Curva algebraica

Curva definida como ceros de polinomios

El cúbico de Tschirnhausen es una curva algebraica de grado tres.

En matemáticas , una curva plana algebraica afín es el conjunto cero de un polinomio en dos variables. Una curva plana proyectiva algebraica es el conjunto de ceros en un plano proyectivo de un polinomio homogéneo en tres variables. Una curva plana algebraica afín se puede completar en una curva plana algebraica proyectiva homogeneizando su polinomio definitorio. Por el contrario, una curva plana algebraica proyectiva de ecuación homogénea h ( x , y , t ) = 0 puede restringirse a la curva plana algebraica afín de la ecuación h( x , y , 1) = 0 . Estas dos operaciones son cada una inversa a la otra; por lo tanto, la frase curva plana algebraica se usa a menudo sin especificar explícitamente si se considera el caso afín o proyectivo.

De manera más general, una curva algebraica es una variedad algebraica de dimensión uno. De manera equivalente, una curva algebraica es una variedad algebraica que es biracionalmente equivalente a una curva plana algebraica. Si la curva está contenida en un espacio afín o un espacio proyectivo , se puede tomar una proyección para tal equivalencia bracional.

Estas equivalencias biracionales reducen la mayor parte del estudio de curvas algebraicas al estudio de curvas planas algebraicas. Sin embargo, algunas propiedades no se mantienen bajo equivalencia bracional y deben estudiarse en curvas no planas. Este es, en particular, el caso del grado y la suavidad . Por ejemplo, existen curvas suaves de género 0 y grado mayor que dos, pero cualquier proyección plana de tales curvas tiene puntos singulares (ver fórmula género-grado ).

Una curva no plana a menudo se denomina curva espacial o curva sesgada .

En geometría euclidiana

Una curva algebraica en el plano euclidiano es el conjunto de puntos cuyas coordenadas son las soluciones de una ecuación polinomial bivariada p ( x , y ) = 0. Esta ecuación a menudo se denomina ecuación implícita de la curva, en contraste con las curvas que son la gráfica de una función que define explícitamente y como función de x .

Con una curva dada por tal ecuación implícita, los primeros problemas son determinar la forma de la curva y dibujarla. Estos problemas no son tan fáciles de resolver como en el caso de la gráfica de una función, para la cual y puede calcularse fácilmente para varios valores de x . El hecho de que la ecuación definitoria sea un polinomio implica que la curva tiene algunas propiedades estructurales que pueden ayudar a resolver estos problemas.

Cada curva algebraica puede descomponerse de forma única en un número finito de arcos suaves y monótonos (también llamados ramas ) a veces conectados por algunos puntos a veces llamados "puntos notables", y posiblemente un número finito de puntos aislados llamados acnodos . Un arco monótono suave es el gráfico de una función suave que está definida y monótona en un intervalo abierto del eje x . En cada dirección, un arco es ilimitado (generalmente llamado arco infinito ) o tiene un punto final que es un punto singular (esto se definirá a continuación) o un punto con una tangente paralela a uno de los ejes de coordenadas.

Por ejemplo, para el cúbico de Tschirnhausen , hay dos arcos infinitos que tienen el origen (0,0) como punto final. Este punto es el único punto singular de la curva. También hay dos arcos que tienen este punto singular como un punto final y que tienen un segundo punto final con una tangente horizontal. Finalmente, hay otros dos arcos, cada uno de los cuales tiene uno de estos puntos con la tangente horizontal como primer punto final y el único punto con la tangente vertical como segundo punto final. Por el contrario, la sinusoide ciertamente no es una curva algebraica, ya que tiene un número infinito de arcos monótonos.

Para dibujar una curva algebraica, es importante conocer los puntos notables y sus tangentes, las ramas infinitas y sus asíntotas (si las hay) y la forma en que los arcos los conectan. También es útil considerar los puntos de inflexión como puntos notables. Cuando toda esta información se dibuja en una hoja de papel, la forma de la curva suele aparecer con bastante claridad. Si no es así, basta con agregar algunos otros puntos y sus tangentes para obtener una buena descripción de la curva.

Los métodos para calcular los puntos notables y sus tangentes se describen a continuación en la sección Puntos notables de una curva plana .

Curvas proyectivas planas

A menudo es deseable considerar curvas en el espacio proyectivo . Una curva algebraica en el plano proyectivo o curva proyectiva plana es el conjunto de los puntos en un plano proyectivo cuyas coordenadas proyectivas son ceros de un polinomio homogéneo en tres variables P ( x , y , z ).

Cada curva algebraica afín de la ecuación p ( x , y ) = 0 puede completarse en la curva proyectiva de la ecuación${\displaystyle ^{h}p(x,y,z)=0,}$ donde

${\displaystyle ^{h}p(x,y,z)=z^{\deg(p)}p({\tfrac {x}{z}},{\tfrac {y}{z}})}$

es el resultado de la homogeneización de p . Por el contrario, si P ( x , y , z ) = 0 es la ecuación homogénea de una curva proyectiva, entonces P ( x , y , 1) = 0 es la ecuación de una curva afín, que consta de los puntos de la curva proyectiva. cuya tercera coordenada proyectiva no es cero. Estas dos operaciones son recíprocas entre sí, como${\displaystyle ^{h}p(x,y,1)=p(x,y)}$y, si p está definido por${\displaystyle p(x,y)=P(x,y,1)}$, luego ${\displaystyle ^{h}p(x,y,z)=P(x,y,z),}$tan pronto como el polinomio homogéneo P no sea divisible por z .

Por ejemplo, la curva proyectiva de la ecuación x ² + y ² - z ² es la terminación proyectiva del círculo unitario de la ecuación x ² + y ² - 1 = 0.

Esto implica que una curva afín y su terminación proyectiva son las mismas curvas, o, más precisamente, que la curva afín es una parte de la curva proyectiva que es lo suficientemente grande como para definir bien la curva "completa". Este punto de vista se expresa comúnmente llamando "puntos en el infinito" de la curva afín a los puntos (en número finito) de la terminación proyectiva que no pertenecen a la parte afín.

Las curvas proyectivas se estudian con frecuencia por sí mismas. También son útiles para el estudio de curvas afines. Por ejemplo, si p ( x , y ) es el polinomio que define una curva afín, junto a las derivadas parciales${\displaystyle p'_{x}}$ y ${\displaystyle p'_{y}}$, es útil considerar la derivada en el infinito

${\displaystyle p'_{\infty }(x,y)={^{h}p'_{z}(x,y,1)}.}$

Por ejemplo, la ecuación de la tangente de la curva afín de la ecuación p ( x , y ) = 0 en un punto ( a , b ) es

${\displaystyle xp'_{x}(a,b)+yp'_{y}(a,b)+p'_{\infty }(a,b)=0.}$

Puntos notables de una curva plana

En esta sección, consideramos una curva algebraica plana definida por un polinomio bivariado p ( x , y ) y su terminación proyectiva, definida por la homogeneización${\displaystyle P(x,y,z)={}^{h}p(x,y,z)}$de p .

Intersección con una línea

Con frecuencia resulta útil conocer los puntos de intersección de una curva con una línea determinada. La intersección con los ejes de coordenadas y las asíntotas son útiles para dibujar la curva. La intersección con una línea paralela a los ejes permite encontrar al menos un punto en cada rama de la curva. Si un eficiente algoritmo de búsqueda de raíz está disponible, esto permite trazar la curva representando el punto de intersección con todas las líneas en paralelo al y eje x y pasa a través de cada pixel en la x eje y.

Si el polinomio que define la curva tiene un grado d , cualquier línea corta la curva como máximo en d puntos. El teorema de Bézout afirma que este número es exactamente d , si los puntos se buscan en el plano proyectivo sobre un campo algebraicamente cerrado (por ejemplo, los números complejos ) y se cuentan con su multiplicidad . El método de cálculo que sigue demuestra nuevamente este teorema, en este simple caso.

Para calcular la intersección de la curva definida por el polinomio p con la línea de la ecuación ax + por + c = 0, se resuelve la ecuación de la línea para x (o para y si a = 0). Sustituyendo el resultado en p , se obtiene una ecuación univariante q ( y ) = 0 (o q ( x ) = 0, si la ecuación de la recta se ha resuelto en y), cada una de cuyas raíces es una coordenada de un punto de intersección. La otra coordenada se deduce de la ecuación de la línea. La multiplicidad de un punto de intersección es la multiplicidad de la raíz correspondiente. Hay un punto de intersección en el infinito si el grado de q es menor que el grado de p ; la multiplicidad de un punto de intersección tal en el infinito es la diferencia de los grados de p y q .

Tangente en un punto

La tangente en un punto ( a , b ) de la curva es la línea de ecuación${\displaystyle (x-a)p'_{x}(a,b)+(y-b)p'_{y}(a,b)=0}$, como para cada curva diferenciable definida por una ecuación implícita. En el caso de los polinomios, otra fórmula para la tangente tiene un término constante más simple y es más simétrica:

${\displaystyle xp'_{x}(a,b)+yp'_{y}(a,b)+p'_{\infty }(a,b)=0,}$

donde ${\displaystyle p'_{\infty }(x,y)=P'_{z}(x,y,1)}$es la derivada en el infinito. La equivalencia de las dos ecuaciones resultados de teorema de la función homogénea de Euler aplicada a P .

Si ${\displaystyle p'_{x}(a,b)=p'_{y}(a,b)=0,}$la tangente no está definida y el punto es un punto singular .

Esto se extiende inmediatamente al caso proyectivo: la ecuación de la tangente de en el punto de coordenadas proyectivas ( a : b : c ) de la curva proyectiva de la ecuación P ( x , y , z ) = 0 es

${\displaystyle xP'_{x}(a,b,c)+yP'_{y}(a,b,c)+zP'_{z}(a,b,c)=0,}$

y los puntos de las curvas que son singulares son los puntos tales que

${\displaystyle P'_{x}(a,b,c)=P'_{y}(a,b,c)=P'_{z}(a,b,c)=0.}$

(La condición P ( a , b , c ) = 0 está implícita en estas condiciones, por el teorema de la función homogénea de Euler.)

Asíntotas

Cada rama infinita de una curva algebraica corresponde a un punto en el infinito de la curva, es decir, un punto de la terminación proyectiva de la curva que no pertenece a su parte afín. La asíntota correspondiente es la tangente de la curva en ese punto. Puede aplicarse la fórmula general para una tangente a una curva proyectiva, pero vale la pena hacerla explícita en este caso.

Dejar ${\displaystyle p=p_{d}+\cdots +p_{0}}$será la descomposición del polinomio que define la curva en sus partes homogéneas, donde p _i es la suma de los monomios de p de grado i . Resulta que

${\displaystyle P={^{h}p}=p_{d}+zp_{d-1}+\cdots +z^{d}p_{0}}$

y

${\displaystyle P'_{z}(a,b,0)=p_{d-1}(a,b).}$

Un punto en el infinito de la curva es un cero de p de la forma ( a , b , 0). De manera equivalente, ( a , b ) es un cero de p _d . El teorema fundamental del álgebra implica que, sobre un campo algebraicamente cerrado (típicamente, el campo de números complejos), p _d factoriza en un producto de factores lineales. Cada factor define un punto en el infinito en la curva: si bx  -  ay es tal factor, entonces define el punto en el infinito ( a , b , 0). Sobre los reales, p _dfactores en factores lineales y cuadráticos. Los factores cuadráticos irreducibles definen puntos no reales en el infinito, y los puntos reales están dados por los factores lineales. Si ( a , b , 0) es un punto en el infinito de la curva, se dice que ( a , b ) es una dirección asintótica . Estableciendo q = p _d la ecuación de la asíntota correspondiente es

${\displaystyle xq'_{x}(a,b)+yq'_{y}(a,b)+p_{d-1}(a,b)=0.}$

Si ${\displaystyle q'_{x}(a,b)=q'_{y}(a,b)=0}$ y ${\displaystyle p_{d-1}(a,b)\neq 0,}$la asíntota es la línea en el infinito y, en el caso real, la curva tiene una rama que parece una parábola . En este caso se dice que la curva tiene una rama parabólica . Si

${\displaystyle q'_{x}(a,b)=q'_{y}(a,b)=p_{d-1}(a,b)=0,}$

la curva tiene un punto singular en el infinito y puede tener varias asíntotas. Pueden calcularse mediante el método de calcular el cono tangente de un punto singular.

Puntos singulares

Los puntos singulares de una curva de grado d definida por un polinomio p ( x , y ) de grado d son las soluciones del sistema de ecuaciones:

${\displaystyle p'_{x}(x,y)=p'_{y}(x,y)=p(x,y)=0.}$

En característica cero , este sistema es equivalente a

${\displaystyle p'_{x}(x,y)=p'_{y}(x,y)=p'_{\infty }(x,y)=0,}$

donde, con la notación de la sección anterior, ${\displaystyle p'_{\infty }(x,y)=P'_{z}(x,y,1).}$Los sistemas son equivalentes debido al teorema de la función homogénea de Euler . Este último sistema tiene la ventaja de tener su tercer polinomio de grado d -1 en lugar de d .

De manera similar, para una curva proyectiva definida por un polinomio homogéneo P ( x , y , z ) de grado d , los puntos singulares tienen las soluciones del sistema

${\displaystyle P'_{x}(x,y,z)=P'_{y}(x,y,z)=P'_{z}(x,y,z)=0}$

como coordenadas homogéneas . (En característica positiva, la ecuación${\displaystyle P(x,y,z)}$ debe agregarse al sistema).

Esto implica que el número de puntos singulares es finito siempre que p ( x , y ) o P ( x , y , z ) sean cuadrados libres . El teorema de Bézout implica entonces que el número de puntos singulares es como máximo ( d −1) ² , pero este límite no es agudo porque el sistema de ecuaciones está sobredeterminado . Si se permiten polinomios reducibles , el límite agudo es d ( d −1) / 2, este valor se alcanza cuando el polinomio factoriza en factores lineales, es decir, si la curva es la unión de dlíneas. Para curvas y polinomios irreducibles, el número de puntos singulares es como máximo ( d −1) ( d −2) / 2, debido a la fórmula que expresa el género en términos de singularidades (ver más abajo). El máximo se alcanza mediante las curvas del género cero cuyas singularidades tienen multiplicidad dos y tangentes distintas (ver más abajo).

La ecuación de las tangentes en un punto singular viene dada por la parte homogénea distinta de cero del grado más bajo en la serie de Taylor del polinomio en el punto singular. Cuando se cambian las coordenadas para poner el punto singular en el origen, la ecuación de las tangentes en el punto singular es, por tanto, la parte homogénea distinta de cero del grado más bajo del polinomio, y la multiplicidad del punto singular es el grado de esta homogénea. parte.

Estructura analítica

El estudio de la estructura analítica de una curva algebraica en la vecindad de un punto singular proporciona información precisa de la topología de singularidades. De hecho, cerca de un punto singular, una curva algebraica real es la unión de un número finito de ramas que se cruzan solo en el punto singular y se ven como una cúspide o como una curva suave.

Cerca de un punto regular, una de las coordenadas de la curva puede expresarse como una función analítica de la otra coordenada. Este es un corolario del teorema de la función implícita analítica e implica que la curva es suave cerca del punto. Cerca de un punto singular, la situación es más complicada e involucra series de Puiseux , que proporcionan ecuaciones paramétricas analíticas de las ramas.

Para describir una singularidad, vale la pena trasladar la curva por tener la singularidad en el origen. Consiste en un cambio de variable de la forma${\displaystyle X=x-a,Y=y-b,}$ donde ${\displaystyle a,b}$son las coordenadas del punto singular. A continuación, se supone que el punto singular en consideración siempre está en el origen.

La ecuación de una curva algebraica es ${\displaystyle f(x,y)=0,}$donde f es un polinomio en x e y . Este polinomio puede considerarse como un polinomio en y , con coeficientes en el campo algebraicamente cerrado de la serie de Puiseux en x . Por tanto, f puede factorizarse en factores de la forma${\displaystyle y-P(x),}$donde P es una serie de Puiseux. Todos estos factores son diferentes si f es un polinomio irreducible , porque esto implica que f es libre de cuadrados , una propiedad que es independiente del campo de coeficientes.

La serie Puiseux que ocurre aquí tiene la forma

${\displaystyle P(x)=\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}x^{n/d},}$

donde d es un número entero positivo, y${\displaystyle n_{0}}$es un número entero que también puede suponerse positivo, porque consideramos solo las ramas de la curva que pasan por el origen. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que d es coprimo con el máximo común divisor de n tal que${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ (de lo contrario, se podría elegir un denominador común más pequeño para los exponentes).

Dejar ${\displaystyle \omega _{d}}$ser una primitiva D ª raíz de la unidad . Si la serie de Puiseux anterior ocurre en la factorización de${\displaystyle f(x,y)=0}$, luego la serie d

${\displaystyle P_{i}(x)=\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}\omega _{d}^{i}x^{n/d}}$

ocurren también en la factorización (una consecuencia de la teoría de Galois ). Estas series d se denominan conjugadas , y se consideran como una sola rama de la curva, de índice de ramificación d .

En el caso de una curva real, que es una curva definida por un polinomio con coeficientes reales, pueden ocurrir tres casos. Si ninguno${\displaystyle P_{i}(x)}$tiene coeficientes reales, entonces uno tiene una rama no real. Si algun${\displaystyle P_{i}(x)}$ tiene coeficientes reales, entonces uno puede elegirlo como ${\displaystyle P_{0}(x)}$. Si d es impar, entonces todo valor real de x proporciona un valor real de${\displaystyle P_{0}(x)}$, y uno tiene una rama real que parece regular, aunque es singular si d > 1 . Si d es par, entonces${\displaystyle P_{0}(x)}$ y ${\displaystyle P_{d/2}(x)}$tienen valores reales, pero solo para x ≥ 0 . En este caso, la rama real se ve como una cúspide (o es una cúspide, dependiendo de la definición de cúspide que se utilice).

Por ejemplo, la cúspide ordinaria tiene solo una rama. Si está definido por la ecuación${\displaystyle y^{2}-x^{3}=0,}$ entonces la factorización es ${\displaystyle (y-x^{3/2})(y+x^{3/2});}$el índice de ramificación es 2, y los dos factores son reales y definen cada uno una media rama. Si se gira la cúspide, la ecuación se convierte en${\displaystyle y^{3}-x^{2}=0,}$ y la factorización es ${\displaystyle (y-x^{2/3})(y-j^{2}x^{2/3})(y-(j^{2})^{2}x^{2/3}),}$ con ${\displaystyle j=(1+{\sqrt {-3}})/2}$ (el coeficiente ${\displaystyle (j^{2})^{2}}$no se ha simplificado aj para mostrar cómo la definición anterior de${\displaystyle P_{i}(x)}$es especializado). Aquí el índice de ramificación es 3 y solo un factor es real; esto muestra que, en el primer caso, los dos factores deben considerarse como definitorios de la misma rama.

Curvas algebraicas no planas

Una curva algebraica es una variedad algebraica de dimensión uno. Esto implica que una curva afín en un espacio afín de dimensión n está definida por, al menos, n −1 polinomios en n variables. Para definir una curva, estos polinomios deben generar un ideal primo de dimensión 1 de Krull . Esta condición no es fácil de probar en la práctica. Por lo tanto, puede ser preferible la siguiente forma de representar curvas no planas.

Dejar ${\displaystyle f,g_{0},g_{3},\ldots ,g_{n}}$ser n polinomios en dos variables x ₁ y x ₂ tales que f es irreducible. Los puntos en el espacio afín de dimensión n tales cuyas coordenadas satisfacen las ecuaciones y inecuaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}&f(x_{1},x_{2})=0\\&g_{0}(x_{1},x_{2})\neq 0\\x_{3}&={\frac {g_{3}(x_{1},x_{2})}{g_{0}(x_{1},x_{2})}}\\&{}\ \vdots \\x_{n}&={\frac {g_{n}(x_{1},x_{2})}{g_{0}(x_{1},x_{2})}}\end{aligned}}}$

son todos los puntos de una curva algebraica en la que se ha eliminado un número finito de puntos. Esta curva está definida por un sistema de generadores del ideal de los polinomios h tal que existe un entero k tal${\displaystyle g_{0}^{k}h}$ pertenece al ideal generado por ${\displaystyle f,x_{3}g_{0}-g_{3},\ldots ,x_{n}g_{0}-g_{n}}$. Esta representación es una equivalencia biracional entre la curva y la curva plana definida por f . Cada curva algebraica se puede representar de esta manera. Sin embargo, puede ser necesario un cambio lineal de variables para hacer casi siempre inyectiva la proyección sobre las dos primeras variables. Cuando se necesita un cambio de variables, casi todos los cambios son convenientes, tan pronto como se definen en un campo infinito.

Esta representación nos permite deducir fácilmente cualquier propiedad de una curva algebraica no plana, incluida su representación gráfica, a partir de la propiedad correspondiente de su proyección plana.

Para una curva definida por sus ecuaciones implícitas, la representación anterior de la curva puede deducirse fácilmente de una base de Gröbner para un ordenamiento de bloques tal que el bloque de las variables más pequeñas es ( x ₁ , x ₂ ). El polinomio f es el único polinomio en la base que depende solo de x ₁ y x ₂ . Las fracciones g _i / g ₀ se obtienen eligiendo, para i = 3, ..., n , un polinomio en la base que es lineal en x _i y depende solo de x₁ , x ₂ y x _i . Si estas elecciones no son posibles, esto significa que las ecuaciones definen un conjunto algebraico que no es una variedad, o que la variedad no es de dimensión uno, o que hay que cambiar de coordenadas. El último caso ocurre cuando f existe y es única y, para i = 3, ..., n , existen polinomios cuyo monomio principal depende solo de x ₁ , x ₂ y x _i .

Campos de función algebraica

El estudio de las curvas algebraicas se puede reducir al estudio de las curvas algebraicas irreductibles : aquellas curvas que no se pueden escribir como la unión de dos curvas más pequeñas. Hasta birracional equivalencia, las curvas irreducibles sobre un campo F son categóricamente equivalente a campos de funciones algebraicas de una variable sobre F . Tal campo de función algebraica es una extensión de campo K de F que contiene un elemento x que es trascendental sobre F , y tal que K es una extensión algebraica finita de F (x ), que es el campo de funciones racionales en la indeterminada x sobre  F .

Por ejemplo, considere el campo C de los números complejos, sobre la que podemos definir el campo C ( x ) de funciones racionales en  C . Si y ²  =  x ³  -  x  - 1, entonces el campo C ( x ,  y ) es un campo de función elíptica . El elemento x no está determinado de forma única; el campo también puede considerarse, por ejemplo, como una extensión de C ( y ). La curva algebraica correspondiente al campo de función es simplemente el conjunto de puntos ( x ,  y ) enC ² satisface y ²  =  x ³  -  x  - 1.

Si el campo F no es algebraicamente cerrado, el punto de vista de los campos de función es un poco más general que el de considerar el lugar geométrico de los puntos, ya que incluimos, por ejemplo, "curvas" sin puntos en ellas. Por ejemplo, si el campo base F es el campo R de números reales, entonces x ²  +  y ²  = −1 define un campo de extensión algebraica de R ( x ), pero la curva correspondiente considerada como un subconjunto de R ² no tiene puntos. . La ecuación x ²  +  y ²  = −1 define una curva algebraica irreducible sobre Ren el sentido de esquema ( esquemas unidimensionales separados e integrales de tipo finito sobre R ). En este sentido, la correspondencia uno a uno entre curvas algebraicas irreductibles sobre F (hasta equivalencia bracional) y campos de función algebraica en una variable sobre F se mantiene en general.

Dos curvas pueden ser biracionalmente equivalentes (es decir, tener campos de función isomórficos ) sin ser isomórficas como curvas. La situación se vuelve más fácil cuando se trata de curvas no singulares , es decir, aquellas que carecen de singularidades. Dos curvas proyectivas no singulares sobre un campo son isomorfas si y solo si sus campos funcionales son isomorfos.

El teorema de Tsen trata del campo funcional de una curva algebraica sobre un campo algebraicamente cerrado.

Curvas complejas y superficies reales

Una curva algebraica proyectiva compleja reside en el espacio proyectivo complejo n- dimensional CP ⁿ . Tiene una dimensión compleja n , pero una dimensión topológica, como una variedad real , 2 n , y es compacta , conectada y orientable . Una curva algebraica sobre C también tiene dimensión topológica dos; en otras palabras, es una superficie .

El género topológico de esta superficie, es decir, el número de asas o agujeros de rosquilla, es igual al género geométrico de la curva algebraica que puede calcularse por medios algebraicos. En resumen, si se considera una proyección plana de una curva no singular que tiene grado d y solo singularidades ordinarias (singularidades de multiplicidad dos con tangentes distintas), entonces el género es ( d  - 1) ( d  - 2) / 2 -  k , donde k es el número de estas singularidades.

Superficies compactas de Riemann

Una superficie de Riemann es una variedad analítica compleja conectada de una dimensión compleja, lo que la convierte en una variedad real conectada de dos dimensiones. Es compacto si es compacto como espacio topológico.

Existe una triple equivalencia de categorías entre la categoría de curvas algebraicas proyectivas suaves e irreducibles sobre C (con mapas regulares no constantes como morfismos), la categoría de superficies compactas de Riemann (con mapas holomórficos no constantes como morfismos) y lo opuesto de la categoría de campos de función algebraica en una variable sobre C (con homomorfismos de campo que fijan Ccomo morfismos). Esto significa que al estudiar estas tres materias, en cierto sentido, estamos estudiando una y la misma cosa. Permite utilizar métodos analíticos complejos en geometría algebraica y métodos algebraico-geométricos en análisis complejos y métodos teóricos de campos en ambos. Esto es característico de una clase mucho más amplia de problemas en geometría algebraica.

Ver también geometría algebraica y geometría analítica para una teoría más general.

Singularidades

Usando el concepto intrínseco de espacio tangente , los puntos P en una curva algebraica C se clasifican como suaves (sinónimo: no singular ), o bien como singulares . Dados n −1 polinomios homogéneos en n +1 variables, podemos encontrar la matriz jacobiana como la matriz ( n −1) × ( n +1) de las derivadas parciales. Si el rango de esta matriz es n -1, entonces los polinomios definen una curva algebraica (de lo contrario, definen una variedad algebraica de dimensión superior). Si el rango sigue siendo n−1 cuando la matriz jacobiana se evalúa en un punto P de la curva, entonces el punto es un punto liso o regular; de lo contrario, es un punto singular . En particular, si la curva es una curva algebraica proyectiva plana, definida por una única ecuación polinomial homogénea f ( x , y , z ) = 0, entonces los puntos singulares son precisamente los puntos P donde el rango de 1 × ( n + 1) la matriz es cero, es decir, donde

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(P)={\frac {\partial f}{\partial y}}(P)={\frac {\partial f}{\partial z}}(P)=0.}$

Dado que f es un polinomio, esta definición es puramente algebraica y no presupone la naturaleza del campo F , que en particular no es necesario que sean números reales o complejos. Por supuesto, debe recordarse que (0,0,0) no es un punto de la curva y, por tanto, no es un punto singular.

De manera similar, para una curva algebraica afín definida por una única ecuación polinomial f ( x , y ) = 0, entonces los puntos singulares son precisamente los puntos P de la curva donde el rango de la matriz jacobiana 1 × n es cero, es decir, donde

${\displaystyle f(P)={\frac {\partial f}{\partial x}}(P)={\frac {\partial f}{\partial y}}(P)=0.}$

Las singularidades de una curva no son invariantes biracionales. Sin embargo, localizar y clasificar las singularidades de una curva es una forma de calcular el género , que es un invariante biracional. Para que esto funcione, debemos considerar la curva de manera proyectiva y requerir que F esté algebraicamente cerrado, de modo que se consideren todas las singularidades que pertenecen a la curva.

Clasificación de singularidades

x ³  = y ²

Los puntos singulares incluyen múltiples puntos donde la curva se cruza sobre sí misma, y ​​también varios tipos de cúspide , por ejemplo, la que muestra la curva con la ecuación x ³  = y ² en (0,0).

Una curva C tiene como máximo un número finito de puntos singulares. Si no tiene ninguno, se puede llamar suave o no singular . Comúnmente, esta definición se entiende sobre un campo algebraicamente cerrado y para una curva C en un espacio proyectivo (es decir, completo en el sentido de la geometría algebraica). Por ejemplo, la curva plana de la ecuación${\displaystyle y-x^{3}=0}$ se considera singular, que tiene un punto singular (una cúspide) en el infinito.

En el resto de esta sección, se considera una curva plana C definida como el conjunto cero de un polinomio bivariado f ( x , y ) . Algunos de los resultados, pero no todos, pueden generalizarse a curvas no planas.

Los puntos singulares se clasifican mediante varias invariantes. La multiplicidad m se define como el número entero máximo tal que las derivadas de f a todos los órdenes hasta m - 1 desaparecen (también el número mínimo de intersección entre la curva y una línea recta en P ). Intuitivamente, un punto singular tiene delta invariante δ si se concentra δ doble de puntos ordinarios en P . Para hacer esto preciso, el proceso de explosión produce los llamados puntos infinitamente cercanos , y suma m ( m −1) / 2sobre los puntos infinitamente cercanos, donde m es su multiplicidad, produce δ . Para una curva irreducible y reducida y un punto P podemos definir δ algebraicamente como la longitud de${\displaystyle {\widetilde {{\mathcal {O}}_{P}}}/{\mathcal {O}}_{P}}$ donde ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{P}}$es el anillo local en P y${\displaystyle {\widetilde {{\mathcal {O}}_{P}}}}$es su cierre integral. ^[1]

El número de Milnor μ de una singularidad es el grado de mapeograduado f ( x , y )/| grad  f ( x , y ) |en la esfera pequeña de radio ε, en el sentido del grado topológico de un mapeo continuo , donde grad  f es el campo vectorial de gradiente (complejo) de f . Está relacionado con δ y r por la fórmula de Milnor-Jung ,

μ = 2δ - r + 1.

Aquí, el número de ramificación r de P es el número de ramas localmente irreducibles en P . Por ejemplo, r = 1 en una cúspide ordinaria y r = 2 en un doble punto ordinario. La multiplicidad m es al menos r , y que P es singular si y solo si m es al menos 2. Además, δ es al menos m ( m -1) / 2.

El cálculo de las invariantes delta de todas las singularidades permite determinar el género g de la curva; si d es el grado, entonces

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)-\sum _{P}\delta _{P},}$

donde la suma se toma sobre todos los puntos singulares P de la curva plana proyectiva compleja. Se llama fórmula de género .

Asigne las invariantes [ m , δ, r ] a una singularidad, donde m es la multiplicidad, δ es la invariante delta y r es el número de ramificación. Entonces una cúspide ordinaria es un punto con invariantes [2,1,1] y un punto doble ordinario es un punto con invariantes [2,1,2], y un m -punto múltiple ordinario es un punto con invariantes [ m , m ( m −1) / 2, m ].

Ejemplos de curvas

Curvas racionales

Una curva racional , también llamada curva unicursal, es cualquier curva que es biracionalmente equivalente a una línea, que podemos tomar como una línea proyectiva; en consecuencia, podemos identificar el campo de función de la curva con el campo de funciones racionales en un F ( x ) indeterminado . Si F es algebraicamente cerrado, esto equivale a una curva de género cero; sin embargo, el campo de todas las funciones algebraicas reales definidas en la variedad algebraica real x ² + y ²  = −1 es un campo de género cero que no es un campo de función racional.

Concretamente, una curva racional incrustada en un espacio afín de dimensión n sobre F puede parametrizarse (salvo puntos excepcionales aislados) mediante n funciones racionales de un solo parámetro t ; al reducir estas funciones racionales al mismo denominador, los polinomios resultantes n +1 definen una parametrización polinomial de la terminación proyectiva de la curva en el espacio proyectivo. Un ejemplo es la curva normal racional , donde todos estos polinomios son monomios .

Cualquier sección cónica definida sobre F con un punto racional en F es una curva racional. Puede parametrizarse trazando una línea con pendiente t a través del punto racional, y una intersección con la curva cuadrática plana; esto da un polinomio con coeficientes F -racionales y una raíz F -racional, por lo tanto, la otra raíz es F -racional (es decir, también pertenece a F ).

x ² + xy + y ² = 1

Por ejemplo, considere la elipse x ² + xy + y ²  = 1, donde (−1, 0) es un punto racional. Trazando una recta con pendiente t de (−1,0), y  = t ( x +1), sustituyéndola en la ecuación de la elipse, factorizando y despejando x , obtenemos

${\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t+t^{2}}}.}$

Entonces la ecuación para y es

${\displaystyle y=t(x+1)={\frac {t(t+2)}{1+t+t^{2}}}\,,}$

que define una parametrización racional de la elipse y, por tanto, muestra que la elipse es una curva racional. Se dan todos los puntos de la elipse, excepto (−1,1), que corresponde at  = ∞; toda la curva está parametrizada por lo tanto por la línea proyectiva real.

Tal parametrización racional puede considerarse en el espacio proyectivo equiparando las primeras coordenadas proyectivas a los numeradores de la parametrización y la última al denominador común. Como el parámetro está definido en una línea proyectiva, los polinomios en el parámetro deben homogeneizarse . Por ejemplo, la parametrización proyectiva de la elipse anterior es

${\displaystyle X=U^{2}-T^{2},\quad Y=T\,(T+2\,U),\quad Z=T^{2}+TU+U^{2}.}$

Eliminando T y U entre estas ecuaciones obtenemos nuevamente la ecuación proyectiva de la elipse

${\displaystyle X^{2}+X\,Y+Y^{2}=Z^{2},}$

que puede obtenerse fácilmente directamente homogeneizando la ecuación anterior.

Muchas de las curvas de la lista de curvas de Wikipedia son racionales y, por lo tanto, tienen parametrizaciones racionales similares.

Curvas del plano racional

Las curvas del plano racional son curvas racionales incrustadas en ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$. Dadas secciones genéricas${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3}\in \Gamma (\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(d))}$ de grado ${\displaystyle d}$ polinomios homogéneos en dos coordenadas, ${\displaystyle x,y}$, hay un mapa

${\displaystyle s:\mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{2}}$ dada por ${\displaystyle s([x:y])=[s_{1}([x:y]):s_{2}([x:y]):s_{3}([x:y])]}$

Definiendo una curva plana racional de grado. ${\displaystyle d}$. ^[2] Hay un espacio de módulos asociado ${\displaystyle {\mathcal {M}}={\overline {\mathcal {M}}}_{0,0}(\mathbb {P} ^{2},d\cdot [H])}$ (donde ${\displaystyle [H]}$es la clase hiperplano) parametrizar todas esas curvas estables . Se puede hacer un recuento de dimensiones para determinar la dimensión de los espacios de módulos: Hay${\displaystyle d+1}$ parámetros en ${\displaystyle \Gamma (\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(d))}$ donación ${\displaystyle 3d+3}$total de parámetros para cada una de las secciones. Entonces, dado que se consideran hasta un cociente proyectivo en${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ hay ${\displaystyle 1}$ menos parámetro en ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$. Además, hay un grupo tridimensional de automorfismos de${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$, por eso ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ tiene dimensión ${\displaystyle 3d+3-1-3=3d-1}$. Este espacio de módulos se puede utilizar para contar el número${\displaystyle N_{d}}$ de grado ${\displaystyle d}$ curvas planas racionales que se cruzan ${\displaystyle 3d-1}$puntos utilizando la teoría de Gromov-Witten . ^[3] Viene dada por la relación recursiva

${\displaystyle N_{d}=\sum _{d_{A}+d_{B}=d}N_{d_{A}}N_{d_{B}}d_{A}^{2}d_{B}\left(d_{B}{\binom {3d-4}{3d_{A}-2}}-d_{A}{\binom {3d-4}{3d_{A}-1}}\right)}$

donde ${\displaystyle N_{1}=N_{2}=1}$.

Curvas elípticas

Una curva elíptica puede definirse como cualquier curva del género uno con un punto racional : un modelo común es una curva cúbica no singular , que es suficiente para modelar cualquier curva de género uno. En este modelo, el punto distinguido se toma comúnmente como un punto de inflexión en el infinito; esto equivale a requerir que la curva se pueda escribir en forma Tate-Weierstrass, que en su versión proyectiva es

${\displaystyle y^{2}z+a_{1}xyz+a_{3}yz^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}z+a_{4}xz^{2}+a_{6}z^{3}.}$

Si la característica del campo es diferente de 2 y 3, entonces un cambio lineal de coordenadas permite poner ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=a_{3}=0,}$ que da la forma clásica de Weierstrass

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+px+q.}$

Las curvas elípticas llevan la estructura de un grupo abeliano con el punto distinguido como la identidad de la ley de grupo. En un modelo cúbico plano, tres puntos suman cero en el grupo si y solo si son colineales . Para una curva elíptica definida sobre los números complejos, el grupo es isomorfo al grupo aditivo del plano complejo módulo el retículo del período de las funciones elípticas correspondientes .

La intersección de dos superficies cuádricas es, en general, una curva no singular de género uno y grado cuatro, y por tanto una curva elíptica, si tiene un punto racional. En casos especiales, la intersección puede ser un cuártico singular racional o se descompone en curvas de grados más pequeños que no siempre son distintos (ya sea una curva cúbica y una línea, o dos cónicas, o una cónica y dos líneas, o cuatro líneas). .

Curvas de género mayores de uno

Las curvas de género mayor que uno difieren notablemente de las curvas racionales y elípticas. Tales curvas definidas sobre los números racionales, por el teorema de Faltings , pueden tener solo un número finito de puntos racionales, y pueden verse como si tuvieran una estructura de geometría hiperbólica . Algunos ejemplos son las curvas hiperelípticas , la curva cuártica de Klein y la curva de Fermat x ⁿ  +  y ⁿ  = z ⁿ cuando n es mayor que tres. También curvas planas proyectivas en${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ y curvas en ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$ proporcione muchos ejemplos útiles.

Curvas planas proyectivas

Curvas planas ${\displaystyle C\subset \mathbb {P} ^{2}}$ de grado ${\displaystyle k}$, que se puede construir como el lugar de fuga de una sección genérica ${\displaystyle s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(k))}$, tiene género

${\displaystyle {\frac {(k-1)(k-2)}{2}}}$

que se puede calcular utilizando la cohomología de gavilla coherente . Aquí hay un breve resumen de los géneros de curvas en relación con su grado.

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{degree}}&1&2&3&4&5&6&7\\{\text{genus}}&0&0&1&3&6&10&15\end{matrix}}}$

Por ejemplo, la curva ${\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}}$ define una curva de género ${\displaystyle 3}$que es suave ya que los diferenciales${\displaystyle 4x^{3},4y^{3},4z^{3}}$ no tienen ceros comunes con la curva. Un no ejemplo de una sección genérica es la curva ${\displaystyle x(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$que, según el teorema de Bezout , debería intersecar como máximo${\displaystyle 2}$ puntos, es la unión de dos curvas racionales ${\displaystyle C_{1}\cup C_{2}}$intersección en dos puntos. Nota${\displaystyle C_{1}}$ está dado por el lugar de desaparición de ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle C_{2}}$ está dado por el lugar de desaparición de ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}}$. Estos se pueden encontrar explícitamente: un punto radica en ambos si${\displaystyle x=0}$. Entonces las dos soluciones son los puntos${\displaystyle [0:y:z]}$ tal que ${\displaystyle y^{2}+z^{2}=0}$, que son ${\displaystyle [0:1:-1]}$ y ${\displaystyle [0:1:{\sqrt {-1}}]}$.

Curvas en producto de líneas proyectivas

Curva ${\displaystyle C\subset \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$ dado por el lugar de desaparición de ${\displaystyle s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(a,b))}$, por ${\displaystyle a,b\geq 2}$, dar curvas de género

${\displaystyle ab-a-b+1}$

que se puede comprobar mediante la cohomología de gavillas Coherent . Si${\displaystyle a=2}$, luego definen curvas de género ${\displaystyle 2b-2-b+1=b-1}$, por lo tanto, una curva de cualquier género se puede construir como una curva en ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$. Sus géneros se pueden resumir en la tabla.

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{bidegree}}&(2,2)&(2,3)&(2,4)&(2,5)\\{\text{genus}}&1&2&3&4\end{matrix}}}$

y para ${\displaystyle a=3}$, esto es

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{bidegree}}&(3,2)&(3,3)&(3,4)&(3,5)\\{\text{genus}}&2&4&6&8\end{matrix}}}$

Ver también

Geometría algebraica clásica

• Acnodo
• Teorema de Bézout
• Teorema de Cramer (curvas algebraicas)
• Crunode
• Curva
• Bosquejo de curvas
• Variedad jacobiana
• Klein cuartico
• Lista de curvas
• Decimosexto problema de Hilbert
• Curva plana cúbica
• Curva hiperelíptica

Geometría algebraica moderna

• Geometría biracional
• Sección cónica
• Curva elíptica
• Ideal fraccional
• Campo funcional de una variedad algebraica
• Campo de función (teoría de esquemas)
• Género (matemáticas)
• Lemniscata polinomial
• Curva plana cuartica
• Curva normal racional
• Teorema de Riemann-Roch para curvas algebraicas
• Teorema de weber

Geometría de superficies de Riemann

• Fórmula de Riemann-Hurwitz
• Teorema de Riemann-Roch para superficies de Riemann
• Superficie de Riemann

Notas

1. Hartshorne, Geometría algebraica, IV Ej. 1.8.
2. Kazaryan, Maxim E .; Lando, Sergei K .; Prasolov, Victor (2018). Curvas algebraicas: hacia espacios modulos . Conferencias de Moscú. Springer International Publishing. págs. 213-214. ISBN 978-3-030-02942-5.
3. "Fórmula de Kontsevich para curvas de plano racional" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 26 de febrero de 2020.

Referencias

• Brieskorn, Egbert; Knörrer, Horst (2013). Plano de curvas algebraicas . Traducido por Stillwell, John. Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-5097-1.
• Chevalley, Claude (1951). Introducción a la teoría de las funciones algebraicas de una variable . Encuestas matemáticas. 6 . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-1506-9.
• Coolidge, Julian L. (2004) [1931]. Tratado sobre curvas planas algebraicas . Dover. ISBN 978-0-486-49576-7.
• Farkas, HM; Kra, I. (2012) [1980]. Superficies Riemann . Textos de Posgrado en Matemáticas. 71 . Saltador. ISBN 978-1-4684-9930-8.
• Fulton, William (1989). Curvas algebraicas: una introducción a la geometría algebraica . Serie de notas de conferencias de matemáticas. 30 (3ª ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-51010-2.
• Gibson, CG (1998). Geometría elemental de curvas algebraicas: una introducción de pregrado . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-64641-3.
• Griffiths, Phillip A. (1985). Introducción a las curvas algebraicas . Traducción de monografías matemáticas. 70 (3ª ed.). Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 9780821845370.
• Hartshorne, Robin (2013) [1977]. Geometría algebraica . Textos de Posgrado en Matemáticas. 52 . Saltador. ISBN 978-1-4757-3849-0.
• Iitaka, Shigeru (2011) [1982]. Geometría algebraica: una introducción a la geometría biracional de variedades algebraicas . Textos de Posgrado en Matemáticas. 76 . Springer Nueva York. ISBN 978-1-4613-8121-1.
• Milnor, John (1968). Puntos singulares de hipersuperficies complejas . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-08065-8.
• Serre, Jean-Pierre (2012) [1988]. Grupos algebraicos y campos de clase . Textos de Posgrado en Matemáticas. 117 . Saltador. ISBN 978-1-4612-1035-1.
• Kötter, Ernst (1887). "Grundzüge einer rein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen Curven" [Fundamentos de una teoría puramente geométrica de curvas planas algebraicas]. Transacciones de la Real Academia de Berlín .- ganó el premio de la Academia de 1886 ^[1]

1. Norman Fraser (febrero de 1888). "Geometría sintética de Kötter de curvas algebraicas" . Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo . 7 : 46–61, consulte la pág. 46.