En matemáticas , el lema de Borel , llamado así por Émile Borel , es un resultado importante utilizado en la teoría de expansiones asintóticas y ecuaciones diferenciales parciales .
Declaración
Supongamos que U es un conjunto abierto en el espacio euclidiano R n , y supongamos que f 0 , f 1 ... es una secuencia de lisas funciones en U .
Si I es cualquier intervalo abierto en R que contiene 0 (posiblemente I = R ), entonces existe una función suave F ( t , x ) definida en I × U , tal que
para k ≥ 0 y x en U .
Prueba
Se pueden encontrar pruebas del lema de Borel en muchos libros de texto sobre análisis, incluidos Golubitsky y Guillemin (1974) y Hörmander (1990) , de los cuales se extrae la siguiente prueba.
Tenga en cuenta que basta con demostrar el resultado para un intervalo pequeño I = (−ε, ε), ya que si ψ ( t ) es una función de relieve suave con soporte compacto en (−ε, ε) igual de forma idéntica a 1 cerca de 0, entonces ψ ( t ) ⋅ F ( t , x ) da una solución en R × U . De manera similar, usando una partición lisa de unidad en R n subordinada a una cubierta por bolas abiertas con centros en δ⋅ Z n , se puede suponer que todas las f m tienen soporte compacto en alguna bola cerrada C fija . Para cada m , deje
donde ε m se elige lo suficientemente pequeño como para
para | α | < m . Estas estimaciones implican que cada suma
es uniformemente convergente y, por tanto, que
es una función suave con
Por construcción
Nota: Se puede aplicar exactamente la misma construcción, sin el espacio auxiliar U , para producir una función suave en el intervalo I para el cual las derivadas en 0 forman una secuencia arbitraria.
Ver también
Referencias
- Erdélyi, A. (1956), Expansiones asintóticas , Publicaciones de Dover, págs. 22-25, ISBN 0486603180
- Golubitsky, M .; Guillemin, V. (1974), Mapeos estables y sus singularidades , Textos de posgrado en matemáticas , 14 , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90072-1
- Hörmander, Lars (1990), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales, I. Teoría de la distribución y análisis de Fourier (2ª ed.), Springer-Verlag, p. 16, ISBN 3-540-52343-X
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