matriz Hessiana

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En matemáticas , la matriz hessiana o Hessian es una matriz cuadrada de derivadas parciales de segundo orden de una función de valor escalar , o campo escalar . Describe la curvatura local de una función de muchas variables. La matriz hessiana fue desarrollada en el siglo XIX por el matemático alemán Ludwig Otto Hesse y más tarde recibió su nombre. Hesse usó originalmente el término "determinantes funcionales".

Supongamos que es una función que toma como entrada un vector y genera un escalar . Si todas las segundas derivadas parciales de existen y son continuas en el dominio de la función, entonces la matriz hessiana de es una matriz cuadrada , generalmente definida y dispuesta de la siguiente manera:${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f(\mathbf {x} )\in \mathbb {R} .}$${\ estilo de visualización f}$${\ estilo de visualización \ mathbf {H}}$${\ estilo de visualización f}$${\ estilo de visualización n \ veces n}$

La matriz hessiana es una matriz simétrica , ya que la hipótesis de continuidad de las segundas derivadas implica que no importa el orden de diferenciación ( teorema de Schwarz ).

La matriz hessiana de una función es la matriz jacobiana del gradiente de la función ; es decir:${\ estilo de visualización f}$${\ estilo de visualización f}$${\displaystyle \mathbf {H} (f(\mathbf {x} ))=\mathbf {J} (\nabla f(\mathbf {x} )).}$

Si es un polinomio homogéneo en tres variables, la ecuación es la ecuación implícita de una curva proyectiva plana . Los puntos de inflexión de la curva son exactamente los puntos no singulares donde el determinante hessiano es cero. Se sigue del teorema de Bézout que una curva plana cúbica tiene en la mayoría de los puntos de inflexión, ya que el determinante hessiano es un polinomio de grado${\ estilo de visualización f}$${\ estilo de visualización f = 0}$${\ estilo de visualización 9}$${\ estilo de visualización 3.}$

La matriz hessiana de una función convexa es semidefinida positiva . Refinar esta propiedad nos permite probar si un punto crítico es un máximo local, un mínimo local o un punto de silla, de la siguiente manera:${\ estilo de visualización x}$

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