En matemáticas , el grupo Brauer-Wall o el grupo super Brauer o el grupo Brauer graduado para un campo F es un grupo BW ( F ) que clasifica las álgebras de división central graduadas de dimensión finita sobre el campo. Terry Wall ( 1964 ) lo definió por primera vez como una generalización del grupo Brauer .
El grupo de Brauer de un campo F es el conjunto de clases de similitud de álgebras simples centrales de dimensión finita sobre F bajo la operación del producto tensorial, donde dos álgebras se denominan similares si los conmutadores de sus módulos simples son isomorfos. Cada clase de similitud contiene un álgebra de división única, por lo que los elementos del grupo de Brauer también se pueden identificar con clases de isomorfismo de álgebras de división central de dimensión finita. La construcción análoga para Z / 2 Z - álgebras graduadas define el grupo Brauer-Wall BW ( F ). [1]
Propiedades
- El grupo Brauer B ( F ) se inyecta en BW ( F ) mapeando un CSA A con el álgebra graduada que es A en el grado cero.
- Wall (1964 , teorema 3) mostró que hay una secuencia exacta
- 0 → B ( F ) → BW ( F ) → Q ( F ) → 0
- donde Q ( F ) es el grupo de extensiones cuadráticas graduadas de F , definido como una extensión de Z / 2 por F * / F * 2 con multiplicación ( e , x ) ( f , y ) = ( e + f , (- 1) ef xy ). El mapa de BW ( F ) a Q ( F ) es el invariante de Clifford definido al asignar un álgebra al par que consta de su grado y determinante .
- Hay un mapa del grupo aditivo del anillo de Witt-Grothendieck al grupo de Brauer-Wall obtenido enviando un espacio cuadrático a su álgebra de Clifford . El mapa se factoriza a través del grupo de Witt , [2] que tiene un núcleo I 3 , donde I es el ideal fundamental de W ( F ). [3]
Ejemplos de
- BW ( C ) es isomorfo a Z / 2 Z . Este es un aspecto algebraico de la periodicidad de Bott del período 2 para el grupo unitario. Los 2 álgebras súper división son C , C [γ] donde γ es un elemento impar de cuadrado 1 de trayecto con C .
- BW ( R ) es isomorfo a Z / 8 Z . Este es un aspecto algebraico de la periodicidad de Bott del período 8 para el grupo ortogonal. Las 8 superálgebras de división son R , R [ε], C [ε], H [δ], H , H [ε], C [δ], R [δ] donde δ y ε son elementos impares de cuadrado –1 y 1, de modo que la conjugación de ellos en números complejos es una conjugación compleja.
Notas
Referencias
- Deligne, Pierre (1999), "Notas sobre espinores", en Deligne, Pierre ; Etingof, Pavel ; Freed, Daniel S .; Jeffrey, Lisa C .; Kazhdan, David ; Morgan, John W .; Morrison, David R .; Witten, Edward (eds.), Campos cuánticos y cadenas: un curso para matemáticos, vol. 1 , Material del Año especial sobre teoría cuántica de campos celebrado en el Instituto de estudios avanzados, Princeton, Nueva Jersey, 1996-1997, Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 99-135, ISBN 978-0-8218-1198-6, MR 1701598
- Lam, Tsit-Yuen (2005), Introducción a las formas cuadráticas sobre campos , Estudios de posgrado en matemáticas , 67 , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1095-2, MR 2104929 , Zbl 1068.11023
- Wall, CTC (1964), "Graded Brauer groups" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 213 : 187-199, ISSN 0075-4102 , MR 0167498 , Zbl 0125.01904