En matemáticas , la compactación de Bohr de un grupo topológico G es un compacto Hausdorff topológico grupo H que pueden ser canónicamente asociado a G . Su importancia reside en la reducción de la teoría de funciones uniformemente casi periódicas sobre G a la teoría de funciones continuas en H . El concepto lleva el nombre de Harald Bohr, quien fue pionero en el estudio de funciones casi periódicas , en la línea real .
Definiciones y propiedades básicas
Dado un grupo topológico G , la compactificación de Bohr de G es un grupo topológico de Hausdorff compacto Bohr ( G ) y un homomorfismo continuo
- b : G → Bohr ( G )
que es universal con respecto a los homomorfismos en grupos compactos de Hausdorff; esto significa que si K es otro grupo topológico compacto de Hausdorff y
- f : G → K
es un homomorfismo continuo, entonces hay un homomorfismo continuo único
- Bohr ( f ): Bohr ( G ) → K
tal que f = Bohr ( f ) ∘ b .
Teorema . La compactación de Bohr existe [ cita requerida ] y es única hasta el isomorfismo.
Denotaremos la compactación de Bohr de G por Bohr ( G ) y el mapa canónico por
La correspondencia G ↦ Bohr ( G ) define un functor covariante en la categoría de grupos topológicos y homomorfismos continuos.
La compactificación de Bohr está íntimamente relacionada con la teoría de la representación unitaria de dimensión finita de un grupo topológico. El núcleo de b consiste exactamente en aquellos elementos de G que no pueden separarse de la identidad de G por representaciones unitarias de dimensión finita .
La compactación de Bohr también reduce muchos problemas en la teoría de funciones casi periódicas en grupos topológicos al de funciones en grupos compactos.
Una función f continua acotada de valores complejos en un grupo topológico G es uniformemente casi periódica si y solo si el conjunto de la derecha traduce g f donde
es relativamente compacto en la topología uniforme como g varía a través de G .
Teorema . Una función continua acotada de valores complejos f en G es uniformemente casi periódica si y solo si hay una función continua f 1 en Bohr ( G ) (que está determinada de forma única) tal que
Grupos máximamente casi periódicos
Los grupos topológicos para los que el mapeo de compactación de Bohr es inyectivo se denominan de forma máxima casi periódica (o grupos MAP). En el caso de que G sea un grupo conectado localmente compacto, los grupos MAP están completamente caracterizados: son precisamente productos de grupos compactos con grupos vectoriales de dimensión finita.
Ver también
- Espacio compacto : nociones topológicas de que todos los puntos están "cercanos"
- Compactificación (matemáticas) : incrustación de un espacio topológico en un espacio compacto como un subconjunto denso
- Conjunto puntiagudo
- Compactación Stone – Čech
- Compactación de Wallman
Referencias
- "Compactación de Bohr" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]