En matemáticas , las funciones suaves (también llamadas funciones infinitamente diferenciables ) y las funciones analíticas son dos tipos de funciones muy importantes . Se puede probar fácilmente que cualquier función analítica de un argumento real es fluida. Lo contrario no es cierto, como se demuestra con el contraejemplo a continuación.
Una de las aplicaciones más importantes de las funciones suaves con soporte compacto es la construcción de los llamados atenuadores , que son importantes en las teorías de funciones generalizadas , como la teoría de distribuciones de Laurent Schwartz .
La existencia de funciones suaves pero no analíticas representa una de las principales diferencias entre la geometría diferencial y la geometría analítica . En términos de la teoría de la gavilla , esta diferencia se puede enunciar de la siguiente manera: la gavilla de funciones diferenciables en una variedad diferenciable está bien , en contraste con el caso analítico.
Las funciones siguientes se utilizan generalmente para construir particiones de unidad en variedades diferenciables.
Una función de ejemplo
Definición de la función
Considere la función
definido para cada número real x .
La función es suave
La función f tiene derivadas continuas de todos los órdenes en cada punto x de la recta real . La fórmula para estos derivados es
donde p n ( x ) es un polinomio de grado n - 1 dado recursivamente por p 1 ( x ) = 1 y
para cualquier entero positivo n . A partir de esta fórmula, no está completamente claro que las derivadas sean continuas en 0; esto se sigue del límite unilateral
para cualquier entero no negativo m .
Prueba detallada de suavidad |
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Por la representación en serie de potencias de la función exponencial , tenemos para cada número natural (incluido cero) porque todos los términos positivos para se agregan. Por lo tanto, dividiendo esta desigualdad pory tomando el límite desde arriba , Ahora probamos la fórmula para el n º derivada de f por inducción matemática . Usando la regla de la cadena , la regla recíproca y el hecho de que la derivada de la función exponencial es nuevamente la función exponencial, vemos que la fórmula es correcta para la primera derivada de f para todo x > 0 y que p 1 ( x ) es un polinomio de grado 0. Por supuesto, la derivada de f es cero para x <0. Queda por mostrar que la derivada del lado derecho de f en x = 0 es cero. Usando el límite anterior, vemos que La etapa de inducción a partir de n a n + 1 es similar. Para x > 0 obtenemos la derivada donde p n +1 ( x ) es un polinomio de grado n = ( n + 1) - 1. Por supuesto, la ( n + 1) derivada de f es cero para x <0. Para la derivada del lado derecho de f ( n ) en x = 0 obtenemos con el límite anterior |
La función no es analítica
Como se vio anteriormente, la función f es suave y todas sus derivadas en el origen son 0. Por lo tanto, la serie de Taylor de f en el origen converge en todas partes a la función cero ,
por tanto, la serie de Taylor no es igual a f ( x ) para x > 0. En consecuencia, f no es analítica en el origen.
Funciones de transición suave
La función
tiene un denominador estrictamente positivo en todas partes de la línea real, por lo que g también es suave. Además, g ( x ) = 0 para x ≤ 0 y g ( x ) = 1 para x ≥ 1, por lo tanto, proporciona una transición suave del nivel 0 al nivel 1 en el intervalo unitario [0, 1]. Para tener la transición suave en el intervalo real [ a , b ] con a < b , considere la función
Para números reales a < b < c < d , la función suave
es igual a 1 en el intervalo cerrado [ b , c ] y desaparece fuera del intervalo abierto ( a , d ).
Una función fluida que no es analítica real en ninguna parte
Un ejemplo más patológico de una función infinitamente diferenciable que no es analítica en ningún punto puede construirse mediante una serie de Fourier como sigue. Sea A : = {2 n : n ∈ ℕ} el conjunto de todas las potencias de 2, y defina para todo x ∈ ℝ
Desde la serie converge para todo n ∈ ℕ, esta función se ve fácilmente como de clase C ∞ , mediante una aplicación inductiva estándar de la prueba M de Weierstrass para demostrar la convergencia uniforme de cada serie de derivadas. Además, para cualquier múltiplo racional diádico de π, es decir, para cualquier x : = π · p / q con p ∈ ℕ y q ∈ A, y para todo orden de derivación n ∈ A, n ≥ 4 y n > q se tengo
donde usamos el hecho de que cos ( kx ) = 1 para todo k > q . Como consecuencia, en cualquier tal x ∈ ℝ
de modo que el radio de convergencia de la serie de Taylor de F en x es 0 según la fórmula de Cauchy-Hadamard . Dado que el conjunto de analiticidad de una función es un conjunto abierto, y dado que los racionales diádicos son densos, concluimos que F no es analítico en ninguna parte en ℝ.
Aplicación a la serie Taylor
Para cada secuencia de α 0 , alfa 1 , α 2 ,. . . de números reales o complejos, la siguiente construcción muestra la existencia de una función suave F en la recta real que tiene estos números como derivadas en el origen. [1] En particular, cada secuencia de números puede aparecer como los coeficientes de la serie de Taylor de una función suave. Este resultado se conoce como lema de Borel , en honor a Émile Borel .
Con la función de transición suave g como arriba, defina
Esta función h también es suave; es igual a 1 en el intervalo cerrado [−1,1] y desaparece fuera del intervalo abierto (−2,2). Usando h , defina para cada número natural n (incluido el cero) la función suave
que concuerda con el monomio x n en [−1,1] y desaparece fuera del intervalo (−2,2). Por tanto, la k -ésima derivada de ψ n en el origen satisface
y el teorema de la acotación implica que ψ n y todas las derivadas de ψ n están acotadas. Por tanto, las constantes
que involucran la norma suprema de ψ n y sus primeras n derivadas, son números reales bien definidos. Definir las funciones escaladas
Mediante la aplicación repetida de la regla de la cadena ,
y, utilizando el resultado anterior para la k -ésima derivada de ψ n en cero,
Queda por mostrar que la función
está bien definido y se puede diferenciar término por término infinitas veces. [2] Con este fin, observe que para cada k
donde la serie infinita restante converge mediante la prueba de razón .
Aplicación a mayores dimensiones
Para cada radio r > 0,
con norma euclidiana || x || define una función suave en el espacio euclidiano n- dimensional con apoyo en la bola de radio r , pero.
Análisis complejo
Esta patología no puede ocurrir con funciones diferenciables de una variable compleja en lugar de una variable real. De hecho, todas las funciones holomórficas son analíticas , de modo que el hecho de que la función f definida en este artículo no sea analítica a pesar de ser infinitamente diferenciable es una indicación de una de las diferencias más dramáticas entre el análisis de variable real y el de variable compleja.
Tenga en cuenta que aunque la función f tiene derivadas de todos los órdenes sobre la línea real, la continuación analítica de f desde la media línea positiva x > 0 al plano complejo , es decir, la función
tiene una singularidad esencial en el origen, por lo que ni siquiera es continua, mucho menos analítica. Según el gran teorema de Picard , alcanza todos los valores complejos (con la excepción de cero) infinitas veces en cada vecindad del origen.
Ver también
- Función de golpe
- Función Fabius
- Función plana
- Calmante
Notas
- ^ Ejercicio 12 en la página 418 en Walter Rudin , Análisis real y complejo . McGraw-Hill, Nueva Delhi 1980, ISBN 0-07-099557-5
- ^ Ver, por ejemplo, el Capítulo V, Sección 2, Teorema 2.8 y Corolario 2.9 sobre la diferenciabilidad de los límites de secuencias de funciones en Amann, Herbert; Escher, Joachim (2005), Análisis I , Basilea: Birkhäuser Verlag , págs. 373–374, ISBN 3-7643-7153-6
enlaces externos
- "Función infinitamente diferenciable que no es analítica" . PlanetMath .