En matemáticas , la Borsuk-Ulam teorema afirma que cada función continua de un n -sphere en euclidiana n -space mapas de algún par de puntos antípodas al mismo punto. Aquí, dos puntos de una esfera se denominan antípodas si están en direcciones exactamente opuestas al centro de la esfera.
Formalmente: si es continuo, entonces existe un tal que: .
El caso se puede ilustrar diciendo que siempre existen un par de puntos opuestos en el ecuador de la Tierra con la misma temperatura. Lo mismo es cierto para cualquier círculo. Esto supone que la temperatura varía continuamente en el espacio.
El caso Se ilustra a menudo diciendo que en cualquier momento, siempre hay un par de puntos antípodas en la superficie de la Tierra con temperaturas iguales y presiones barométricas iguales, asumiendo que ambos parámetros varían continuamente en el espacio.
El teorema de Borsuk-Ulam tiene varios enunciados equivalentes en términos de funciones impares . Recordar quees la n- esfera yes la bola n :
- Si es una función impar continua, entonces existe una tal que: .
- Si es una función continua que es impar en (el límite de ), entonces existe un tal que: .
Historia
Según Jiří Matoušek (2003 , p. 25) , la primera mención histórica del enunciado del teorema de Borsuk-Ulam aparece en Lyusternik & Shnirel'man (1930) . La primera prueba la dio Karol Borsuk ( 1933 ), donde la formulación del problema se atribuyó a Stanislaw Ulam . Desde entonces, varios autores han encontrado muchas pruebas alternativas, recogidas por Steinlein (1985) .
Declaraciones equivalentes
Los siguientes enunciados son equivalentes al teorema de Borsuk-Ulam. [1]
Con funciones impares
Una función se llama impar (también conocido como antípoda o preservador de antípoda ) si para cada: .
El teorema de Borsuk-Ulam es equivalente a la siguiente afirmación: Una función impar continua desde una n -esfera al n- espacio euclidiano tiene un cero. PRUEBA:
- Si el teorema es correcto, entonces es específicamente correcto para funciones impares y para una función impar, si . Por tanto, toda función continua impar tiene un cero.
- Para cada función continua , la siguiente función es continua e impar: . Si cada función continua impar tiene un cero, entonces tiene un cero, y por lo tanto, . Por tanto, el teorema es correcto.
Con retractaciones
Definir una retracción como función El teorema de Borsuk-Ulam es equivalente a la siguiente afirmación: no hay retracción impar continua.
Demostración: si el teorema es correcto, entonces toda función impar continua de debe incluir 0 en su rango. Sin emabargo, por lo que no puede haber una función impar continua cuyo rango sea .
Por el contrario, si es incorrecto, entonces hay una función impar continua sin ceros. Entonces podemos construir otra función impar por:
desde no tiene ceros, está bien definido y es continuo. Por lo tanto, tenemos una retracción impar continua.
Pruebas
Caja unidimensional
El caso unidimensional se puede demostrar fácilmente utilizando el teorema del valor intermedio (IVT).
Dejar ser una función continua de valor real impar en un círculo. Elija un arbitrario. Sientonces hemos terminado. De lo contrario, sin pérdida de generalidad, Pero Por lo tanto, según el IVT, hay un punto Entre y en el cual .
Caso general: prueba de topología algebraica
Asumir que es una función continua impar con (el caso se trata arriba, el caso se puede manejar utilizando la teoría básica de cobertura ). Al pasar a órbitas bajo la acción antípoda, obtenemos una función continua inducidaentre espacios proyectivos reales , lo que induce un isomorfismo sobre grupos fundamentales . Según el teorema de Hurewicz , el homomorfismo de anillo inducido en cohomología con coeficientes [donde denota el campo con dos elementos ],
envía a . Pero luego lo entendemos se envía a , una contradicción. [2]
También se puede mostrar la afirmación más fuerte de que cualquier mapa extraño tiene un grado impar y luego deducir el teorema de este resultado.
Caso general - prueba combinatoria
El teorema de Borsuk-Ulam se puede demostrar a partir del lema de Tucker . [1] [3] [4]
Dejar ser una función impar continua. Debido a que g es continuo en un dominio compacto , es uniformemente continuo . Por lo tanto, para cada, hay un tal que, por cada dos puntos de que estan dentro el uno del otro, sus imágenes bajo g están dentro el uno del otro.
Defina una triangulación de con bordes de longitud como máximo . Etiqueta cada vértice de la triangulación con una etiqueta de la siguiente manera:
- El valor absoluto de la etiqueta es el índice de la coordenada con el valor absoluto más alto de g :.
- El signo de la etiqueta es el signo de g , de modo que:.
Debido a que g es impar, el etiquetado también es extraño:. Por tanto, según el lema de Tucker, hay dos vértices adyacentescon etiquetas opuestas. Suponga wlog que las etiquetas son. Por la definición de l , esto significa que en ambos y , la coordenada n. ° 1 es la coordenada más grande: en esta coordenada es positiva mientras está en es negativo. Por la construcción de la triangulación, la distancia entre y es como máximo , entonces en particular (desde y tienen signos opuestos) y así . Pero dado que la mayor coordenada de es la coordenada n. ° 1, esto significa que para cada . Entonces, dónde es una constante dependiendo de y la norma que has elegido.
Lo anterior es cierto para todos ; desdees compacto, por lo tanto, debe haber un punto u en el que.
Corolarios
- Sin subconjunto de es homeomorfo a
- El teorema del sándwich de jamón : para cualquier conjunto compacto A 1 , ..., A n en siempre podemos encontrar un hiperplano que divida a cada uno de ellos en dos subconjuntos de igual medida.
Resultados equivalentes
Arriba mostramos cómo probar el teorema de Borsuk-Ulam a partir del lema de Tucker. Lo contrario también es cierto: es posible probar el lema de Tucker a partir del teorema de Borsuk-Ulam. Por tanto, estos dos teoremas son equivalentes. Hay varios teoremas de punto fijo que vienen en tres variantes equivalentes: una variante de topología algebraica , una variante combinatoria y una variante de cobertura de conjuntos. Cada variante se puede probar por separado utilizando argumentos totalmente diferentes, pero cada variante también se puede reducir a las otras variantes en su fila. Además, cada resultado en la fila superior se puede deducir del que está debajo en la misma columna. [5]
Topología algebraica | Combinatoria | Establecer cobertura |
---|---|---|
Teorema del punto fijo de Brouwer | Lema de Sperner | Lema de Knaster – Kuratowski – Mazurkiewicz |
Teorema de Borsuk-Ulam | Lema de Tucker | Teorema de Lusternik-Schnirelmann |
Generalizaciones
- En el teorema original, el dominio de la función f es la unidad n -esfera (el límite de la unidad n- bola). En general, también es cierto cuando el dominio de f es el límite de cualquier subconjunto simétrico acotado abierto deque contiene el origen (aquí, simétrico significa que si x está en el subconjunto, entonces - x también está en el subconjunto). [6]
Ver también
- Combinatoria topológica
- Problema de división del collar
- Teorema de Kakutani (geometría)
- Imre Bárány
Notas
- ↑ a b Prescott, Timothy (2002). "Extensiones del teorema de Borsuk-Ulam (tesis)". Universidad Harvey Mudd. CiteSeerX 10.1.1.124.4120 . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Joseph J. Rotman, Introducción a la topología algebraica (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (Consulte el Capítulo 12 para obtener una exposición completa).
- ^ Freund, Robert M; Todd, Michael J. (1982). "Una prueba constructiva del lema combinatorio de Tucker" . Revista de Teoría Combinatoria, serie A . 30 (3): 321–325. doi : 10.1016 / 0097-3165 (81) 90027-3 .
- ^ Simmons, Forest W .; Su, Francis Edward (2003). "Consenso-reducción a la mitad a través de teoremas de Borsuk-Ulam y Tucker" . Ciencias Sociales Matemáticas . 45 : 15-25. doi : 10.1016 / s0165-4896 (02) 00087-2 . hdl : 10419/94656 .
- ^ Nyman, Kathryn L .; Su, Francis Edward (2013), "Un equivalente de Borsuk-Ulam que implica directamente el lema de Sperner", American Mathematical Monthly , 120 (4): 346–354, doi : 10.4169 / amer.math.monthly.120.04.346 , MR 3035127
- ^ "Teorema del punto fijo de Borsuk" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- ^ Yang, Chung-Tao (1954). "Sobre los teoremas de Borsuk-Ulam, Kakutani-Yamabe-Yujobo y Dyson, I". Annals of Mathematics . 60 (2): 262-282. doi : 10.2307 / 1969632 . JSTOR 1969632 .
- ^ Jens Reinhold, Faisal; Sergei Ivanov. "Generalización de Borsuk-Ulam" . Desbordamiento matemático . Consultado el 18 de mayo de 2015 .
Referencias
- Borsuk, Karol (1933). "Drei Sätze über die n -dimensionale euklidische Sphäre" (PDF) . Fundamenta Mathematicae (en alemán). 20 : 177-190. doi : 10.4064 / fm-20-1-177-190 .
- Lyusternik, Lazar ; Shnirel'man, Lev (1930). "Métodos topológicos en problemas variacionales". Issledowatelskii Institut Matematiki I Mechaniki Pri OMG U . Moscú.
- Matoušek, Jiří (2003). Utilizando el teorema de Borsuk-Ulam . Berlín: Springer Verlag. doi : 10.1007 / 978-3-540-76649-0 . ISBN 978-3-540-00362-5.
- Steinlein, H. (1985). "Teorema de la antípoda de Borsuk y sus generalizaciones y aplicaciones: una encuesta. Méthodes topologiques en analizar non linéaire". Sém. Matemáticas. Súper. Montreal, Sém. Sci. OTAN (Instituto de estudios avanzados de la OTAN) . 95 : 166-235.
- Su, Francis Edward (noviembre de 1997). "Borsuk-Ulam implica Brouwer: una construcción directa" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 104 (9): 855–859. CiteSeerX 10.1.1.142.4935 . doi : 10.2307 / 2975293 . JSTOR 2975293 . Archivado desde el original (PDF) el 13 de octubre de 2008 . Consultado el 21 de abril de 2006 .
enlaces externos
- ¿A quién (más) le importa la topología? Collares robados y Borsuk-Ulam en YouTube