En una controversia fundamental en las matemáticas del siglo XX , LEJ Brouwer , un defensor de la escuela constructivista del intuicionismo , se opuso a David Hilbert , un defensor del formalismo . El debate se centró en cuestiones fundamentales sobre la coherencia de los axiomas y el papel de la semántica y la sintaxis en las matemáticas. Gran parte de la controversia tuvo lugar mientras ambos estaban involucrados con la prestigiosa revista Mathematische Annalen , con Hilbert como editor en jefe y Brouwer como miembro de su consejo editorial.
Fondo
El trasfondo de la controversia se estableció con la axiomatización de la geometría de David Hilbert a fines de la década de 1890. En su biografía de Kurt Gödel , John W. Dawson, Jr resume el resultado de la siguiente manera: "En las disputas, a veces amargas, el problema era la relación de las matemáticas con la lógica, así como cuestiones fundamentales de metodología, como cómo se debían aplicar los cuantificadores. interpretó, en qué medida, si es que se justificaban, los métodos no constructivos y si había conexiones importantes entre las nociones sintácticas y semánticas ". [1]
Dawson observa que "los partidarios de tres posiciones filosóficas principales participaron en el debate" [1] : los logicistas ( Gottlob Frege y Bertrand Russell ), los formalistas ( David Hilbert y su "escuela" de colaboradores) y los constructivistas ( Henri Poincaré y Hermann Weyl ); dentro de esta escuela constructivista estaba el radical autodenominado "intuicionista" LEJ Brouwer .
Breve historia de Brouwer y el intuicionismo
De hecho, Brouwer fundó la filosofía matemática del intuicionismo como un desafío al formalismo imperante en ese momento de David Hilbert y sus colaboradores Paul Bernays , Wilhelm Ackermann , John von Neumann y otros. [2] Como una variedad de matemáticas constructivas , el intuicionismo es esencialmente una filosofía de los fundamentos de las matemáticas . A veces, y de manera bastante simplista, se caracteriza por decir que sus seguidores se niegan a usar la ley del medio excluido en el razonamiento matemático.
En 1908: "... Brouwer, en un artículo titulado" La falta de confiabilidad de los principios de la lógica ", desafió la creencia de que las reglas de la lógica clásica, que nos han llegado esencialmente de Aristóteles (384-322 a. C.) una validez absoluta, independiente de la materia a la que se apliquen ". [3]
"Después de completar su disertación (1907: ver Van Dalen), Brouwer tomó una decisión consciente temporalmente para mantener sus ideas contenciosas en secreto y concentrarse en demostrar su destreza matemática" (Davis (2000), p. 95); en 1910 había publicado varios artículos importantes, en particular el Teorema del punto fijo . Hilbert, el formalista con quien el intuicionista Brouwer finalmente pasaría años en conflicto, admiraba al joven y lo ayudó a recibir un nombramiento académico regular (1912) en la Universidad de Amsterdam. [4] Fue entonces cuando "Brouwer se sintió libre para volver a su proyecto revolucionario al que ahora llamaba intuicionismo ". [4]
A finales de la década de 1920, Brouwer se involucró en una controversia pública y degradante con Hilbert sobre la política editorial en Mathematische Annalen , en ese momento una importante revista científica . [5] Se aisló relativamente; el desarrollo del intuicionismo en su origen lo retomó su alumno Arend Heyting .
Orígenes del desacuerdo
La naturaleza de la prueba de Hilbert del teorema de la base de Hilbert (que data de 1888) resultó ser más controvertida de lo que Hilbert podría haber imaginado en ese momento. Aunque Kronecker había admitido, Hilbert respondería más tarde a críticas similares de otros de que "muchas construcciones diferentes están subsumidas bajo una idea fundamental" - en otras palabras (para citar a Reid): "A través de una prueba de existencia, Hilbert había podido obtener una construcción"; "la prueba" (es decir, los símbolos en la página) era "el objeto". [6]
No todos quedaron convencidos. Mientras Kronecker moriría poco después, su constructivista bandera se llevaría a cabo por los fuertes críticas de Poincaré, y más tarde en pleno apogeo por el joven Brouwer y su desarrollo intuicionista "escuela" -Weyl, en particular, para gran tormento de Hilbert en sus últimos años ( Reid 1996, págs. 148-149). De hecho, Hilbert perdió a su "alumno dotado" Weyl por culpa del intuicionismo: "Hilbert estaba perturbado por la fascinación de su antiguo alumno por las ideas de Brouwer, que despertaron en Hilbert la memoria de Kronecker". [7]
Brouwer, el intuicionista en particular, se opuso al uso de la Ley del Medio Excluido sobre conjuntos infinitos (como Hilbert la había usado de hecho). Hilbert respondería: "'Tomar el principio del medio excluido del matemático ... es lo mismo que ... prohibirle al boxeador el uso de sus puños'. [8] "La posible pérdida no pareció molestar a Weyl". [9]
Vigencia de la ley del medio excluido
En el mismo documento, el texto de un discurso pronunciado en 1927 [10] , Hilbert se expresa claramente. Al principio, intenta defender su sistema axiomático por tener "un significado filosófico general importante". [11] Para él, la declaración de "reglas definidas" expresa "la técnica de nuestro pensamiento". No se esconde nada, no se admiten supuestos tácitos : "al fin y al cabo, es parte de la tarea de la ciencia liberarnos de la arbitrariedad, el sentimiento y la costumbre, y protegernos del subjetivismo que ... encuentra su culminación en el intuicionismo". [11]
Pero luego Hilbert llega al meollo de la cuestión: la proscripción de la ley del medio excluido (LoEM): "El desafío más agudo y apasionado del intuicionismo es el que lanza a la validez del principio del medio excluido ...". [11]
Dudar del LoEM, cuando se extendía sobre el infinito completo, era dudar del sistema axiomático de Hilbert, en particular de su "axioma ε lógico". [12] Quitar el LoEM fue destruir la "ciencia de las matemáticas". [8] Finalmente, Hilbert señala a un hombre —por implicación, no por su nombre— por la causa de su tribulación actual: "... Me asombra que un matemático dude de que el principio del medio excluido es estrictamente válido como un modo Me asombra aún más que, al parecer, se haya constituido toda una comunidad de matemáticos que hacen lo mismo. Lo que más me asombra es el hecho de que incluso en los círculos matemáticos el poder de sugestión de un solo hombre, sin embargo lleno de temperamento e inventiva, es capaz de producir los efectos más inverosímiles y excéntricos ". [13]
Brouwer responde resentido con resentimiento: "... el formalismo no ha recibido más que beneficios del intuicionismo y puede esperar beneficios adicionales. Por lo tanto, la escuela formalista debería reconocer en parte el intuicionismo, en lugar de polemizar contra él en tonos burlones, sin siquiera observar la mención adecuada. de autoría ". [14]
Diferencias filosóficas más profundas
Una derrota filosófica en la búsqueda de la "verdad" en la elección de axiomas
Independientemente de cómo se defina en última instancia la "verdad", para algunos matemáticos el formalismo de Hilbert parecía evitar la noción. Y por lo menos con respecto a la elección de los axiomas del caso se puede hacer que, efectivamente, que no evitan la noción. La cuestión fundamental es cómo elegir "los axiomas". Hasta que Hilbert propuso su formalismo, los axiomas se eligieron sobre una base "intuitiva" (experiencial). La lógica aristotélica es un buen ejemplo: basado en las experiencias de vida de uno, parece "lógico" que un objeto de discurso tenga una propiedad declarada (por ejemplo, "Este camión es amarillo") o no tenga esa propiedad ("Este camión es no amarillo ") pero no ambos simultáneamente (la Ley Aristotélica de No Contradicción). La forma primitiva del axioma de inducción es otra: si un predicado P (n) es verdadero para n = 0 y si para todos los números naturales n, si P (n) es verdadero implica que P (n + 1) es verdadero, entonces P (n) es cierto para todos los números naturales n.
El sistema axiomático de Hilbert, su formalismo, es diferente. Al principio declara sus axiomas. [15] Pero no requiere que la selección de estos axiomas se base en el "sentido común", el conocimiento a priori (comprensión o conciencia derivada intuitivamente, conocimiento innato visto como "verdad sin requerir ninguna prueba de la experiencia" [16]). ), o experiencia de observación (datos empíricos). Más bien, el matemático, al igual que el físico teórico [17] [18], es libre de adoptar cualquier colección (arbitraria, abstracta) de axiomas que elija. De hecho, Weyl afirma que Hilbert la había "formalizado [la matemática clásica], transformándola en principio de un sistema de resultados intuitivos en un juego con fórmulas que procede de acuerdo con reglas fijas". [19] Entonces, Weyl pregunta, ¿qué podría guiar la elección de estas reglas? "¿Qué nos impulsa a tomar como base precisamente el sistema de axiomas particular desarrollado por Hilbert?". [19] Weyl ofrece que "la coherencia es de hecho una condición necesaria pero no suficiente", pero no puede responder de manera más completa excepto para señalar que la "construcción" de Hilbert es "arbitraria y audaz". [19] Finalmente señala, en cursiva, que el resultado filosófico de la "construcción" de Hilbert será el siguiente: "Si la visión de Hilbert prevalece sobre el intuicionismo, como parece ser el caso, entonces veo en esto una derrota decisiva de la filosofía actitud de la fenomenología pura , que por lo tanto resulta insuficiente para la comprensión de la ciencia creativa incluso en el área de la cognición que es más primaria y más fácilmente abierta a la evidencia: las matemáticas ". [19]
En otras palabras: el papel de los sentimientos y tendencias innatas (intuición) y la experiencia de observación (empirismo) en la elección de axiomas será eliminado excepto en el sentido global - la "construcción" funcionaría mejor cuando se pone a prueba: "sólo el sistema teórico en su conjunto ... se puede confrontar con la experiencia ". [19]
La Ley del Medio Excluido extendida al infinito
Cantor (1897) extendió la noción intuitiva de "lo infinito" - un pie colocado detrás del otro en una marcha interminable hacia el horizonte - a la noción de "un infinito completo" - la llegada "todo el camino, el camino hacia afuera "de un solo golpe, y simbolizó esta noción con un solo signo ℵ 0 (aleph-null). La adopción de Hilbert de la noción al por mayor fue "irreflexiva", creía Brouwer. Brouwer en su (1927a) "Reflexiones intuicionistas sobre el formalismo" afirma: "SEGUNDA VISIÓN El rechazo del uso irreflexivo del principio lógico del medio excluido, así como el reconocimiento, primero, del hecho de que la investigación de la pregunta por qué el principio mencionado está justificado y en qué medida su validez constituye un objeto esencial de investigación en los fundamentos de las matemáticas y, en segundo lugar, del hecho de que en la matemática intuitiva (de contenido) este principio sólo es válido para sistemas finitos. La identificación del principio del medio excluido con el principio de la resolubilidad de todo problema matemático ". [20]
Esta Tercera Perspicacia se refiere al segundo problema de Hilbert y al intento continuo de Hilbert de axiomatizar toda la aritmética y, con este sistema, descubrir una "prueba de coherencia" para todas las matemáticas; ver más abajo. Así que en esta refriega (iniciada por Poincaré) Brouwer se sumergió de cabeza, con Weyl como respaldo.
Su primera queja (Segunda percepción de Brouwer, arriba) surgió de la extensión de Hilbert de la "Ley del Medio Excluido" (y la "doble negación") de Aristóteles - hasta ahora restringida a dominios finitos del discurso aristotélico - a dominios infinitos del discurso [21] ". A fines de la década de 1890, Hilbert axiomatizó con éxito la geometría. [22] Luego pasó a utilizar con éxito (o eso pensaba Hilbert) la noción inspirada en Cantoria del infinito completo para producir pruebas elegantes y radicalmente abreviadas en el análisis (1896 y posteriores). [23 ] En sus propias palabras de defensa, Hilbert se creía bastante justificado en lo que había hecho (en lo que sigue llama a este tipo de prueba una prueba de existencia): "... Dije un teorema general (1896) sobre formas algebraicas que es un declaración de existencia pura y por su misma naturaleza no puede transformarse en una declaración que implique constructibilidad. Mediante el uso puro de este teorema de la existencia evité la larga y poco clara argumentación de Weierstrass y los cálculos sumamente complicados de Dedekind, y además, creo que solo mi demostración descubre la razón interna de la validez de las afirmaciones esbozadas por Gauss [24] y formulado por Weierstrass y Dedekind. " [25] " El valor de las pruebas de existencia pura consiste precisamente en que la construcción individual es eliminada por ellas y que muchas construcciones diferentes están subsumidas bajo una idea fundamental, de modo que solo lo que es esencial para la prueba se destaca claramente; la brevedad y la economía del pensamiento son la razón de ser de las pruebas de existencia " [26].
Lo que Hilbert tuvo que renunciar fue la "constructibilidad": sus pruebas no producirían "objetos" (excepto las pruebas mismas, es decir, cadenas de símbolos), sino que producirían contradicciones de las premisas y tendrían que proceder por reductio ad absurdum extendido sobre el infinito.
La búsqueda de Hilbert de una prueba generalizada de consistencia de los axiomas de la aritmética
Brouwer vio esta pérdida de constructibilidad como mala, pero peor cuando se aplica a una "prueba de consistencia" generalizada para todas las matemáticas. En su discurso de 1900, Hilbert había especificado, como el segundo de sus 23 problemas para el siglo XX, la búsqueda de una demostración generalizada de (procedimiento para determinar) la consistencia de los axiomas de la aritmética. Hilbert, a diferencia de Brouwer, creía que la noción formalizada de inducción matemática podría aplicarse en la búsqueda de la prueba de consistencia generalizada .
Una consecuencia de esta maravillosa prueba / procedimiento P sería la siguiente: dado cualquier teorema matemático arbitrario T (fórmula, procedimiento, prueba) puesto a P (por lo tanto P (T)) incluyendo P mismo (por lo tanto P (P)), P sería determinar de manera concluyente si el teorema T (y P) era demostrable , es decir, derivable de sus premisas, los axiomas de la aritmética. Por tanto, para todo T, T sería demostrable por P o no demostrable por P y en todas las condiciones (es decir, para cualquier asignación de valores numéricos a las variables de T). Ésta es una ilustración perfecta del uso de la Ley del Medio Excluido extendido sobre el infinito, de hecho extendido dos veces - primero sobre todos los teoremas (fórmulas, procedimientos, demostraciones) y en segundo lugar para un teorema dado, para todas las asignaciones de sus variables. Este punto, que Hilbert pasó por alto, le fue señalado primero por Poincaré y más tarde por Weyl en sus comentarios de 1927 sobre la conferencia de Hilbert: "Porque después de todo Hilbert, también, no se preocupa simplemente por, digamos 0 'o 0", sino con cualquier 0 ' ... ', con un numeral arbitrariamente dado concretamente . Aquí se puede enfatizar el "concretamente dado"; por otro lado, es igualmente esencial que los argumentos de contenido en la teoría de la prueba se lleven a cabo en generalidad hipotética , en cualquier prueba, en cualquier numeral ... Me parece que la teoría de la prueba de Hilbert muestra que Poincaré tenía toda la razón en este punto ". [27]
En su discusión que precede a los comentarios de Weyl en 1927, van Heijenoort explica que Hilbert insistió en que había abordado la cuestión de "si una fórmula, tomada como axioma, conduce a una contradicción, la cuestión es si una prueba que lleva a una contradicción puede presentarse a me". [28]
- "Pero [escribe van Heijenoort] en una prueba de coherencia, el argumento no se trata de una única fórmula específica; tiene que extenderse a todas las fórmulas. Este es el punto que Weyl tiene en mente ...". [28] [29]
Si tiene éxito, la búsqueda daría como resultado un resultado notable: dada una demostración tan generalizada, todas las matemáticas podrían ser reemplazadas por un autómata que consta de dos partes: (i) un generador de fórmulas para crear fórmulas una tras otra, seguida de (ii) la prueba de consistencia generalizada, que arrojaría "Sí - válido (es decir, demostrable)" o "No - no válido (no demostrable)" para cada fórmula que se le presente (y cada posible asignación de números a sus variables). En otras palabras: la matemática dejaría de ser una empresa creativa y se convertiría en una máquina. [30]
El problema de la Ley del Medio Excluido con respecto a la inducción
En el comentario de van Heijenoort que precede a Weyl (1927) "Comentarios sobre la segunda conferencia de Hilbert sobre los fundamentos de las matemáticas", Poincaré señala a Hilbert (1905) que hay dos tipos de "inducción" (1) la lógica animal intuitiva que sigue el pie. versión de pie que nos da la sensación de que siempre hay otro paso después del último paso, y (2) la versión formal, por ejemplo, la versión de Peano: una cadena de símbolos. [31] La banda de tres - Poincaré, Weyl y Brouwer - afirmó que Hilbert, tácita e injustificadamente, adoptó como una de sus premisas la inducción formal (la cadena del símbolo de Kleens). Poincaré (1905) afirmó que, al hacer esto, el razonamiento de Hilbert se volvió circular. [32] El acuerdo de Weyl (1927) y las polémicas de Brouwer finalmente obligaron a Hilbert y sus discípulos Herbrand, Bernays y Ackermann a reexaminar su noción de "inducción" - para evitar la suposición de una "totalidad de todos los objetos x de una colección infinita" y (intuicionistamente) suponga que el argumento general procede una x tras otra, ad infinitum (van Heijenoort p. 481, nota a pie de página). Este es, de hecho, el llamado "esquema de inducción" utilizado en la noción de "recursividad" que todavía estaba en desarrollo en este momento ( cf. van Heijenoort p. 493) [33] - este esquema era aceptable para los intuicionistas porque se había derivado de "la intuición".
Para llevar esta distinción más allá, Kleene 1952/1977 distingue entre tres tipos de inducción matemática: (1) la regla de inducción formal (axioma de Peano, ver la siguiente sección para un ejemplo), (2) la definición inductiva (ejemplos: contar, " Prueba por inducción "), y (3) la definición por inducción (definición recursiva de" funciones o predicados teóricos de números). Con respecto a (3), Kleene considera funciones recursivas primitivas :
"una teoría intuitiva sobre una cierta clase de funciones y predicados de la teoría de números ... En esta teoría, como en las metamatemáticas, utilizaremos sólo métodos finitarios.
La serie de los números naturales 0, 0 ', 0 ' ' , 0 ' ' ' , ..., o 0, 1, 2, 3, ... la describimos como la clase de los objetos generados a partir de un objeto primitivo 0 por medio de una operación primitiva 'o +1. Esto constituye una definición inductiva de la clase de los números naturales.
Prueba por inducción ... corresponde inmediatamente a este modo de generar los números. La definición por inducción (que no debe confundirse con 'definición inductiva' ...) es el método análogo de definir una función teórica de números φ (y) o predicado P (y). [Una función o predicado de teoría de números toma como sus variables solo una selección de los números naturales y produce solo un solo número natural a su vez]. Primero se da φ (0) o P (0) (el valor de la función o predicado para 0 como argumento). Entonces, para cualquier número natural y, φ (y ') o P (y') (el siguiente valor después del de y) se expresa en términos de y y φ (y) o P (y) (el valor de y) . ... Las dos partes de la definición nos permiten, al generar cualquier número natural y, al mismo tiempo determinar el valor φ (y) o P (y) "(p. 217).
Ecos de la polémica
La insistencia de Brouwer en la "constructibilidad" en la búsqueda de una "prueba de coherencia para la aritmética" resultó en una sensibilidad al tema, tal como lo refleja el trabajo de Finsler y Gödel. [34] En última instancia, Gödel "numeralizaría" sus fórmulas; Luego, Gödel usó la recursividad primitiva (y su instanciación de la forma intuitiva y constructiva de inducción, es decir, el conteo y la evaluación paso a paso) en lugar de una cadena de símbolos que representan la inducción formal. Gödel era tan sensible a este tema que se esforzó mucho en su 1931 para señalar que su Teorema VI (el llamado "Primer teorema de incompletitud") "es constructivo; 45a , es decir, lo siguiente ha sido probado de manera intuicionista manera inobjetable ... ". Luego demuestra lo que él cree que es la naturaleza constructiva de su "fórmula de generalización" 17 Gen r. La nota al pie 45a refuerza su punto.
El 1931 de Gödel incluye la versión simbólica del formalista del Axioma de inducción de Peano; se ve así, donde "." es el AND lógico, f es el signo sucesor, x 2 es una función, x 1 es una variable, x 1 Π designa "para todos los valores de la variable x 1 ":
- (x 2 (0) .x 1 Π (x 2 (x 1 ) ⊃x 2 (fx 1 )) ⊃x 1 Π (x 2 (x 1 ))
Pero no parece utilizar esto en el sentido formalista.
Tenga en cuenta que existe controversia en torno a este punto. Gödel especifica esta cadena de símbolos en su I.3., [35] es decir, el axioma inductivo formalizado aparece como se muestra arriba - sin embargo, incluso esta cadena puede ser "numeralizada" usando el método de Gödel. Por otro lado, no parece utilizar este axioma. Más bien, su recursividad recorre los números enteros asignados a la variable k (cf his (2) en la página 602). Su prueba esquelética del Teorema V, sin embargo, "usa inducción en el grado de φ", y usa "la hipótesis de inducción". Sin una prueba completa de esto, nos queda suponer que su uso de la "hipótesis de inducción" es la versión intuitiva, no el axioma simbólico. Su recursividad simplemente intensifica el grado de las funciones, un acto intuitivo, ad infinitum. Pero Nagel y Newman señalan que las demostraciones de Gödel son de naturaleza infinita, [36] no finitarias como Hilbert solicitó (ver el segundo problema de Hilbert ) mientras que Gödel insistió en que son intuicionistas satisfactorias. Estas no son verdades incompatibles, siempre que el LoEM sobre el infinito no se invoque en ninguna parte de las pruebas.
A pesar de la continua abstracción de las matemáticas durante la última mitad del siglo XX, [37] el problema no ha desaparecido por completo. A continuación se muestran dos ejemplos. Primero, las premisas de un argumento, incluso aquellas consideradas más allá de toda duda, son siempre un juego limpio. Una mirada detenida a las premisas del trabajo de Turing de 1936-1937 llevó a Robin Gandy (1980) a proponer sus "principios para los mecanismos" que incluyen la velocidad de la luz como una restricción. En segundo lugar, Breger (2000) en su "Conocimiento tácito y progreso matemático" profundiza en la cuestión de "semántica versus sintaxis" - en su artículo Hilbert, Poincaré, Frege y Weyl hacen sus apariciones debidamente. Examina un problema central: en las pruebas axiomáticas, la suposición tácita de una mente pensante y experimentada: para tener éxito debe llegar al argumento equipado con un conocimiento previo de los símbolos y su uso (la semántica detrás de la sintaxis inconsciente): "Las matemáticas como un sistema puramente formal de símbolos sin un ser humano que posea el know-how para tratar con los símbolos es imposible [según el químico Polanyi (1969, 195), el ideal de una forma de conocimiento estrictamente explícito es contradictorio porque sin tácito conocimiento todas las fórmulas, palabras e ilustraciones perderían significado] "(corchetes en el original, Breger 2000: 229).
Kleene en Brouwer – Hilbert
Se puede encontrar un estudio serio de esta controversia fundamental en la Introducción a la metamatemática de Stephen Kleene , particularmente en el Capítulo III: Una crítica del razonamiento matemático. Discute §11. Las paradojas , §12. Primeras inferencias de las paradojas [definiciones impredicativas, Logicismo, etc.], §13. Intuicionismo , §14. Formalismo , §15. Formalización de una teoría . Kleene se toma el debate en serio, ya lo largo de su libro construye los dos "sistemas formales", por ejemplo, en la página 119 muestra esas leyes lógicas como la doble negación que no están permitidas en el sistema intuicionista.
Notas
- ↑ a b Dawson, 1997: 48
- ^ cf. Kleene (1952), págs. 46–59
- ^ Kleene (1952), pág. 46
- ↑ a b Davis, pág. 96
- ^ Cf. van Dalen (1990) .
- ^ Reid 1996, p. 37
- ^ Reid 1996, p. 148
- ^ a b Esta cita aparece en numerosas fuentes. Se puede encontrar una traducción del original en van Heijenoort: Hilbert (1927) p. 476 y dice lo siguiente: "Tomar el principio del medio excluido del matemático sería lo mismo, digamos, que prohibir el telescopio al astrónomo o al boxeador el uso de sus puños. Prohibir los enunciados de existencia y el principio del medio excluido equivale a renunciar por completo a la ciencia de las matemáticas ".
- ^ Reid 1996, p. 150
- ^ cf. van Heijenoort: Hilbert (1927)
- ↑ a b c van Heijenoort: Hilbert 1927 p. 475
- ↑ Presenta el axioma ε en su discurso / artículo de 1927. Este axioma "existencia" afirma la existencia de un objeto de discurso: "A (a) → A (ε (A)). Aquí ε (A) representa un objeto del cual la proposición A (a) ciertamente se cumple si sostiene cualquier objeto en absoluto ... "(van Heijenoort p. 466). Inmediatamente pasa a demostrar cómo las nociones "para todos" (el cuantificador universal moderno"∀") y "existe" (el cuantificador existencial moderno"∃") derivan de este axioma.
- ↑ van Heijenoort: Hilbert 1927 p. 476
- ↑ van Heijenoort: Brouwer 1927b publicado en 1928, p. 492
- ↑ La escritura de Hilbert es limpia y accesible: para obtener una lista de sus axiomas y su "construcción", consulte las primeras páginas de van Heijenoort: Hilbert (1927).
- ^ Bertrand Russell 1912: 74
- ↑ Uno de los problemas de Hilbert para el siglo XX fue "axiomatizar la física" presumiblemente de la misma manera en que intentaba "axiomatizar" las matemáticas.
- ↑ Weyl, en sus comentarios de 1927 sobre el discurso de Hilbert, analiza la física teórica como una ciencia con "suposiciones y leyes individuales [que] no tienen ningún significado que pueda realizarse inmediatamente en la intuición ...] (van Heijenoort p. 484)
- ^ a b c d e van Heijenoort p. 483
- ↑ van Heijenoort, p. 491
- ^ Véanse los párrafos principales de van Heijenoort: Brouwer (1923b) p. 335.
- ↑ Breger afirma que "las matemáticas modernas comienzan con Grundlagen der Geometrie de Hilbert" (p. 226).
- ↑ Brouwer enumera sin rodeos los muchos otros lugares en los que cree que Hilbert se ha equivocado, cf. van Heijenoort p. 491–492.
- ↑ Esta es una astuta insinuación a los finitistas: "Los filósofos empiristas, como Hobbes, Locke y Hume, habían convencido a algunos matemáticos, como Gauss, de que no hay infinito en las matemáticas" (Anglin p. 213).
- ^ Anglin, pág. 474
- ^ Anglin, pág. 475
- ^ Weyl 1927, van Heijenoort p. 483
- ↑ a b Weyl 1927, van Heijenoort p. 481
- ↑ Nagel y Newman señalan: "En los diversos intentos de resolver el problema de la consistencia hay una fuente persistente de dificultad. Es el hecho de que los axiomas son interpretados por modelos compuestos por un número infinito de elementos. Esto hace imposible abarcar los modelos en un número finito de observaciones ... la conclusión que el argumento busca establecer implica una extrapolación de un conjunto de datos finito a uno infinito. ¿Cómo podemos justificar este salto? ... Desafortunadamente, la mayoría de los sistemas de postulados que constituyen los fundamentos de importantes ramas de las matemáticas no pueden reflejarse en modelos finitos ". Nagel y Newman continúan dando el ejemplo de la función sucesora '(Gödel usó f, el símbolo en inglés antiguo para s): dado el punto de partida 0, a partir de entonces 0', 0 ' ' , etc. crea la infinidad de números enteros. (p. 21-22) En respuesta a esto, Hilbert intentó una prueba absoluta de consistencia - no presumiría la consistencia de otro sistema fuera del de interés, sino que el sistema comenzaría con una colección [finita] de cadenas de símbolos discretos (los axiomas) y reglas de formación para manipular esos símbolos. (cf p. 26 y siguientes) "
- ↑ Breger señala: "Poincaré no fue el único que comparó las matemáticas con una máquina sin operador ... Frege afirmó que no podía averiguar por los axiomas [de geometría] de Hilbert si el mando de su reloj era un punto o no". (pág.227)
- ↑ cf Russell 1912's Chapter VI Induction p.60-69, donde analiza la lógica animal y el problema de conocer una verdad y formular leyes naturales.
- ^ cf. comentario de van Heijenoort sobre Weyl (1927).
- ↑ La "recursividad" había existido al menos desde que Peano proporcionó su definición de la suma de números ( cf. van Heijenoort p. 95, Definición 18).
- ↑ Dawson señala que "el papel de Brouwer en la estimulación del pensamiento de Gödel parece fuera de toda duda, [pero] la forma en que Gödel se dio cuenta del trabajo de Brouwer sigue siendo incierta" (Dawson 1997: 55).
- ^ p. 600 en van Heijenoort
- ^ cf Nagel y Newman p. 98
- ↑ Anglin lo dice de esta manera: "En el siglo XX, había una gran cantidad de matemáticas prácticas y concretas ... Por otro lado, gran parte de las matemáticas del siglo XX se caracterizaron por un grado de abstracción nunca antes visto. el plano euclidiano que se estudió, sino los espacios vectoriales y los espacios topológicos que son abstracciones del mismo. No fueron los grupos particulares los que se estudiaron tanto como toda la 'categoría' de grupos ". (Anglin 1994: 217)
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- Robin Gandy , 1980. "Church's Thesis and Principles for Mechanisms", que aparece en J. Barwise , HJ Keisler y K. Kunen , eds., 1980, The Kleene Symposium , North-Holland Publishing Company, páginas 123-148.
- Stephen Hawking , 2005. Dios creó los enteros: Los avances matemáticos que cambiaron la historia: editado, con comentarios, por Stephen Hawking , Running Press, Filadelfia, ISBN 978-0-7624-1922-7 . El comentario de Hawking y un extracto de "Contribuciones a la fundación de la teoría de los números transfinitos" de Cantor aparecen en las págs. 971ss.
- David Hilbert (1927), "Los fundamentos de las matemáticas" que aparece en http://www.marxists.org/reference/subject/philosophy/works/ge/hilbert.htm y aparentemente derivado de Sohotra Sarkar (ed.) 1996, The Emergencia del empirismo lógico: desde 1900 hasta el Círculo de Viena , Garland Publishing Inc, [sin ubicación del editor, sin ISBN]. El famoso discurso de Hilbert en el que presenta y discute con cierta profundidad sus axiomas del formalismo, prestando especial atención a la doble negación y la Ley del Medio Excluido (LoEM) y su "e-axioma. [Este documento en línea contiene errores tipográficos; una mejor versión es Hilbert de van Heijenoort (1927).]
- Stephen Kleene , 1952 con correcciones 1971, décima reimpresión 1991, Introducción a las metamatemáticas , North-Holland Publishing Company, Amsterdam Países Bajos, ISBN 0-7204-2103-9 . Cf. en particular el Capítulo III: Crítica del Razonamiento Matemático , §13 "Intuicionismo" y §14 "Formalismo".
- Jean van Heijenoort , 1976 (segunda impresión con correcciones), From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 , Harvard University Press, Cambridge Massachusetts, ISBN 0-674-32449-8 (pbk.). Los siguientes artículos y comentarios son pertinentes y ofrecen un breve calendario de publicación. (Otras adiciones importantes de Gödel con respecto a su aceptación de las máquinas de Turing como un sistema lógico formal para reemplazar su sistema (Peano Axioms + recursión) aparecen en Martin Davis, The Undecidable ):
- Hilbert (1904). Sobre los fundamentos de la lógica y la aritmética, pág. 129
- Brouwer (1923, 1954, 1954a). Sobre la importancia del principio del medio excluido en matemáticas, especialmente en la teoría de funciones, pág. 334
- Brouwer (1927). Sobre los dominios de definición de funciones p. 446
- Hilbert (1927). Los fundamentos de las matemáticas p. 464. (famosa dirección de Hilbert).
- Weyl (1927). Comentarios sobre la segunda conferencia de Hilbert sobre los fundamentos de las matemáticas p. 480.
- Bernays (1927). Apéndice de la conferencia de Hilbert "Los fundamentos de las matemáticas" p. 485
- Brouwer (1927a). Reflexiones intuicionistas sobre el formalismo p. 490
- Gödel (1930a, 1931, 1931a). Algunos resultados metamatemáticos sobre integridad y coherencia. Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia mathica y sistemas relacionados I, y sobre completitud y consistencia p. 592
- Brouwer (1954, 1954a). Addenda y corrigenda, y Addenda y corrigenda adicionales, p. 334ff
- Ernest Nagel y James Newmann 1958, Gödel's Proof , New York University Press, sin ISBN, catálogo de tarjetas de la Biblioteca del Congreso número 58-5610.
- Constance Reid 1996. Hilbert , Springer , ISBN 0-387-94674-8 . La biografía en inglés.
- Bertrand Russell , publicado originalmente en 1912, con comentario de John Perry 1997. The Problems of Philosophy , Oxford University Press, Nueva York, ISBN 0-19-511552-X .