En matemáticas , una función casi periódica es, hablando en términos generales, una función de un número real que es periódica dentro de cualquier nivel deseado de precisión, dados "casi-períodos" adecuadamente largos y bien distribuidos. El concepto fue estudiado primero por Harald Bohr y luego generalizado por Vyacheslav Stepanov , Hermann Weyl y Abram Samoilovitch Besicovitch , entre otros. También existe una noción de funciones casi periódicas en grupos abelianos localmente compactos , estudiada por primera vez por John von Neumann .
Casi la periodicidad es una propiedad de los sistemas dinámicos que parecen volver sobre sus caminos a través del espacio de fase , pero no exactamente. Un ejemplo sería un sistema planetario , con planetas en órbitas que se mueven con períodos que no son conmensurables (es decir, con un vector de período que no es proporcional a un vector de números enteros ). Se puede usar un teorema de Kronecker de aproximación diofántica para mostrar que cualquier configuración particular que ocurra una vez, recurrirá dentro de cualquier precisión especificada: si esperamos lo suficiente, podemos observar que todos los planetas regresan dentro de un segundo de arco a las posiciones en las que se encuentran. una vez estuvimos en.
Motivación
Hay varias definiciones no equivalentes de funciones casi periódicas. El primero lo dio Harald Bohr . Inicialmente, su interés estaba en las series finitas de Dirichlet . De hecho, al truncar la serie de la función zeta de Riemann ζ ( s ) para hacerla finita, se obtienen sumas finitas de términos del tipo
con s escritos como ( σ + que ) - la suma de su parte real σ y la parte imaginaria es . Fijando σ , restringiendo la atención a una sola línea vertical en el plano complejo, podemos ver esto también como
Tomar una suma finita de tales términos evita las dificultades de la continuación analítica a la región σ <1. Aquí las 'frecuencias' log n no serán todas conmensurables (son tan linealmente independientes de los números racionales como los enteros n son multiplicativamente independientes, lo que se reduce a sus factorizaciones principales).
Con esta motivación inicial para considerar tipos de polinomios trigonométricos con frecuencias independientes, se aplicó el análisis matemático para discutir el cierre de este conjunto de funciones básicas, en diversas normas .
La teoría fue desarrollada utilizando otras normas por Besicovitch , Stepanov , Weyl , von Neumann , Turing , Bochner y otros en las décadas de 1920 y 1930.
Funciones casi periódicas uniformes o de Bohr o Bochner
Bohr (1925) definió las funciones uniformemente casi periódicas como el cierre de los polinomios trigonométricos con respecto a la norma uniforme
(en funciones acotadas f en R ). En otras palabras, una función f es uniformemente casi periódica si para cada ε > 0 hay una combinación lineal finita de ondas seno y coseno que tiene una distancia menor que ε de f con respecto a la norma uniforme. Bohr demostró que esta definición era equivalente a la existencia de un conjunto relativamente denso de ε casi períodos , para todo ε > 0: es decir, traslaciones T ( ε ) = T de la variable t que hace
Una definición alternativa debida a Bochner (1926) es equivalente a la de Bohr y es relativamente simple de enunciar:
Una función f es casi periódica si cada secuencia { ƒ ( t + T n )} de traslaciones de f tiene una subsecuencia que converge uniformemente para t en (−∞, + ∞).
Las funciones casi periódicas de Bohr son esencialmente las mismas que las funciones continuas en la compactación de Bohr de los reales.
Stepanov funciones casi periódicas
El espacio S p de funciones casi periódicas de Stepanov (para p ≥ 1) fue introducido por VV Stepanov (1925) . Contiene el espacio de Bohr funciones casi periódicas. Es el cierre de los polinomios trigonométricos bajo la norma
para cualquier valor positivo fijo de r ; para diferentes valores de r, estas normas dan la misma topología y, por lo tanto, el mismo espacio de funciones casi periódicas (aunque la norma en este espacio depende de la elección de r ).
Funciones casi periódicas de Weyl
El espacio W p de las funciones casi periódicas de Weyl (para p ≥ 1) fue introducido por Weyl (1927) . Contiene el espacio S p de funciones casi periódicas de Stepanov. Es el cierre de los polinomios trigonométricos bajo el seminorma
Advertencia: hay funciones distintas de cero ƒ con || ƒ || W , p = 0, como cualquier función acotada de soporte compacto, por lo que para obtener un espacio de Banach uno tiene que cociente de estas funciones.
Funciones casi periódicas de Besicovitch
El espacio B p de funciones casi periódicas de Besicovitch fue introducido por Besicovitch (1926) . Es el cierre de los polinomios trigonométricos bajo el seminorma
Advertencia: hay funciones distintas de cero ƒ con || ƒ || B, p = 0, como cualquier función acotada de soporte compacto, por lo que para obtener un espacio de Banach hay que cociente de estas funciones.
Las funciones casi periódicas de Besicovitch en B 2 tienen una expansión (no necesariamente convergente) como
con Σ a2
nfinito y λ n real. A la inversa, cada serie de este tipo es la expansión de alguna función periódica de Besicovitch (que no es única).
El espacio B p de las funciones casi periódicas de Besicovitch (para p ≥ 1) contiene el espacio W p de las funciones casi periódicas de Weyl. Si uno cociente de un subespacio de funciones "nulas", puede identificarse con el espacio de funciones L p en la compactación de Bohr de los reales.
Funciones casi periódicas en un grupo abeliano localmente compacto
Con estos desarrollos teóricos y el advenimiento de los métodos abstractos (el teorema de Peter-Weyl , la dualidad de Pontryagin y las álgebras de Banach ) se hizo posible una teoría general. La idea general de casi-periodicidad en relación con un grupo abeliano localmente compacto G se convierte en la de una función F en L ∞ ( G ), de modo que su traducción por G forma un conjunto relativamente compacto . De manera equivalente, el espacio de funciones casi periódicas es el cierre norma de las combinaciones lineales finitas de caracteres de G . Si G es compacto, las funciones casi periódicas son las mismas que las funciones continuas.
La compactificación de Bohr de G es el grupo abeliano compacto de todos los caracteres posiblemente discontinuos del grupo dual de G , y es un grupo compacto que contiene G como un subgrupo denso. El espacio de las funciones casi periódicas uniformes sobre G puede ser identificado con el espacio de todas las funciones continuas en la compactación de Bohr de G . Más en general el compactificación Bohr se puede definir para cualquier grupo topológico G , y los espacios de continuas o L p funciones de la compactación de Bohr puede considerarse como funciones casi periódicas sobre G . Para los grupos conectados localmente compactos G, el mapa de G a su compactación de Bohr es inyectivo si y solo si G es una extensión central de un grupo compacto, o equivalentemente el producto de un grupo compacto y un espacio vectorial de dimensión finita.
Señales cuasiperiódicas en síntesis de audio y música
En el procesamiento de voz , procesamiento de señales de audio y síntesis de música , una señal cuasiperiódica , a veces llamada señal cuasiarmónica , es una forma de onda que es prácticamente periódica microscópicamente, pero no necesariamente periódica macroscópicamente. Esto no da una función cuasiperiódica en el sentido del artículo de Wikipedia de ese nombre, sino algo más parecido a una función casi periódica, siendo una función casi periódica donde cualquier período es virtualmente idéntico a sus períodos adyacentes pero no necesariamente similar a períodos. mucho más lejos en el tiempo. Este es el caso de los tonos musicales (después del ataque inicial transitorio) donde todos los parciales o armónicos son armónicos (es decir, todos los armónicos están en frecuencias que son un múltiplo entero de una frecuencia fundamental del tono).
Cuando una señal es completamente periódica con período, entonces la señal satisface exactamente
o
La representación de la serie de Fourier sería
o
dónde es la frecuencia fundamental y los coeficientes de Fourier son
- dónde puede ser en cualquier momento: .
La frecuencia fundamental y coeficientes de Fourier , , , o , son constantes, es decir, no son funciones del tiempo. Las frecuencias armónicas son múltiplos enteros exactos de la frecuencia fundamental.
Cuándo es cuasiperiódico entonces
o
dónde
Ahora la representación de la serie de Fourier sería
o
o
dónde es la frecuencia fundamental posiblemente variable en el tiempo y los coeficientes de Fourier variables en el tiempo son
y la frecuencia instantánea para cada parcial es
Mientras que en este caso cuasiperiódico, la frecuencia fundamental , las frecuencias armónicas y los coeficientes de Fourier , , , o no son necesariamente constantes, y son funciones del tiempo, aunque varían lentamente en función del tiempo. Dicho de otra manera, estas funciones del tiempo están limitadas en banda a mucho menos que la frecuencia fundamental para ser considerado cuasiperiódico.
Las frecuencias parciales son casi armónicos, pero no necesariamente exactamente así. La derivada del tiempo de, es decir , tiene el efecto de desafinar los parciales de su valor armónico entero exacto . Un cambio rapido significa que la frecuencia instantánea para ese parcial está severamente desafinada del valor armónico entero, lo que significaría que no es cuasiperiódico.
Ver también
- Función cuasiperiódica
- Función aperiódica
- Mosaico cuasiperiódico
- series de Fourier
- Síntesis de aditivos
- Serie armónica (música)
- Música de computadora
Referencias
- Amerio, Luigi ; Prouse, Giovanni (1971), Funciones casi periódicas y ecuaciones funcionales , The University Series in Higher Mathematics , Nueva York – Cincinnati – Toronto – Londres – Melbourne: Van Nostrand Reinhold , págs. Viii + 184, ISBN 0-442-20295-4, MR 0275061 , Zbl 0.215,15701.
- AS Besicovitch, "Sobre funciones casi periódicas generalizadas" Proc. London Math. Soc. (2), 25 (1926) págs. 495–512
- AS Besicovitch, "Funciones casi periódicas", Cambridge Univ. Prensa (1932)
- Bochner, S. (1926), "Beitrage zur Theorie der fastperiodischen Funktionen", Math. Annalen , 96 : 119–147, doi : 10.1007 / BF01209156
- S. Bochner y J. von Neumann, "Función casi periódica en un grupo II", Trans. Amer. Matemáticas. Soc., 37 no. 1 (1935) págs. 21–50
- H. Bohr, "Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen I" Acta Math., 45 (1925) págs. 29-127
- H. Bohr, "Funciones casi periódicas", Chelsea, reimpresión (1947)
- Bredikhina, EA (2001) [1994], "Funciones casi periódicas" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
- Bredikhina, EA (2001) [1994], "Funciones casi periódicas de Besicovitch" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Bredikhina, EA (2001) [1994], "Funciones casi periódicas de Bohr" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Bredikhina, EA (2001) [1994], "Funciones casi periódicas de Stepanov" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Bredikhina, EA (2001) [1994], "Funciones casi periódicas de Weyl" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- J. von Neumann, "Funciones casi periódicas en un grupo I", Trans. Amer. Matemáticas. Soc., 36 no. 3 (1934) págs. 445–492
- W. Stepanoff (= VV Stepanov), "Sur quelques généralisations des fonctions presque périodiques" CR Acad. Sci. París, 181 (1925) págs. 90–92
- W. Stepanoff (= VV Stepanov), "Ueber einige Verallgemeinerungen der fastperiodischen Funktionen" Matemáticas. Ann., 45 (1925) págs. 473–498
- H. Weyl, "Integralgleichungen und fastperiodische Funktionen" Matemáticas. Ann., 97 (1927) págs. 338–356
enlaces externos
- "Función casi periódica (definición equivalente)" . PlanetMath .