En física , y específicamente en la teoría cuántica de campos , un bispinor es una construcción matemática que se utiliza para describir algunas de las partículas fundamentales de la naturaleza , incluidos los quarks y los electrones . Es una encarnación específica de un espino , construido específicamente para que sea consistente con los requisitos de la relatividad especial . Los bispinors se transforman de una manera "espinorial" bajo la acción del grupo de Lorentz , que describe las simetrías del espacio-tiempo de Minkowski . Ocurren en la función relativista de espín ½ onda.soluciones de la ecuación de Dirac .
Los bispinos se denominan así porque se construyen a partir de dos espinores componentes más simples, los espinores de Weyl . Cada uno de los dos espinores componentes de transformada de manera diferente en los dos distintos complejos conjugados spin-1/2 representaciones del grupo de Lorentz. Este emparejamiento es de fundamental importancia, ya que permite que la partícula representada tenga una masa , lleve una carga y represente el flujo de carga como una corriente , y quizás lo más importante, que lleve el momento angular . Más precisamente, la masa es un invariante de Casimir del grupo de Lorentz (un estado propio de la energía), mientras que la combinación de vectores lleva el momento y la corriente, siendo covariante bajo la acción del grupo de Lorentz. El momento angular es transportado por el vector de Poynting , construido adecuadamente para el campo de espín. [1]
Un bispinor es más o menos "lo mismo" que un spinor de Dirac . La convención utilizada aquí es que el artículo sobre el espinor de Dirac presenta soluciones de onda plana a la ecuación de Dirac utilizando la convención de Dirac para las matrices gamma . Es decir, el spinor de Dirac es un bispinor en la convención de Dirac. Por el contrario, el artículo siguiente se concentra principalmente en Weyl, o representación quiral, está menos enfocado en la ecuación de Dirac y más enfocado en la estructura geométrica, incluida la geometría del grupo de Lorentz . Por tanto, mucho de lo que se dice a continuación se puede aplicar a la ecuación de Majorana .
Definición
Los bispinos son elementos de un espacio vectorial complejo de 4 dimensiones (½, 0) ⊕ (0, ½) representación del grupo de Lorentz . [2]
En la base de Weyl , un bispinor
consta de dos espinores Weyl (dos componentes) y que transforman, correspondientemente, bajo (½, 0) y (0, ½) representaciones de la grupo (el grupo de Lorentz sin transformaciones de paridad ). Bajo la transformación de paridad, los espinores de Weyl se transforman entre sí.
El bispinor de Dirac está conectado con el bispinor de Weyl por una transformación unitaria a la base de Dirac ,
La base de Dirac es la más utilizada en la literatura.
Expresiones para transformaciones de Lorentz de bispinores
Un campo de bispinor se transforma de acuerdo con la regla
dónde es una transformación de Lorentz . Aquí las coordenadas de los puntos físicos se transforman según, tiempo , una matriz, es un elemento de la representación de espinor (para espín 1/2 ) del grupo de Lorentz.
En la base de Weyl, matrices de transformación explícitas para un impulso y para una rotacion son los siguientes: [3]
Aquí es el parámetro boost, y representa la rotación alrededor del eje. son las matrices de Pauli . El exponencial es el mapa exponencial , en este caso la matriz exponencial definida al poner la matriz en la serie de potencia habitual para la función exponencial.
Propiedades
Una forma bilineal de bispinors se puede reducir a cinco objetos irreducibles (bajo el grupo de Lorentz):
- escalar , ;
- pseudoescalar , ;
- vector , ;
- pseudo-vector , ;
- tensor antisimétrico , ,
dónde y son las matrices gamma . Estas cinco cantidades están interrelacionadas por las identidades de Fierz . Sus valores se utilizan en la clasificación de campos de espinores de Lounesto de los diferentes tipos de espinores, de los cuales el bispinor es solo uno; los otros son el asta de la bandera (del cual el espinor de Majorana es un caso especial), el dipolo-bandera y el espinor de Weyl . El asta de la bandera, el dipolo de la bandera y los espinores de Weyl tienen masa nula y campos pseudoescalares; el asta de la bandera tiene además un campo de pseudovector nulo, mientras que los espinores de Weyl tienen un tensor antisimétrico nulo (un "campo de momento angular" nulo).
A partir de estos se puede construir un lagrangiano adecuado para el campo de espín ½ relativista, y se da como
La ecuación de Dirac se puede derivar de este lagrangiano utilizando la ecuación de Euler-Lagrange .
Derivación de una representación bispinor
Introducción
Este esquema describe un tipo de bispinores como elementos de un espacio de representación particular de la representación (½, 0) ⊕ (0, ½) del grupo de Lorentz. Este espacio de representación está relacionado, pero no es idéntico, al espacio de representación (½, 0) ⊕ (0, ½) contenido en el álgebra de Clifford sobre el espacio-tiempo de Minkowski como se describe en el artículo Spinors . El lenguaje y la terminología se utilizan como en la teoría de la representación del grupo de Lorentz . La única propiedad de las álgebras de Clifford que es esencial para la presentación es la propiedad definitoria dada en D1 a continuación. Los elementos básicos de so (3; 1) se denominan M μν .
Una representación del álgebra de Lie así (3; 1) del grupo de Lorentz O (3; 1) surgirá entre las matrices que serán elegidas como base (como un espacio vectorial) del álgebra de Clifford compleja sobre el espacio-tiempo. Estas matrices de 4 × 4 luego se exponencian dando una representación de SO (3; 1) + . Esta representación, que resulta ser un (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) , actuará sobre un espacio vectorial complejo arbitrario de 4 dimensiones, que simplemente se tomará como C 4 , y sus elementos serán bispinos.
Como referencia, las relaciones de conmutación de so (3; 1) son
( M1 )
con la métrica del espacio-tiempo η = diag (−1,1,1,1) .
Las matrices gamma
Dejemos que γ μ denote un conjunto de cuatro matrices gamma de 4 dimensiones, aquí llamadas matrices de Dirac . Las matrices de Dirac satisfacen
- [4]
( D1 )
donde {,} es el anticonmutador , I 4 es una matriz unitaria de 4 × 4 y η μν es la métrica del espacio-tiempo con firma (+, -, -, -). Ésta es la condición definitoria para un conjunto generador de un álgebra de Clifford . Otros elementos básicos σ μν del álgebra de Clifford están dados por
- [5]
( C1 )
Solo seis de las matrices σ μν son linealmente independientes. Esto se deriva directamente de su definición, ya que σ μν = - σ νμ . Actúan sobre el subespacio V γ el γ μ span en sentido pasivo , según
- [6]
( C2 )
En (C2) , la segunda igualdad se sigue de la propiedad (D1) del álgebra de Clifford.
Incrustación de álgebra de mentiras de so (3; 1) en C ℓ 4 (C)
Ahora definir una acción de tan (3; 1) en la sigma μν , y el subespacio lineal V sigma ⊂ C ℓ 4 ( C ) que se extienden en C ℓ 4 ( C ) ≈ M n C , dado por
- .
( C4 )
La última igualdad en (C4) , que se sigue de (C2) y la propiedad (D1) de las matrices gamma, muestra que σ μν constituyen una representación de so (3; 1) ya que las relaciones de conmutación en (C4) son exactamente los de tal (3; 1) . La acción de π (M μν ) puede considerarse como matrices de seis dimensiones Σ μν multiplicando los vectores base σ μν , ya que el espacio en M n ( C ) generado por σ μν es de seis dimensiones, o puede pensarse en como la acción por conmutación de σ ρσ . En lo siguiente, π (M μν ) = σ μν
La gamma mu y la sigma μν son ambos (disjuntos) subconjuntos de los elementos de la base de C ℓ 4 ( C ), generados por el de cuatro dimensiones Dirac matrices gamma mu en cuatro dimensiones espacio-tiempo. Por lo tanto, el álgebra de Lie de so (3; 1) está incrustado en C ℓ 4 ( C ) por π como el subespacio real de C ℓ 4 ( C ) generado por σ μν . Para obtener una descripción completa de los elementos básicos restantes distintos de γ μ y σ μν del álgebra de Clifford, consulte el artículo Álgebra de Dirac .
Bispinors introducidos
Ahora introduzca cualquier espacio vectorial complejo de 4 dimensiones U donde γ μ actúe por multiplicación de matrices. Aquí U = C 4 funcionará bien. Sea Λ = e ω μν M μν una transformación de Lorentz y defina la acción del grupo de Lorentz en U como
Dado que σ μν según (C4) constituyen una representación de so (3; 1) , el mapa inducido
( C5 )
según la teoría general es una representación o una representación proyectiva de SO (3; 1) + . Resultará ser una representación proyectiva. Los elementos de U , cuando están dotados de la regla de transformación dada por S , se denominan bispinores o simplemente espinores .
Una selección de matrices de Dirac
Queda por elegir un conjunto de Dirac matrices gamma mu con el fin de obtener la representación de giro S . Una de esas opciones, apropiada para el límite ultrarelativista , es
- [7]
( E1 )
donde σ i son las matrices de Pauli . En esta representación de los generadores de álgebra de Clifford, σ μν se convierte en
- [8]
( E23 )
Esta representación es manifiestamente no irreductible, ya que las matrices son todas diagonales de bloque . Pero por la irreductibilidad de las matrices de Pauli, la representación no puede reducirse más. Dado que es de 4 dimensiones, la única posibilidad es que sea un ( 1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) representación, es decir, una representación bispinor. Ahora usando la receta de exponenciación de la representación del álgebra de Lie para obtener una representación de SO (3; 1) + ,
( E3 )
Se obtiene una representación proyectiva de 2 valores. Aquí φ es un vector de parámetros de rotación con 0 ≤ φ i ≤ 2π , y χ es un vector de parámetros de refuerzo . Con las convenciones utilizadas aquí se puede escribir
( E4 )
para un campo bispinor. Aquí, el componente superior corresponde a un espinor de Weyl derecho . Para incluir la inversión de la paridad espacial en este formalismo, uno establece
- [9]
( E5 )
como representativo de P = diag (1, −1, −1, −1) . Se ve que la representación es irreductible cuando se incluye la inversión de paridad espacial.
Un ejemplo
Sea X = 2 πM 12 para que X genere una rotación alrededor del eje z en un ángulo de 2 π . Entonces Λ = e iX = I ∈ SO (3; 1) + pero e iπ ( X ) = - I ∈ GL ( U ) . Aquí, I denota el elemento de identidad. Si se elige X = 0 , entonces todavía still = e iX = I ∈ SO (3; 1) + , pero ahora e iπ ( X ) = I ∈ GL ( U ) .
Esto ilustra la naturaleza de doble valor de una representación de espín. La identidad en SO (3; 1) + se mapea en - I ∈ GL ( U ) o I ∈ GL ( U ) dependiendo de la elección del elemento de álgebra de Lie para representarlo. En el primer caso, se puede especular que una rotación de un ángulo 2π convertirá un bispinor en menos él mismo, y que se requiere una rotación de 4 π para rotar un bispinor de vuelta a sí mismo. Lo que realmente sucede es que la identidad de SO (3; 1) + se asigna a - I en GL ( T ) con una desafortunada elección de X .
Es imposible elegir continuamente X para todo g ∈ SO (3; 1) + de modo que S sea una representación continua. Suponga que se define S a lo largo de un bucle en SO (3; 1) tal que X ( t ) = 2 πtM 12 , 0 ≤ t ≤ 1 . Este es un ciclo cerrado en SO (3; 1) , es decir, rotaciones que van de 0 a 2 π alrededor del eje z bajo el mapeo exponencial, pero es sólo "la mitad" "de un ciclo en GL ( U ) , que termina en - I. Además, el valor de I ∈ SO (3; 1) es ambiguo, ya que t = 0 y t = 2 π dan valores diferentes para I ∈ SO (3; 1) .
El álgebra de Dirac
La representación S en bispinors inducirá una representación de SO (3; 1) + en End ( U ) , el conjunto de los operadores lineales en U . Este espacio corresponde al álgebra de Clifford en sí, de modo que todos los operadores lineales en U son elementos de este último. Esta representación, y cómo se descompone como una suma directa de SO (3; 1) + representaciones irreductibles , se describe en el artículo sobre álgebra de Dirac . Una de las consecuencias es la descomposición de las formas bilineales en T × T . Esta descomposición sugiere cómo acoplar cualquier campo bispinor con otros campos en un lagrangiano para producir escalares de Lorentz .
Bispinors y el álgebra de Dirac
Las matrices de Dirac son un conjunto de cuatro matrices de 4 × 4 que forman el álgebra de Dirac , y se utilizan para entrelazar la dirección de giro con el marco de referencia local (el marco de coordenadas local del espacio-tiempo), así como para definir la carga ( simetría C ). , operadores de paridad e inversión de tiempo .
Convenciones
Hay varias opciones de firma y representación que son de uso común en la literatura de física. Las matrices de Dirac se escriben típicamente como dónde va de 0 a 3. En esta notación, 0 corresponde al tiempo y del 1 al 3 corresponden ax, y y z.
La firma + - - - a veces se denomina métrica de la costa oeste , mientras que - + + + es la métrica de la costa este . En este momento, la firma + - - - es de uso más común, y nuestro ejemplo usará esta firma. Para pasar de un ejemplo a otro, multiplique todo por .
Después de elegir la firma, hay muchas formas de construir una representación en las matrices 4 × 4, y muchas son de uso común. Para que este ejemplo sea lo más general posible, no especificaremos una representación hasta el paso final. En ese momento lo sustituiremos en la representación "quiral" o de Weyl .
Construcción del espinor de Dirac con una dirección de giro y una carga dadas
Primero elegimos una dirección de giro para nuestro electrón o positrón. Como en el ejemplo del álgebra de Pauli discutido anteriormente, la dirección de giro está definida por un vector unitario en 3 dimensiones, (a, b, c). Siguiendo la convención de Peskin & Schroeder, el operador de giro para el giro en la dirección (a, b, c) se define como el producto escalar de (a, b, c) con el vector
Tenga en cuenta que lo anterior es una raíz de unidad , es decir, cuadra a 1. En consecuencia, podemos hacer un operador de proyección a partir de él que proyecte la subálgebra del álgebra de Dirac que tiene espín orientado en (a, b, c) dirección:
Ahora debemos elegir una carga, +1 (positrón) o -1 (electrón). Siguiendo las convenciones de Peskin & Schroeder, el operador a cargo es, es decir, los estados de electrones tomarán un valor propio de -1 con respecto a este operador, mientras que los estados de positrones tomarán un valor propio de +1.
Tenga en cuenta que también es una raíz cuadrada de la unidad. Además, viaja con . Forman un conjunto completo de operadores de conmutación para el álgebra de Dirac . Continuando con nuestro ejemplo, buscamos una representación de un electrón con espín en la dirección (a, b, c). Torneado en un operador de proyección para charge = −1, tenemos
El operador de proyección para el espinor que buscamos es, por tanto, el producto de los dos operadores de proyección que hemos encontrado:
El operador de proyección anterior, cuando se aplica a cualquier espinor, dará la parte del espinor que corresponde al estado del electrón que buscamos. Entonces podemos aplicarlo a un espinor con el valor 1 en uno de sus componentes y 0 en los demás, lo que da una columna de la matriz. Continuando con el ejemplo, ponemos (a, b, c) = (0, 0, 1) y tenemos
por lo que nuestro operador de proyección deseado es
Las matrices gamma 4 × 4 utilizadas en la representación de Weyl son
para k = 1, 2, 3 y donde son las matrices de Pauli 2 × 2 habituales . Sustituyendo estos por P da
Nuestra respuesta es cualquier columna distinta de cero de la matriz anterior. La división por dos es solo una normalización. La primera y tercera columnas dan el mismo resultado:
De manera más general, para electrones y positrones con espín orientado en la dirección (a, b, c), el operador de proyección es
donde los signos superiores son para el electrón y los signos inferiores para el positrón. El espinor correspondiente se puede tomar como cualquier columna distinta de cero. Desdelas diferentes columnas son múltiplos del mismo espinor. La representación del espinor resultante en la base de Dirac se puede obtener utilizando la regla dada en el artículo de bispinor .
Ver también
- Espinor de Dirac
- Spin (3,1) , la doble cobertura de SO (3,1) por un grupo de spin
- Ecuación de Rarita-Schwinger
Notas
- ^ Hans C. Ohanian (1986) "¿Qué es el giro?" Revista estadounidense de física . 54 , página 500. doi: 10.1119 / 1.14580
- ^ Caban y Rembieliński , 2005 , p. 2
- ^ David Tong, Conferencias sobre teoría cuántica de campos (2012), Conferencia 4
- ^ Weinberg 2002 , Ecuación 5.4.5
- ^ Weinberg 2002 , Ecuación 5.4.6
- ^ Weinberg 2002 , Ecuación 5.4.7
- ^ Weinberg 2002 , Ecuaciones (5.4.17)
- ^ Weinberg 2002 , ecuaciones (5.4.19) y (5.4.20)
- ^ Weinberg 2002 , Ecuación (5.4.13)
Referencias
- Caban, Paweł; Rembieliński, Jakub (5 de julio de 2005). "Matriz de densidad de espín reducida covariante de Lorentz y correlaciones de Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm". Physical Review A . 72 (1): 012103. arXiv : quant-ph / 0507056v1 . Código bibliográfico : 2005PhRvA..72a2103C . doi : 10.1103 / physreva.72.012103 . S2CID 119105796 .
- Weinberg, S (2002), La teoría cuántica de los campos, vol I , ISBN 0-521-55001-7.