Paradoja de Borel-Kolmogorov
En la teoría de la probabilidad , la paradoja de Borel-Kolmogorov (a veces conocida como paradoja de Borel ) es una paradoja relacionada con la probabilidad condicional con respecto a un evento de probabilidad cero (también conocido como conjunto nulo ). Lleva el nombre de Émile Borel y Andrey Kolmogorov .
Suponga que una variable aleatoria tiene una distribución uniforme en una esfera unitaria. ¿Cuál es su distribución condicional en un círculo máximo ? Debido a la simetría de la esfera, se podría esperar que la distribución sea uniforme e independiente de la elección de coordenadas. Sin embargo, dos análisis arrojan resultados contradictorios. Primero, tenga en cuenta que elegir un punto uniformemente en la esfera es equivalente a elegir la longitud uniformemente y elegir la latitud con densidad . [1] Entonces podemos observar dos grandes círculos diferentes:
![[- \ pi, \ pi]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb064fd6c55820cfa660eabeeda0f6e3c4935ae6)
![{\ textstyle [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4edf67dc5e6042a4a626f785257a6a75fbb5ae30)
Una distribución es uniforme en el círculo, la otra no. Sin embargo, ambos parecen referirse al mismo gran círculo en diferentes sistemas de coordenadas.
Se han producido muchos argumentos bastante inútiles, entre probabilistas por lo demás competentes, sobre cuál de estos resultados es "correcto".
En el caso (1) anterior, la probabilidad condicional de que la longitud λ se encuentre en un conjunto E dado que φ = 0 se puede escribir P ( λ ∈ E | φ = 0). La teoría de probabilidad elemental sugiere que esto se puede calcular como P ( λ ∈ E y φ = 0) / P ( φ = 0), pero esa expresión no está bien definida ya que P ( φ = 0) = 0. La teoría de medidas proporciona una forma para definir una probabilidad condicional, usando la familia de eventos R ab = {φ : un < φ < b } que son anillos horizontales que consisten en todos los puntos con la latitud entre una y b .
La resolución de la paradoja es notar que en el caso (2), P ( φ ∈ F | λ = 0) se define usando los eventos L ab = { λ : a < λ < b }, que son lunes (cuñas verticales) , que consiste en todos los puntos cuya longitud varía entre un y b . Entonces, aunque P ( λ ∈ E | φ = 0) y P ( φ ∈ F | λ= 0) cada uno proporciona una distribución de probabilidad en un círculo máximo, uno de ellos se define usando anillos y el otro usando lunes. Por lo tanto, no es sorprendente después de todo que P ( λ ∈ E | φ = 0) y P ( φ ∈ F | λ = 0) tengan distribuciones diferentes.