En matemáticas , una función casi periódica es, en términos generales, una función de un número real que es periódica dentro de cualquier nivel deseado de precisión, dados "casi períodos" adecuadamente largos y bien distribuidos. El concepto fue estudiado por primera vez por Harald Bohr y luego generalizado por Vyacheslav Stepanov , Hermann Weyl y Abram Samoilovitch Besicovitch , entre otros. También existe una noción de funciones casi periódicas en grupos abelianos localmente compactos , estudiada por primera vez por John von Neumann .
La casi periodicidad es una propiedad de los sistemas dinámicos que parecen volver sobre sus caminos a través del espacio de fase , pero no exactamente. Un ejemplo sería un sistema planetario , con planetas en órbitas que se mueven con períodos que no son conmensurables (es decir, con un vector de período que no es proporcional a un vector de números enteros ). Un teorema de Kronecker de aproximación diofánticase puede usar para mostrar que cualquier configuración particular que ocurra una vez, se repetirá dentro de una precisión específica: si esperamos lo suficiente, podemos observar que todos los planetas regresan dentro de un segundo de arco a las posiciones en las que alguna vez estuvieron.
Hay varias definiciones no equivalentes de funciones casi periódicas. El primero lo dio Harald Bohr . Su interés se centró inicialmente en las series finitas de Dirichlet . De hecho, al truncar la serie de la función zeta de Riemann ζ ( s ) para hacerla finita, se obtienen sumas finitas de términos del tipo
con s escrito como ( σ + it ) – la suma de su parte real σ y su parte imaginaria it . Fijando σ , por lo que restringiendo la atención a una sola línea vertical en el plano complejo, podemos ver esto también como
Con esta motivación inicial de considerar tipos de polinomios trigonométricos con frecuencias independientes, se aplicó el análisis matemático para discutir el cierre de este conjunto de funciones básicas, en diversas normas .
La teoría fue desarrollada utilizando otras normas por Besicovitch , Stepanov , Weyl , von Neumann , Turing , Bochner y otros en las décadas de 1920 y 1930.