Ottawa: Instituto Ottawa-Carleton de Ingeniería Eléctrica e Informática. Cite journal requiere
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( ayuda )
- Mendel JM (1991). "Tutorial sobre estadística de orden superior (espectros) en procesamiento de señales y teoría de sistemas: resultados teóricos y algunas aplicaciones". Proc. IEEE . 79 (3): 278-305. doi : 10.1109 / 5.75086 .
- HOSA - Caja de herramientas de análisis espectral de orden superior : Una caja de herramientas de MATLAB para análisis espectral y poliespectral, y distribuciones de tiempo-frecuencia. La documentación explica los poliespectrales con gran detalle.